概率论与数理统计试题及答案.docx
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概率论与数理统计试题及答案
2009概率论与数理统计试题及答案1
考研数学冲刺·概率论与数理统计
一、基本概念总结
1、概念网络图
ü
ï®八大分布（0-1、二项、泊松、超几何、几何、均匀、指数、正态）ï
ï®数字特征（期望、方差）ïý
数字化随机事件P（AB）¾¾¾®二维随机变量（X,Y）®F（x,y）=P（X£x,Y£y）ï
ï
ï®两大分布（均匀、正态）
ï®数字特征（期望、方差、协方差、相关系数）þ随机事件P（A）¾¾¾®一维随机变量X（w）®F（x）=P（X£x）
ì
ï
ï
ï大数定律和中心极限定理ï®í
2ïì四大统计分布（正态,c,t,F）（多维随机变量的函ïï参数估计ï数理统计í
ï假设检验îî数字化数分布）
2、最重要的5个概念
（1）古典概型（由比例引入概率）
例1：
3男生，3女生，从中挑出4个，问男女相等的概率？
例2：
有5个白色珠子和4个黑色珠子，从中任取3个，问其中至少有1个是黑色的概率？
（2）随机变量与随机事件的等价（将事件数字化）
P（X=x）=P（A）
P（X=x,Y=y）=P（AB）
例3：
已知甲、乙两箱中装有两种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品。
从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求：
（1）乙箱中次品件数X的数学期望。
（2）从乙箱中任取一件产品是次品的概率。
例4：
将一枚均匀硬币连掷三次，以X表示三次试验中出现正面的次数，Y表示出现正面的次数与出现反面的次数的差的绝对值，求（X，Y）的联合分布律。
（3）分布函数（将概率与函数联系起来）F（x）=P（X£x）
（4）离散与连续的关系
P（X=x）=f（x）dx
P（X=x,Y=y）=f（x,y）dxdy
例5：
见“数字特征”的公式。
（5）简单随机样本（将概率和统计联系在一起）
样本是由n个同总体分布的个体组成的，相当于n个同分布的随机变量的组合（n维随机变量）。
例6：
样本的X=
1nåni=1Xi是已知的，个体（总体）的m=E（Xi）未知，矩估计：
X=m，完成了一个从样本到1
总体的推断过程。
二、做题的18个口诀（概率15个，统计3个）1、概率
（1）题干中出现“如果”、“当”、“已知”的，是条件概率。
例7：
5把钥匙，只有一把能打开，如果某次打不开就扔掉，问第二次打开的概率？
（2）时间上分两个阶段的，用“全概公式”或者“贝叶斯公式”。
例8：
玻璃杯成箱出售，每箱20只，设各箱含0，1，2只残次品的概率分别为0.8,0.1和0.1。
一顾客欲购买一箱玻璃杯，由售货员任取一箱，而顾客开箱随机地察看4只；若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。
试求：
（1）顾客买此箱玻璃杯的概率；
（2）在顾客买的此箱玻璃杯中，确实没有残次品的概率。
（3）“只知次数，不知位置”是“二项分布”。
例9：
抛5次硬币，其中有3次正面朝上的概率？
C53（）3（）2
2
21
1
例10：
1对夫妇生4个孩子，2男2女的概率？
（4）“先后不放回取”≡“任取”，是“超几何分布”。
例11：
5个球，3红2白，先后不放回取2个，2红的概率？
2
22
P3P5
例12：
5个球，3红2白，任取2个，2红的概率？
C3C
2
5
（5）“先后放回取”是“二项分布”。
例13：
5个球，3红2白，先后放回取5个，2红的概率？
23223C5（）（）
55
（6）求随机变量函数的分布密度，从分布函数的定义入手。
例14：
设X的分布函数F（x）是连续函数，证明随机变量Y=F（X）在区间（0，1）上服从均匀分布。
（7）二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。
ìfX（x）f（y/x）ìP（A）P（B/A）
P（AB）=í，f（x,y）=í。
P（A）P（B）f（x）f（y）îYîX
（8）二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。
例15：
设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中
D={（x,y）:
|x+y|£1,|x-y|£1},求X的边缘密度fX（x）。
（9）求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率，由画图计算相交部分（正概率区间和所求区域的交集）
的积分。
ì3xï
例16：
设随机变量（X，Y）的分布密度为j（x,y）=í
ï0,î
0试求U=X-Y的分布密度。
其他.
（10）均匀分布用“几何概型”计算。
ì2ï
例17：
设随机变量（X，Y）的分布密度为：
j（x,y）=í
ï0,î
0，试求P（X+Y>1）。
其他.
（11）关于独立性：
对于离散型随机变量，有零不独立；对于连续型随机变量，密度函数可分离变量并且正概率密度
区间为矩形。
2
（12）二维随机变量的期望E（X）、E（Y）和方差D（X）、D（Y），由边缘分布来求。
例19：
设A，B为两个随机事件,且P（A）=1
4,P（B|A）=1
3,P（A|B）=1
2,令
A发生，B发生，ì1,ì1,Y=íX=íî0，A不发生，î0，B不发生.
求（Ⅰ）二维随机变量（X,Y）的概率分布;
（Ⅱ）X与Y的相关系数ρXY;
（Ⅲ）Z=X22+Y的概率分布.
（13）相关系数中的E（XY），对于离散型随机变量，根据XY的一维分布来求；对于连续型随机变量，按照函数的期
望来求。
+¥
例20：
连续型随机变量：
E（XY）＝òxyf
-¥（x,y）dxdy
（14）应用题：
设Y为题干中要求期望的随机变量，a为最后题目所求，然后找Y与X的函数关系，再求E（Y）。
例21：
市场上对商品需求量为X～U（2000，4000），每售出1吨可得3万元，若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元，问需要组织多少货源，才能使收益的期望最大？
（15）切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。
2、统计
（1）似然函数是联合密度或者联合分布律。
n
连续型：
L（q1,q,L,qm）=2Õ
i=1
nf（xi;q1,q2,L,qm）
离散型：
L（q1,q,L,qm）=2Õ
i=1p（xi;q1,q2,L,qm）
例22：
设总体X的概率分别为X
p012q（1-q）231-2qq2q2其中θ（0<θ<1
2）是未知参数，利用总体X的如下样本值：
3，1，3，0，3，1，2，3
求θ的矩估计值和最大似然估计值。
（2）“无偏”求期望，“有效”求方差，“一致”不管它。
例23：
设x1,x2,L,xn是总体的一个样本，试证
Ù
（1）m1=
Ù151
3
1
3x1+x1+x1+3101434x2+x2+x2-12512112x3;x3;x3.
（2）m2=Ù（3）m3=
都是总体均值u的无偏估计，并比较有效性。
（3）标准正态、t分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数，
c
2、F分布取面积对称的分位数。
3
三、选择题常考的5个混淆概念
1、乘法公式和条件概率
例24：
100个学生，60个男生，40个女生，棕色头发30个，棕色头发的男生10个，任取一个学生，是棕色头发的男生的概率？
已知取了一个男生，是棕色头发的概率？
P（AB）=P（A）P（B/A）
2、独立和互斥
设A≠ø,B≠ø，则A和B相互独立与A和B互斥矛盾。
例25：
对于任意二事件A和B，
（A）若AB=Φ，则A，B一定不独立。
（B）若AB=Φ，则A，B一定独立。
（C）若AB≠Φ，则A，B一定独立。
（D）若AB≠Φ，则A，B有可能独立。
3、独立和不相关
独立是不相关的充分条件。
（X,Y）为二维正态分布时，独立和不相关互为充分必要条件。
4、X，Y分别为正态分布，不能推出（X，Y）为二维正态分布；也不能推出X+Y为一维正态分布。
例26：
已知随机变量X和Y分别服从正态分布N（1，3）和N（0，4），且X与Y的相关系数rXY=-
（1）求Z的数学期望E（Z）和方差D（Z）；
（2）求X与Z的相关系数rXZ；
（3）问X与Z是否相互独立？
为什么？
例27：
设随机变量X和Y都服从正态分布，且它们不相关，则
（A）X与Y一定独立。
（B）（X，Y）服从二维正态分布。
（C）X与Y未必独立。
（D）X+Y服从一维正态分布。
2212，设Z=X3+Y2.
5、几个大数定律的区别
切比雪夫大数定律要求“方差有界”，辛钦大数定律要求“同分布”。
例28：
设{X1,X2,„„Xn，„“}是相互独立的随机变量序列，Xn服从参数为n的指数分布（n=1,2,„„），则随机变量序列{X1,22X2,„„n2Xn，„„}：
（A）服从切比雪夫大数定律。
（B）服从辛钦大数定律。
（C）同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。
（D）既不服从切比雪夫大数定律，也不服从辛钦大数定律。
四、解答题常考的6个题型
1、全概和贝叶斯公式
例29：
在电源电压不超过200V、在200～240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2，设电源电压X～N（220，252），试求
（1）该电子元件损坏的概率α；
（2）该电子元件损坏时，电源电压在200～240V的概率β。
x
F（x）0.100.5300.200.5790.400.6550.600.7260.800.7881.000.8411.200.8851.400.919表中Φ（x）是标准正态分布函数。
2、二项分布
例30：
设测量误差X~N（0，102）。
试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率α，并用泊松分布求出α的近似值（要求小数点后取两位有效数字）。
[附表]：
4
l
e-l1234567L0.3680.1350.0500.0180.0070.0020.001L
3
例31：
设二维随机变量（X，Y）的概率分布为
Y
1
若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立，则
A、a=0.2,b=0.3B、a=0.1,b=C、a=0.3,b=0.2D、a=0.4,b=0.1a0.10.4b
例32：
设随机变量X在区间（0,1）上服从均匀分布，在X=x（0从均匀分布，求
（Ⅰ）随机变量X和Y的联合概率密度；
（Ⅱ）Y的概率密度；
（Ⅲ）概率P{X+Y>1}．
4、数字特征
例33：
一辆送客汽车，载有m位乘客从起点站开出，沿途有n个车站可以下车，若到达一个车站，没有乘客下车就不停车。
设每位乘客在每一个车站下车是等可能的，试求汽车平均停车次数。
例34：
今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒，设X，Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目，试求
（1）（X，Y）的联合分布；
（2）X与Y是否独立；（3）令U=max（X,Y）,V=min（X,Y），求E（U）和E（V）。
例35：
设X1,X2,L,Xn（n>2）为独立同分布的随机变量，且均服从
1
nnN（0，1）。
记X=å
i=1Xi,Yi=Xi-X,i=1,2,L,n.
求：
（I）Yi的方差DYi,i=1,2,L,n;（II）Y1与Yn的协方差Cov（Y1,Yn）.（III）P{Y1+Yn£0}.
5、应用题
例36：
设由自动线加工的某种零件的内径X（毫米）服从正态分布N（μ，1），内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格品。
销售每件合格品获利，销售每件不合格品亏损。
已知销售利润T（单元：
元）与销售零件的内径X有如
ì-1,
ï下关系。
T=í20,
ï-5,î若X<10若10£X£12，问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大？
若X>12
6、最大似然估计
5
ìï
例37：
设随机变量X的分布函数为，F（x,α,β）=í1-
ïî
æαöç÷,èxø0，
β
x>α，x£α，
其中参数α>0,β>1.设X1,X2,L,Xn为来自总体X的简单随机样本，（Ⅰ）当α=1时,求未知参数β的矩估计量；（Ⅱ）当α=1时,求未知参数β的最大似然估计量；（Ⅲ）当β=2时,求未知参数α的最大似然估计量。
五、考试的2个技巧
1、填空题和选择题的答题技巧
例38：
设随机变量Xij（i,j=1,2,L,n;n³2）独立同分布，EX
X11XY=
M
M
M
X12X
L
X1nX
ij
=2,则行列式
2122
L
2n
，的数学期望EY＝
X
n1
X
n2
LX
nn
例39：
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：
A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反
面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则事件（A）A1,A2,A3相互独立。
（C）A1,A2,A3两两独立。
自测题（第一章）
一、选择题（毎小题3分,共15分）：
1.在某学校学生中任选一名学生，设事件A表示“选出的学生是男生”，B表示“选出的学生是三年级学生”，C表示“选出的学生是篮球运动员”，则ABC的含义是（）.
（A）选出的学生是三年级男生；
（B）选出的学生是三年级男子篮球运动员；
（C）选出的学生是男子篮球运动员；（D）选出的学生是三年级篮球运动员；
2.在随机事件A,B,C中，A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为（）.（A）ACUBC
（B）ABC（D）AUBUC
（B）A2,A3,A4相互独立。
（D）A2,A3,A4两两独立。
（C）ABCUABCUABC
3．甲乙两人下棋，甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，设A为甲胜，B为乙胜，则甲胜乙输的概率为（）.
6
（A）0.6´0.6
4．下列正确的是（（B）0.6-0.6´0.4（C）0.6-0.4（D）0.6）.
（A）若P（A）³P（B），则BÍA（B）若AÌB，则P（A）³P（B）
（C）若P（A）=P（AB），则AÍB（D）若10次试验中A发生了2次，则P（A）=0.2
5．设A、B互为对立事件，且P（A）>0,P（B）>0，则下列各式中错误的是（
（A）P（B|A）=0（B）P（A|B）=0（C）P（AB）=0
解：
1.由交集的定义可知，应选（B）
2.由事件间的关系及运算知，可选（A）
13.基本事件总数为C84，设A表示“恰有3个白球”的事件，A所包含的基本事件数为C5=5，故P（A）=）.（D）P（AUB）=15C84，故
应选（D）。
4.由题可知A1、A2互斥，又0<P（B）<1，0<P（A1）<1，0<P（A2）<1，所以
P（A1B∪A2B）=P（A1B）+P（A2B）–P（A1A2B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）
故应选（C）。
5.因为A、B互为对立事件，所以P（A+B）=1，P（AB）=0，又P（A）>0，P（B）>0，
所以B=A，因而P（B|A）=P（A|A）=1，故选（A）
二、填空题（毎小题3分,共15分）：
1．A、B、C代表三件事，事件“A、B、C至少有二个发生”可表示为
2．已知P（AB）=1
16,P（AB）=P（A）P（B）,P（AB）=P（AB），则P（A）=．
3．A、B二个事件互不相容，P（A）=0.8,P（B）=0.1，则P（A-B）=．
4．对同一目标进行三次独立地射击，第一、二、三次射击的命中率分别为0.4,0.5,0.7，则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为．
5．设A、B、C两两相互独立，满足ABC=F,P（A）=P（B）=P（C）<
P（A）=．12，且已知P（A+B+C）=916，则
解：
1.AB+BC+AC
2.∵A、B相互独立，∴P（AB）=P（A）P（B）
∴P（A∪B）=P（A）+P（B）–P（AB）=0.2+0.5–0.1=0.6
3.A、B互不相容，则P（AB）=0，P（A–B）=P（A）–P（AB）=0.8
4.设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时击中目标”，则三次射击中恰有一次击中目标可表示为ABC+ABC+ABC，即有
P（ABC+ABC+ABC）
=P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）+P（A）P（B）P（C）=0.36
5.甲产品滞销或乙产品畅销。
三、判断题（正确的打“√”，错误的打“´”，毎小题2分,共10分）:
7
1.设A、B为任意两个互不相容事件，则对任何事件C,AC和BC也互不相容．[]2．概率为零的事件是不可能事件．
[]
3.设A、B为任意两个事件，则P（A-AB）=P（A）-P（AB）．[]4.设A表示事件“男足球运动员”，则对立事件A表示“女足球运动员”．[]5.设P（A）=0，且B为任一事件，则A与B互不相容，且相互独立．[]
解：
1.正确2.不正确3.正确4.不正确5.不正确
四、（6分）从1,1,2,3,3,3,4,4,5,6这10个数中随机取6个数，求取到的最大数是4的概率．
解：
设A表示事件“12名中国人彼此不同属相”，每个人的属相有12种可能，把观察每个人的属相看作一次试验，由
乘法原理，这12个属相的所有可能排列数为12，而事件A所包含的形式有P
五、（6分）3人独立地去破译一个密码，他们能破译的概率分别为,
12
12
12
种，则P（A）=
P1212
1212
=0.000054。
111
若让他们共同破译的概率是多少？
534
解：
设Ai表示“第i人能译出密码”，i=1,2,3，A1，A2，A3相互独立，A表示“密码译出”，则A=A1×A2×A3∴P（A）=1–P（A）=1-P（A1A2A3）=1-P（A1）P（A2）P（A3）=1-（1-
15）（1-
13）（1-
14）=
35
六、（10分）已知一批产品的次品率为4%，今有一种简化的检验方法，检验时正品被误认为是次品的概率为0.02，而次品被误认为是正品的概率为0.05，求通过这种检验认为是正品的一个产品确实是正品的概率．解：
设A表示通过检验认为该产品为正品，B表示该产品确为正品
依题意有
P（B|A）=
P（B）P（A|B）
P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）
=
0.96´0.98
0.96´0.98+0.04´0.05
=99.8%
七、（10分）假设有3箱同种型号零件，里面分别装有50件，30件和40件，而一等品分别有20件，12件及24件.现在任选一箱从中随机地先后各抽取一个零件（第一次取到的零件不放回），试求先取出的零件是一等品的概率；并计算两次都取出一等品的概率．
解：
设B1、B2、B3分别表示选出的其中装有一等品为20，12，24件的箱子，A1、A2分别表示第一、二次选出的为一等
品，依题意，有
P（A1）=P（B1）P（A1|B1）+P（B2）P（A1|B2）+P（B3）P（A1|B3）=×
120350
3
+
1121247×+×==0.46733034015
P（A1A2）=åP（Bi）P（A1A2|Bi）=
i=1
13
´
2050
´
1949
+
13
´
1230
´
1129
+
13
´
2440
´
2339
=0.220
八、（10分）设P（A）=
13
P（B）=
12
．
1812
1.若AB=F，求P（BA）；2.若AÌB，求P（BA）；3.若P（AB）=解：
1.P（BA）=P（B）–P（AB）因为A，B互斥，故P（AB）=0，而由已知P（B）=
，求P（BA）．
8
∴P（BA）=P（B）=
2.∵P（A）=1
31213，由AÌB知：
P（AB）=P（A）=
12∴P（BA）=P（B）–P（AB）=
3.QP（AB）=1
8–1312=1618=3
8∴P（BA）=P（B）–P（AB）=–
九、（10分）一批产品10件，出厂时经两道检验，第一道检验质量，随机取2件进行测试，若合格，则进入第二道检验，否则认为这批产品不合格，不准出厂；第二道检验包装，随机取1件，若合格，则认为包装合格，准予出厂．两道检验中，1件合格品被认为不合格的概率为0.05，一件不合格品被认为合格的概率为0.01，已知这批产品中质量和包装均有2件不合格，求这批产品能出厂的概率．
解：
设Hi表示报名表是第i个地区考生的（i=1,2,3），Aj表示第j次抽到的报名表是男生表（j=1,2），则
P（H1）=P（H2）=P（H3）=
P（A1|H1）=71013815；P（A1|H2）=
3；P（A1|H3）=1320255
252990
（1）p=P（A1）=åP（Hi）P（A1|Hi）=
i=1310（+7
15
8
15+）=1025
（2）由全概率公式得P（A2|H1）=
P（A1A2|H1）=
3710，P（A2|H2）=830，P（A2|H3）=530730，P（A1A|H2）=，P（A1A2|H3）=78
15
720258
30P（A2）=åP（Hi）P（A2|Hi）=i=131310（++）=619050P（A1A2）=åP（Hi）P（A1A2|Hi）=
i=11330（++）=2
92
因此，q=P（A1|A2）=P（A1A2）P（A2）=209=6161
90
十、（8分）设0证明：
∵0<P（A）<1，0<P（B）<1
∴P（A|B）=P（AB）
P（B）,P（A|B）=P（AB）
P（B）=1-P（A+B）
1-P（B）
=1-P（A）-P（B）+P（AB）
1-P（B）
又∵P（A|B）+P（A|B）=1
1-P（A）-P（B）+P（AB）
1-P（B）P（B）-P（AB）P（B）∴
=9
化简，得：
P（AB）=P（A）P（B）
∴事件A、B相互独立
自测题（第二章）
一、选择题（每小题3分,共15分）:
1．设随机变量X的分布律为P{X=k}=blk（k=1,2,L），则（
（A）0（C）02）.2．设随机变量X的密度函数为f（x）=Ae-x
（A）e+2x，则（）.2
ep（B）1
ep（C）1
ep（D）
3．设随机变量X的概率密度和分布函数分别是f（x）和F（x），且f（x）=f（-x），则对任意实数a，有F（-a）=（）.
1
2-F（a）（B）1
2+F（a）（C）2F（a）-1（A）（D）1-F（a）
4．设相互独立的随机变量X,Y具有同一分布，且都服从区间[0，1]上的均匀分布，则在区间或区域上服从均匀分布的随机变量是（
（A）（X,Y））.（B）X+Y（C）X-Y（D）X2
5．设F1（x）与F2（x）分别为随机变量X1与X2的分布函数,为使F（x）=aF1（x）-bF2（x）是某随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取（
（A）
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