第十二章全等三角形.docx
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第十二章全等三角形
第十二章全等三角形
第一课时12.1全等三角形
一、新课引入
观察你身边的物体,能发现有哪些形状、大小相同的图形?
请举出一些例子.
二、学习目标
1、理解全等形与全等三角形相关的概念;
2、掌握全等三角形的性质并会应用.
三、研读课本
认真阅读课本第31至32页的内容,完成下面练习并体验知识点的形成过程.
知识点一全等三角形的有关概念
1、我们把的两个图形叫做全等形.
2、的两个三角形叫做全等三角形.
3、如图,
12.1-2
(1)12.1-2
(2)12.1-2(3)
(1)一个图形经过平移、翻折、旋转后,
位置变化了,但都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形.
(2)把两个全等三角形重合到一起,_______
叫做对应顶点,___叫做对应边,_______叫做对应角.
(3)“全等”用符号“”表示,读作“_____”.
练一练
1、如上图12.1-2
(1),△ABC与△DEF全等,记作___,其中,点A与点_,点B与点_,点C与点_是对应顶点;AB与__,BC与_,AC与__是对应边;∠A和_,∠B和,∠C和_是对应角.
温馨提示:
记三角形全等时,要把表示对应顶点的字母写在对应的位置.
2、请说出图12.1-2
(2)、(3)中△ABC与
△DBC、△ABC与△AED的对应顶点与对应边.
知识点二全等三角形的性质
1、图12.1-2
(1)中,△ABC≌△DEF,对应边有什么关系?
对应角呢?
2、归纳全等三角形的性质:
全等三角形的
全等三角形的
练一练如图,△OCA≌△OBD,点C和点B、点A和点D是对应顶点.说出这两个三角形中相等的边和角.
4、归纳小结
1、的两个图形叫做全等形.
2、的两个三角形叫做全等三角形.
3、全等三角形的对应边.
全等三角形的对应角.
4、学习反思:
.
5、强化训练
1、已知△ABC≌△A′B′C′,∠A=80°,
∠B=40°,那么∠C′的度数为().
A.80°B.40°C.60°D.120°
2、已知△ABC≌△DEF,AB=5,BC=4,AC=3,
∠C=90°,则△DEF中,最小的边长为,
最大的角为.
3、如图两个全等三角形,图中的字母表示三角形的边长,则∠1等于多少度?
4、如图△ABC≌△DEF,
(1)若∠A=40°,∠B=90°,∠ACB=50°,则
∠E=___,∠D=__,∠DFE=__.
(2)若AB=4,BC=3,AC=5,则△DEF的三边
各是=__,__=,__=_.
(3)若AF=1,则FC=.
5、如图,△ABD≌△CDB,AB和CD,AD与CB是对应边,写出其他的对应边与对应角.
6、如图,若△ABE≌△ACD,∠B和∠C是对应角,AB和AC是对应边.请写出它们的对应边与对应角.
第二课时
12.2.1三角形全等的判定(SSS)
一、
新课引入
1、如图,△ABC≌△DEC,则
相等的边有
_______________________,
相等的角有__________________.
2、如果△ABC与△A′B′C′,满足:
AB=A′B′,BC=B′C′,AC=A′C′,
∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,
那么△ABC≌△A′B′C′.
如果只满足这六个条件中的一部分,那么能否保证△ABC与△A′B′C′全等呢?
二、学习目标
1、经历三角形全等的探索过程,得出三角形全等的条件;
2、能用“SSS”判定两个三角形全等和画等角.
三、研读课本
认真阅读课本第35至37页的内容,完成下面的练习,体验知识点的形成过程。
知识点一三角形全等的判定“SSS”
探究1画出满足以下条件的两个三角形并回答问题:
(1)如果△ABC与△A′B′C′有一个角或一条边相等,那么这两个三角形一定全等吗?
答:
.
(2)如果△ABC与△A′B′C′满足全等的六个条件中两个,能保证这两个三角形一定全等吗?
答:
.
探究2画任意一个△ABC,再画一个△A′B′C′,使A′B′=AB,B′C′=BC,A′C′=AC.
画图步骤参照:
(1)画B′C′=BC;
(2)分别以点B′、C′为圆心,线段AB、AC长为半径画狐,两狐相交于点A′;
(3)连接线段A′B′、A′C′.
观察和验证两个三角形是否全等?
三角形全等的判定方法1
________________________________
(简写成“______”或”___”).
知识点二全等三角形的判定“SSS”的应用
例1如图△ABC是一个钢架,AB=AC,AD是连接点A与BC中点D的支架.求证△ABD≌△ACD.
证明:
∵D是BC的中点,
∴=
∴在△ABD与△ACD中
∴△ABD≌△ACD()
练一练
1、本节课学习的全等三角形判定方法是:
_______,
可以简写成______或.
符号“∵”表示___,“∴”表示___.
如图,C是AB的中点,AD=CE,CD=BE.
求证:
△ACD≌△CBE
知识点三(尺规作图)作一个角等于已知角
已知:
∠AOB.
求作:
∠A′O′B′=∠AOB.
作法:
1、以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交
于OA、OB于点C、D;
2、画一条O′A′,以点为圆心,
_长为半径画弧,交___于点_;
3、以点为圆心,长为半径画弧,与前弧相交于点;
4、过点画.则
∠A′O′B′=∠AOB.
思考为什么这样能作出相等的角?
说出理由!
四、归纳小结
1、的两个三角形全等
(简写成“_______”或””).
2、会用直尺和圆规画一个角等于已知角.
3、学习反思:
.
五、强化训练
1、已知,如下图,AB=AC,BE=CD,要使△ABE≌△ACD,依据“SSS”,则还使添加条件.
第1题第2题
2、如图所示,在△ABC中,AB=AC,BE=CE,则由“SSS”可直接判定()
A、△ABD≌△ACDB、△ABE≌△ACE
C、△BED≌△CEDD、以上答案都不对
3、如图AB=DE,AC=DF,BE=CF.
证明:
△ABC≌△DEF.
第三课时12.2.2
全等三角形的判定(SAS)
一、新课引入
1、上节课我们学习了三角形全等的一个判定方法是什么?
答:
2、如右图,在△ABD与△ACE中,若
AB=____,
AD=_,
BD=________,
则△ABD≌△ACE.
二、学习目标
1、经历三角形全等的判定方法SAS的探究;
2、会运用SAS的方法判定两个三角形全等.
三、研读课本
认真阅读课本第37至39页的内容,完成下面练习并体验知识点的形成过程.
知识点一三角形全等的判定“SAS”
任意画出一个△ABC,再画△A′B′C′
使A′B′=AB,A′C′=AC,∠A′=∠A.
观察并验证它们是否全等?
画图步骤参照:
画∠DA′E=∠A;
在射线A′D上截取A′B′=AB,
在射线A′E上截取A′C′=AC;
连接B′C′.
由此得,三角形全等的判定方法2
________________________________________
(简写为“______”或“__”).
知识点二全等三角形的判定“SAS”的应用
例2如下图,有一个池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个点C,从点C不经过池塘可以直接到达点A和点B.连接AC并延长到点D,连接BC并延长到点E,CB=CE.连接DE,那么量出DE的长就是A、B的距离.为什么?
2
1
分析:
问题实际是:
在△ABC与△DEC中,CA=CD,CB=CE.求证:
AB=DE.只要证得________≌_______,就可以得出AB=DE.由题意可知,△ABC和△DEC具备了“______”的条件.
证明:
在△ABC和△DEC中,
CA=________
∠1=(对顶角_________)
∴△ABC≌△DEC()
∴AB=DE()
归纳证明线段相等或者角相等时,常常通过证明它们是_____________的对应边或对应角来解决.
练一练
1、如图,两车从南北方向的路段AB的A端出发,分别向东、向西的行进相同的距离,到达C、D两地,此时C、D到B的距离相等吗?
为什么?
2、如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,
∠B=∠C.求证∠A=∠D.
实验操作如图,把一长一短的两根木棍的一端固定在一起,摆出△ABC.固定住长木棍,转动短木棍,得到△ABD.
分析:
上图中,
AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但很明显△ABC与
△ABD不全等.∠B是AB和AC或AB和AD的夹角吗?
∠B是______或______的对角.
结论有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形__________全等.(填一定或不一定)
四、归纳小结
1、__________的两个三角形全等(简写为“___”或“_”).
2、有两边和其中一边的__________分别相等的两个三角形不一定全等.
3、学习反思:
.
五、强化训练
1、如下图,AB=AC,AD=AD,用今天所学的判定法,要使△ABD≌△ACD,需要添加的条件是:
__________.
第1题第2题
2、如上图,已知,AC=AE,∠BAC=∠DAE,AB=AD若∠D=250,则∠B的度数为().
A.250B.300
C.150D.150或300
3、如图,点B,F,C,E在一条直线上,BF=CE,AC=DF,AC∥DF,求证:
AB=DE.
4、已知AB=AC,AD=AE,求证:
∠B=∠C.
第四课时12.2.3
全等三角形的判定(ASA、AAS)
一、新课引入
1、前面我们学习了两个三角形全等的判定,它们分别是什么?
2、如下图,在△ABC与△DEC中,
若CA=_____,CB=_________,
则△ABC≌△DEC.
二、学习目标
1、经历三角形全等的判定的第三种方法ASA的探究,并用ASA推导出第四种判定方法AAS;
2、会运用这两种方法去判定两个三角形全等.
三、研读课本
认真阅读课本第39至41页的内容,完成下面练习并体验知识点的形成过程.
知识点一三角形全等的判定“AAS”
画任意一个△ABC,再画一个△A′B′C′,使AB=AB,∠A′=∠A,∠B′=∠B(即两角和它们的夹边对应相等),验证这样的两个三角形是否全等?
作图步骤参照:
(1)画A′B′=AB;
(2)在AB的同旁画∠DA′B′=∠A,
∠EB′A′=∠B;A′D,B′E的交点为C′.
由此得,三角形全等的判定方法3
________________________________________(简写为“___”或“_”).
知识点二全等三角形的判定“AAS”的应用:
例3如图,点D在AB上,点E在AC上,
AB=AC,∠B=∠C.求证:
AD=AE
分析:
只要找出___≌___,得AD=AE.
证明:
在△_ACD和△ABE中,
∠B=_()
∠C=_
∴△ACD≌△ABE()
∴AD=AE()
练一练如图,要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离,可以再池塘外取AB的垂线BF上的两点C、D,使BC=CD,再画出BF的垂线DE,使E与A、C在一条直线上,这时测得DE的长就是AB的长,为什么?
请证明.
例4如图,在△ABC与△DEF中,∠A=∠D,
∠B=∠E,BC=EF.求证:
△ABC≌△DEF.
分析:
可以先证明∠C=∠F,再利用“ASA”证明
△ABC和△DEF全等.
证明:
在△ABC中,∠A+∠B+∠C=_______,
∴∠C=______-∠A-∠B.
同理,∠F=_____________________.
又∠A=∠D,∠B=∠E,
∴____________________.
在△ABC和△DEF中,
∠B=_
∠C=_
∴△ABC≌△DEF()
由此得,三角形全等的判定方法4
____________
(简写为“___”或“_”).
练一练如图,AB⊥BC,CD⊥AD,∠1=∠2.
求证:
AB=AD.
四、归纳小结
1、今天学了三角形全等判定的两个方法是:
(1)的两个三角形全等(可简写为“_”或“”)
(2)的两个三角形全等(可简写为“_”或“”)
2、使用“ASA”或“AAS”时,如何区分?
三角分别相等的两个三角形全等吗?
答:
____________________________________.
3、总结三角形全等的判定方法:
(1)
(2)
(3)
(4)
4、学习反思:
.
五、强化训练
1、如图,如果∠A=∠D,∠B=∠E,
要使
△ABC≌△DEF,需添加条件____________.
2、如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证AC=AD.
第五课时12.2.4
全等三角形的判定(HL)
一、新课引入
1、简写关于一般的三角形全等的判定方法:
__________________________________.
2、直角三角形是一种特殊的三角形,它有自己特殊的全等判定方法吗?
二、学习目标
1、探究直角三角形全等的条件;
2、会用HL去证明直角三角形全等.
三、研读课本
认真阅读课本第39至41页的内容,完成下面练习并体验知识点的形成过程.
知识点一直角三角形全等的判定“HL”
1、对于两个直角三角形,因为它们已经有一对直角相等,根据三角形全等的条件,它们只需要______分别相等,或分别相等,这两个三角形就全等了.
2、如果满足斜边和一条直角边对应相等,这两个直角三角形全等吗?
探究画一任意Rt△ABC,使∠C=90°,再画一个Rt△A′B′C′,使∠C′=90°,B′C′=BC,这样作出的两个直角三角形全等吗?
作图方法指导:
1画∠MC′N=90°;
2射线C′M上取B′C′=BC;
3点B′为圆心,AB为半径画弧,
交射线C′N于点A′;
④连接A′B′.
由此得,判定两个直角三角形全等的方法:
________________________________
(简写成“________________”或“______”).
知识点二“HL”的应用
例5如图,AC⊥BC,BD⊥AD,AC=BD,
求证:
BC=AD.
证明:
∵AC⊥BC,BD⊥AD
∴∠=∠=90º
在和中
∴≌()
∴BC=AD()
练一练
1、如图,C是路段AB的中点,两人从C同时出发,以相同的速度分别沿两条直线行走,并同时到达D、E两地。
DA⊥AB。
D、E与路段AB的距离相等吗?
为什么?
2、如图,AB=CD,AE⊥BC,DF⊥BC,AE=DF.
求证:
CF=BE.
四、归纳小结
1、直角三角形全等的判定方法是:
_____________________________
(简写成“________________”或“______”).
2、学习反思:
.
五、强化训练
1、如图,已知AB=DE,要使RT△ABC≌RT△DEF,可添加的条件有:
______________.
2、下列结论不正确的是( ).
A、两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.
B、一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等.
C、一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等.
D、两条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
3、如图,∠B=∠D=90°,BC=CD,∠BAC=40°,则∠ACD=( ).
A.40°
B.50°
C.60°
D.75°
4、如图,AC⊥CB,DB⊥CBAB=DC.
求证:
∠ABD=∠ACD.
5、如图,△ABC中,AB=AC,AD是高,
求证:
(1)BD=CD;
(2)∠BAD=∠CAD.
第六课时12.3.1
角的平分线的性质
(1)
一、新课引入
1、在纸上任意画一个角,用剪刀剪下,用折纸的方法确定角的平分线.
2、如图是平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.它是怎样实现平分角的?
原理是什么?
二、学习目标
1、会作一个已知角的平分线的方法;
2、掌握角平分线的性质.
三、研读课本
认真阅读课本第48至49页的内容,完成下面练习并体验知识点的形成过程.
知识点一(尺规作图)作已知角的平分线
利用平分角仪器的原理作已知角的平分线.
已知:
∠AOB.
求作:
∠AOB的平分线.
根据下面作法在图中画出∠AOB的平分线.
(1)以O为圆心,适当长为半径画弧,交OA于M,交OB于N;
(2)分别以M、N为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部交于点C;
(思考为什么要以大于
MN的长为半径?
)
(3)画射线OC,射线OC即为所求.
练一练1、根据上面的作法画平角∠AOB的角平分线(写出作法).
2、如图,在直线MN上求作一点P,使点P到射线OA和OB的距离相等(不写作法).
知识点二角平分线的性质
根据下面的操作步骤思考
(1)作任意一个角∠AOB,剪下来;
(2)将∠AOB对折.记折痕为OC;
(3)以OC为斜边,折一个直角三角形;
(4)张开折纸,观察两次折叠形成的折痕,你有什么结论?
再取一点试试!
答:
________.
结论角的平分线上的点.
练一练
1、∠AOB的平分线上一点M,M到OA的距离是1.5cm,则M到OB的距离为__________.
2、如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
求证:
EB=FC.
知识点三证明角平分线的性质
求证:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
分析:
这个命题的已知是___________________
______________________,结论是___________
_______________________________________.
画出图形,并用符号表示已知和求证.
已知:
如图,∠AOC=_________,点P在OC上,PD⊥______,PE⊥______,垂足分别为D、E.
求证:
_______________.
证明:
∵PD⊥______,PE⊥______
∴∠PDO=________=______°
在△______和△______中
∴△______≌△______()
∴_________________.
一般情况下,我们要证明一个几何中的命题时,会按照类似的步骤进行,即:
(1)明确命题中的和;
(2)根据题意,画出__,并用_表示已知和求证;
(3)经过分析,找出有已知推出要证的结论的途径,写出.
四、归纳小结
1、口述用尺规作一个角的角平分线的步骤.
2、角的平分线上的点.
3、简单叙述命题证明的步骤.
4、学习反思:
.
五、强化训练
如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,PE∥AB,交BC于点E,PF∥AC,交BC于点F.求证点D到PE和PF的距离相等.
第七课时12.3.2
角的平分线的性质
(2)
一、新课引入
1、角平分线的性质:
_____________________
_.
2、求作:
∠AOB的平分线.
二、学习目标
1、探究并证明角平分线的逆定理;
2、利用角的平分线的性质解决一些实际问题.
三、研读课本
认真阅读课本第49至50页的内容,完成下面练习并体验知识点的形成过程.
知识点一角平分线的性质的逆定理
1、我们知道角的平分线上的点到角的两边的距离相等,那么,到角两边距离相等的点是否在角的平分线上呢?
你能证明它吗?
2、求证:
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上.
分析:
这个命题的已知是___________________
______________________,结论是___________
_______________________________________.
画出图形,并用符号表示已知和求证.
已知:
__________________________________.
求证:
_________________________________.
证明:
由此得,角平分线的性质的逆定理
角的内部到
在角的平分线上.
练一练
1、如图,要在S区建一个集贸市场,使它到公路、铁路的距离相等,并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置,比例尺为1:
20000)?
知识点二三角形的三条角平分线的关系
例如图△ABC的角平分线BM,CN相交于点P.
求证:
点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
证明:
过点P作PD,PE,PF分别垂直于AB,BC,CA,垂足为D,E,F.(请在图中画出)
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴__________________
同理PE=PF
∴______________________
即点P到三边AB,BC,CA的距离相等.
想一想点P在∠A的平分线上吗?
答:
____________________________________.
归纳三角形的三条角平分线相交于__,这点到三角形三边的距离___.
练一练如图,△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE交于点P.求证:
点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等.
四、归纳小结
1、角的平分线上的点到相等.
2、角的内部到角的两边的距离相等的点在__________________上.
3、三角形的三条角平分线相交于__,这点到三角形三边的距离___.
4、学习反思:
.
五、强化训练
1、如图,在Rt△ABC中,AD是∠BAC的平分线,BC=9㎝,BD=5㎝,则点D到AC的距离为___________.
2、如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,
DF⊥AC,垂足分别是E,F,BE=CF.
求证:
AD是△ABC的角平分线.