高等代数行列式计算方法.docx
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高等代数行列式计算方法
第2章n级行列式的计算方法
2.1定义法
对于含非零元素较少的行列式,用定义计算非常方便。
由定
义可知,n级行列式共有n!
项,每一项的一般形式为
(1)r(j1j2Ljn)a1j1a2j2Lanjn,若每一项n个元素的乘积中有零因子,则该
项的值为零。
若零元素较多,则值为零的项就越多,此时找出那
些不为零的项就可求出行列式的值。
例1
计算n级行列式
0
0
0
L
0
1
0
0
0
L
2
0
DM
M
M
MM
0
n1
0
L
0
0
n
0
0
L
0
0
2.2利用行列式的性质
例2计算n级行列式
x1
y1
x1
y2
L
x1
yn
x2
y1
x2
y2
L
x2
yn
D
M
M
M.
xn
y1
xn
y2
L
xn
yn
解当n1时,D
x1
y1;
当n
2时,D(x1
x2)(y1
y2);
当n
3时,把第一行的
1
倍分别加到第i行,i2,3,L,n,
行列式的值不变,得
x1
y1
x1
y2
Lx1
yn
x2
x1
x2
x1
L
x2
x1
0
D
M
M
M
xn
x1
xn
x1
L
xn
x1
综上可得
x1y1(n1)
D(x1x2)(y1y2)(n2)0(n3)
2.3三角化法
由于上三角行列式或下三角行列式的值都等于主对角线上的
元素的积。
故可利用行列式的性质,采用“化零”的方法。
充分利用行列式中元素间具有某些特点及行列式性质,化为三角形行列式。
例4
计算n级行列式
x
b
b
L
b
b
x
b
L
b
Dnb
b
x
L
b
M
M
M
M
b
b
b
L
x
解这行列式的特点是每行和相等,根据行列式的性质,把
第2,3,L,n列加到第1列上,行列式不变,得
x
(n
1)b
b
b
L
b
x
(n
1)b
x
b
L
b
D
x
(n
1)b
b
x
L
b
M
M
M
M
x
(n
1)b
b
b
L
x
1
b
b
L
b
1
x
b
L
b
x
(n
1)b
1
b
x
L
b
MMM
M
1
b
b
L
x
1
b
b
L
b
0
x
b
0
L
0
x
(n
1)b
0
0
x
b
L
0
M
M
M
M
0
0
0
L
xb
[x
(n1)b](x
b)n
1
例5
计算n级行列式
x
a1
a2
L
an
1
a1
x
a2
L
an
1
Dna1
a2
x
L
an1
M
M
M
O
M
a1
a2
a3
L
x
解将其他各列全部加到第一列,可得
n1
x
ai
a1
a2
L
i1
n1
x
ai
x
a2
L
i1
n1
x
ai
a2
x
L
i1
M
M
MO
n1
x
ai
a2
a3
L
i1
1
a1
a2
L
1
x
a2
L
n1
(xai)1
a2
x
L
i1
MO
MM
1
a2
a3
L
an1
an1
an1
M
x
an1
an1
an1
M
x
1
a1
a2
L
an1
0
x
a1
0
L
0
n1
(x
ai)0a2
a1
xa2
L
0
i
1
M
M
O
M
M
0
a2
a1
a3a2
Lxan1
n1
n1
(x
ai)(xai)
i1
i1
2.4升级法
行列式的计算中通常是级数越低越容易计算,但有些行列式适当地升高一级反而容易求其值,这种方法称为升级法(也称加边
法),加上适当的行列后可以简化问题。
例6计算n级行列式
a
1
a
a
L
a
a
1
a
L
a
a
2
Dn
a
a
a
1
L
a
3
.
M
M
M
O
M
a
a
a
L
1
a
n
解利用加边法.
1
a
a
L
a
0
a1
a
L
a
0
a
1
L
a
Dn
Dn1
a
2
M
M
M
O
M
0
a
a
L
1
a
n
1
a
a
L
a
1
1
0
L
0
1
0
1
L
0
2
M
M
M
O
M
1
0
0
L
1
n
将Dn的第二列乘1,第三列乘2,,第n1列乘n并都加到第一列,可得
n
1kaaaLa
k1
010L
1
Dn00L
2
MMMO
000L
0
0
=[1n(n
1)a]1
2
n!
M
1
n
2.5降级法
按行(列)展开将高级行列式化为低级行列式来计算。
此方
法适用于某一行(列)含有较多零元素的行列式,应用行列式的展开定理按此行(列)展开。
例7计算n级行列式
1
2
3
4
L
n
2
3
4
5
L
1
Dn
3
4
5
6
L
2
4
3
2
1
L
3
.
MMMMO
M
n
1
2
3
L
n1
解观察行列式的每行之和为定值(1+2++n),因此将各列加到第一列后,则
1
2
3
4
L
n
1
3
4
5
L
1
Dn
n(n
1)1
4
5
6
L
2
2
1
3
2
1
L
3
MMMMO
M
1
1
2
3
L
n1
1
2
3
4
L
n
0
1
1
1
L
1n
n(n
1)0
1
1
1
L
1
2
0
1
1
1
L
1
M
M
MMO
M
0
1n
1
1
L
1
由于相邻两行元素比较接近,逐行相减。
即第二行减第一
行,第n行减第n1行得
11L11n
n(n1)11L1n1
2MMMM
1n1L11
1
n
1
L
1
n(n1)
(n1)(n2)
1
1n
L
1
1)
2
(
M
M
O
M
2
1
1
L
1n
n(n1)
(n1)(n2)
n2
1)
2
(1)(n)
(
2
n(n1)
nn
nn1
(1)2
2
2.6归纳法
通过计算一些初始行列式D1,D2,D3等,找出结果与级数之间的
关系,利用不完全归纳法寻找出行列式的猜想,用数学归纳法给出猜想值的严格证明。
例8计算n级行列式
cos
1
0
...
0
0
1
2cos
1
...
0
0
0
1
2cos
...
0
0
Dn
...
...
...
...
....
...
0
0
0
...
2cos
1
0
0
0
...
1
2cos
证明由于
D1
cos
;
D
cos
1
2cos2
1
cos2.
2
1
2cos
cos
1
0
2cos
1
1
0
D3
1
2cos
1
cos
1
2cos
1
2cos
0
1
2cos
cos(4cos2
1)
2cos
cos3
所以当n
1,2,3时,结论成立。
猜想:
Dn
cosn.
以下用数学归纳法证明
当n1,2,3时已成立。
假设nk1,nk时的行列式猜想成立,即
Dk1cos(k1),Dkcosk。
下证明nk1时行列式结论也成立。
现将按最后一行展开,得
Dk12cosDkDk1
由归纳假设,
Dk1
2cos
cosk
cos(k
1)
2cos
cosk
cosk
cos
sink
sin
cosk
cos
sink
sin
cos(k
1)
所以对一切自然数n结论成立。
综上所述
Dncosn.
2.7递推法
利用行列式的性质,按行(列)展开行列式,使行列式降级,比较原行列式和降级后的行列式的异同,找出递推关系,依此类推计算行列式的值。
例9计算n级行列式
a1
y
y...
y
y
x
a2
y...
y
y
Dn
x
x
a3...
y
y
M
M
MO
M
M.
x
x
x...
an1
y
x
x
x...
x
an
解由行列式性质,按最后一列展开得
a1
y
y...
y
y
0
x
a2
y...
y
y
0
Dn
x
xa3
...
y
y
0
M
M
MO
M
M
x
x
x...
an1
y
0
x
x
x...
x
y
an
y
a1
y
y...
y
y
a
y
y
...
y
0
1
x
a2
y...
y
y
x
a
y
...
y
0
2
x
x
a3
...
y
y
x
x
a
...
y
0
3
MMMOMM
MM
MOMM
x
x
x...
an1
y
x
x
x
...
an1
0
x
x
x...
x
y
x
x
x
...
x
an
y
a1
x
y
x
y
x...
y
x
0
0
a2
x
y
x...
y
x
0
0
0
a3
x...
y
x
0
(an
y)Dn
M
M
M
O
M
1
M
0
0
0...
an
1x
0
x
x
x...
x
y
n
1
(any)Dn1y
(ai
i
1
行列式转置同理有Dn
若xy,解得:
Dn
若xy,解得:
Dn
2.8拆分法
y)
n1
(anx)Dn
1
x
(ai
y)
i
1
n
n
n
a1
(ai
y)
y
i2
(aj
y)
i
2
j
i
1
n
n
[x
(a
y)
y
(a
x)]
xy
i
i
i
1
i1
把行列式的某一行(列)的各个元素写成两数和的形式,再利用行列式性质将原行列式写成两个行列式的和,使问题简化以利于计算。
例10计算n级行列式
x
a
a...
a
b
x
a...
a
Dn
b
b
x...
a
................
b
b
b...
x
解将Dn第一行元素拆为
x
a
a
...
a
b
x
a
...
a
Dn
b
b
x
...
a
...............
b
b
b
...
x
a
a
a...
a
xa
0
0...
0
b
x
a...
a
b
x
a...
a
b
b
x...
a
b
b
x...
a
...............
...............
b
b
b...
x
b
b
b...
x
a(xb)n1
(xa)Dn1
(1)
再将Dn第一列元素拆为
(x
b)b
a
a...
a
0
b
x
a...
a
Dn
0
b
b
x...
a
...
............
0
b
b
b...
x
xb
a
a...
a
b
a
a...
a
0
x
a...
a
b
x
a...
a
0
b
x...
a
b
b
x...
a
...............
...............
0
b
b...
x
b
b
b...
x
(xb)Dn1b(xa)n1
(2).
联立上述
(1),
(2)两递推公式
Dn
a(xb)n1
(xa)Dn1
.
Dn
(xb)Dn1
b(xa)
n1
当ab时
Dn
b(xa)n
a(xb)n
b
a
当ab时
Dnx(n1)a(xa)n1.
第3章几类特殊行列式的计算方法
3.1一类常见特殊行列式的值
1.奇级数反对称行列式的值为零,即
1a12La1n
a120La2n
0
MMOM(n为奇数)
a1na2nL0
2.上(下)三角行列式的值等于主对角线上元素的乘积,
即
a11
a12
L
a1n
a11
0
L
0
0
a22
L
a2n
a21
a22
L
0
M
M
O
M
M
M
O
M
0
0
L
ann
an1
an2
L
ann
a11
0
L
0
0
a22
L
0
MM
OMa11a22Lann
0
0
L
ann
3.次三角行列式的值等于适当添加正负号的次对角线上元
素的乘积,即
a11
K
a1,n1
a1n
0
0
L
a1n
a21
La2,n1
0
0
L
a2,n1
a2n
MN
M
M
N
M
M
.
a
0
L
0
an1
L
an,n1
ann
n1
0
0
L
a1n
0
L
a2,n1
0
n(n
1)
(1)2
a1na2,n1L
an1
M
N
M
M
an1
L
0
0
4.分块三角行列式可化为低级行列式的乘积,即
a11
L
a1m
*L
*
a11
L
a1m
0L
0
M
M
M
M
M
M
M
M
am1
Lamm
*
L
*
am1L
amm
0
L
0
0L
0b11
Lb1n
*L
*
b11
Lb1n
M
M
M
M
M
M
M
M
0L
0bn1
Lbnn
*L
*
bn1
Lbnn
a11
L
a1m
b11
L
b1n
M
M
M
M
am1L
ammbn1
Lbnn
*L
*
a11
L
a1m
0
L
0a11
L
a1m
M
M
M
M
M
M
M
M
*
L
*am1
Lamm
0
L
0am1
L
amm
b
L
b
0
L
0
11
L
1n
*
L
*
11
1n
b
b
M
M
M
M
M
M
M
M
bn1
L
bnn
0
L
0
bn1
L
bnn
*
L
*
a11
L
a1m
b11
L
b1n
(1)mn
M
M
M
M
am1
L
amm
bn1
L
bnn
3.2箭形行列式
对于形如
的所谓箭形(或爪形)行列式,可
直接利用行列式性质将一条边化为零,再利用三角或次三角行列
式求值。
例11
计算n级行列式
1
1
L
1
1
1
2
L
0
0
Dn
MMO
M
M
1
0
L
n1
0
1
0
L
0
n
解
1
(2i
n)倍加到第一列得
将第i列