小学奥数几何五大模型等高模型.docx
《小学奥数几何五大模型等高模型.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《小学奥数几何五大模型等高模型.docx（141页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
小学奥数几何五大模型等高模型
三角形等高模型与鸟头模型
模型一三角形等高模型
已经知道三角形面积的计算公式：
三角形面积底高2
从这个公式我们可以发现：
三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时
发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的
3倍，底变为原来的
1，则三角形面积与原来
3
的一样．这就是说：
一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，
而不仅仅取决于高或底的变化．
同
时也告诉我们：
一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
如图S1:
S2a:
b
AB
S1
S2
a
b
C
D
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图
S△ACDS△BCD；
反之，如果S△ACD
S△BCD，则可知直线
AB平行于CD．
④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
【例1】你有多少种方法将任意一个三角形分成：
⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形；⑶
6个面积相等的三角形。
【解析】⑴如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：
AAA
G
F
BDECBDCBDC
⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
⑴⑵⑶⑷⑸
⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考：
【例2】如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍？
A
B
D
C
【解析】因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从A
点向BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
于是：
三角形
ABD的面积
12
高
2
6高
三角形ABC的面积（12
4）高
28
高
三角形ADC的面积4高22
高
所以，三角形
ABC的面积是三角形
ABD面积的4倍；
3
三角形ABD的面积是三角形
ADC面积的3倍。
【例
3】如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面
积是
平方厘米。
AB
EF
DC
【解析】图中阴影部分的面积等于长方形ABCD面积的一半，即4326（平方厘米）。
【巩固】
是
年四中小升初入学测试题
平方厘米。
）如图所示，平行四边形的面积是
50平方厘米，则阴影部分的面积
【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边形面积的一半，为50225平方厘米。
【巩固】如下图，长方形
AFEB和长方形FDCE拼成了长方形
ABCD，长方形
ABCD的长是
20，宽是
12，则
它内部阴影部分的面积是
。
AB
F
E
D
C
【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为
1
12120。
20
2
【例
4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形
ABCD边上的中点，H为AD
边上的任意一点，求阴影部分的面积。
A
H
D
A
H
D
E
G
E
G
BFCBFC
【解析】本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。
连接BH、CH。
∵AEEB，
∴S△AEH
S△BEH．
同理，S△BFHS△CFH，SCGH=SDGH，
∴S阴影
1
1
（平方厘米）．
S长方形ABCD
5628
2
2
【巩固】图中的
E、F、G分别是正方形
ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是
12，那么阴影部
分的面积是
。
A
D
A
H
D
6
G
5
1G
E
E
4
2
3
B
F
C
B
F
C
【解析】把另外三个三等分点标出之后，正方形的
3个边就都被分成了相等的三段。
把
H和这些分点以及正
方形的顶点相连，把整个正方形分割成了
9个形状各不相同的三角形。
这
9个三角形的底边分别是
在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。
阴影部分被分割成了3个三角形，右
边三角形的面积和第
1第2个三角形相等：
中间三角形的面积和第
3第4
个三角形相等；左边三角形
的面积和第5个第6个三角形相等。
因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等
于正方形面积的三分之一。
正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。
【例5】长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
AHD
EG
BFC
【解析】解法一：
寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图：
AHD
EG
B
F
C
可得：
SEHB
1
1
1
SAHB
SCHB
SCHD
36
SAHB、SFHB
SCHB、SDHG
SDHC，而SABCD
2
2
2
即SEHB
SBHF
SDHG
1
SCHB
SCHD）
1
18；
（SAHB
36
2
1
2
1
1
1
1
而SEHB
SBHF
SDHG
S阴影
BE
BF
BC）
4.5。
SEBF，SEBF
（
2
AB）（
36
2
2
2
8
所以阴影部分的面积是：
S阴影
18
SEBF
18
4.513.5
解法二：
特殊点法。
找
H的特殊点，把H点与D点重合，
那么图形就可变成右图：
D（H）
A
E
G
B
F
C
这样阴影部分的面积就是
DEF的面积，根据鸟头定理，则有：
S阴影SABCDSAEDSBEFSCFD
1
1
1
1
1
1
1
13.5
。
36
36
2
36
2
36
2
2
2
2
2
【例
6】长方形ABCD的面积为
36，E、F、G为各边中点，
H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是
多少？
A
H
D
E
G
BFC
A（H）D
EG
AHD
EG
B
F
C
B
F
C
【解析】（法1）特殊点法。
由于
H为AD边上任意一点，找
H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图），
那么阴影部分的面积就是
AEF与
ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形
ABCD
面积的
1和1，所以阴影部分面积为长方形
ABCD面积的1
1
3，为36
3
13.5。
8
4
8
4
8
8
（法2）寻找可利用的条件，连接
BH、HC，如右上图。
可得：
SEHB
1
1
1
SAHB
SCHB
SCHD
36，
SAHB、SFHB
SCHB、SDHG
SDHC，而SABCD
2
2
2
即SEHB
SBHF
SDHG
1
SCHB
SCHD）
1
3618；
（SAHB
2
2
1
1
1
1
1
而SEHB
SBHF
SDHG
S阴影
BE
BC）
4.5。
SEBF，SEBF
BF
（
AB）（
36
2
2
2
2
8
所以阴影部分的面积是：
S阴影
18
SEBF
18
4.5
13.5。
【巩固】在边长为
6厘米的正方形
ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，
分别与P点连接,求阴影部分面积。
A
D
A（P）
D
A
D
PP
B
C
B
C
B
C
【解析】（法1）特殊点法。
由于
P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设
P点与A点重合，则阴
影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的
1和1
，所以阴影部
4
6
2
1
1
15平方厘米。
分的面积为6
（
）
4
6
（法2）连接PA、PC。
由于PAD与
PBC的面积之和等于正方形
ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积
之和等于正方形
ABCD面积的1
，同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形
ABCD面
4
积的1，所以阴影部分的面积为
2
1
）
15平方厘米。
6（1
6
4
6
【例
7】如右图，E在AD上，AD垂直BC，AD
12
厘米，DE
3厘米．求三角形ABC的面积是三角形EBC
面积的几倍？
A
E
BC
D
【解析】因为AD垂直于BC，所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED
是三角形EBC的高，
于是：
三角形ABC的面积
BC
12
2
BC
6
三角形EBC的面积
BC
3
2
BC
1.5
所以三角形ABC的面积是三角形
EBC的面积的4倍．
【例8】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC，连结BE、AE、CF、BF那么与
BEC等积的三角形一
共有哪几个三角形？
A
F
D
E
B
C
【解析】
AEC、
AFC、ABF．
【巩固】如图，在
ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结
BE、CE，那么与
ABE等积的三角形一共
有哪几个三角形？
A
E
B
D
C
【解析】3个，
AEC、BED、DEC．
【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？
AD
O
B
C
【解析】
ABD与
ACD，
ABC与DBC，
ABO与DCO．
【例
9】（第四届”迎春杯”试题
）如图，三角形
ABC的面积为
1，其中AE
3AB，BD
2BC，三角形BDE
的面积是多少？
A
B
E
A
B
E
C
C
D
D
【解析】连接CE，∵AE
3AB，∴BE
2AB，SBCE
2SACB
又∵BD
2BC，∴SBDE
2SBCE
4SABC4．
【例
10】
（2008年四中考题）如右图，AD
DB，AE
EF
FC，已知阴影部分面积为
5平方厘米，ABC
的面积是
平方厘米．
B
B
D
D
AEFCAEFC
【解析】连接CD．根据题意可知，
DEF的面积为DAC面积的1
，
DAC的面积为ABC面积的1，所
3
2
以
DEF的面积为
ABC面积的1
1
1．而DEF的面积为
5平方厘米，所以
ABC的面积为
1
2
3
6
5
30（平方厘米）．
6
【巩固】图中三角形ABC的面积是
180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF
长的3倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米？
A
E
F
B
D
C
【解析】
ABD，
ABC等高，所以面积的比为底的比，有
SABD
BD
1
SABC
BC
2
1
SABC
1
AE
1
所以SABD=
18090（平方厘米）．同理有SABE
SABD
9030（平方厘米），
FE
2
3
2
AD
3
3022.5
（平方厘米）．即三角形
AEF的面积是22.5
平方厘米．
SAFE
SABE
BE
4
【巩固】如图，在长方形
ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB
24厘米，BC8厘米，求
三角形ZCY的面积．
D
C
Z
Y
A
B
【解析】∵Y是BD的中点，Z是DY的中点，∴ZY
1
1
DB，SZCY
1SDCB，
2
2
4
又∵ABCD是长方形，∴SZCY
1SDCB
1
1SABCD24
（平方厘米）．
4
4
2
【巩固】如图，三角形
ABC的面积是
24，D、E和F分别是BC、AC和AD的中点．求三角形DEF的面积．
A
F
E
B
D
C
【解析】三角形ADC的面积是三角形
ABC面积的一半24
212
，
三角形ADE又是三角形
ADC面积的一半12
2
6
．
三角形FED的面积是三角形
ADE面积的一半，所以三角形
FED的面积
6
23．
【巩固】如图，在三角形
ABC中，BC8
厘米，高是
6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形
EBF的面积是多少平方厘米？
A
E
F
BC
【解析】∵F是
AC的中点
∴SABC
2SABF
同理SABF2SBEF
∴SBEF
SABC48
6246（平方厘米）．
【例
11】
如图ABCD是一个长方形，点
E、F和G分别是它们所在边的中点．如果长方形的面积是
36
个平方单位，求三角形
EFG的面积是多少个平方单位．
D
G
G
C
C
D
E
F
E
F
A
B
A
B
【解析】如右图分割后可得，
SEFGS矩形DEFC
2S矩形ABCD4
3649（平方单位）．
【巩固】（97
迎春杯决赛）如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2ANBN.
那么，阴影部分的面积是多少？
A
M
A
M
D
D
N
N
B
C
B
C
【解析】连接BM，因为
M是中点
升级会员 