课堂新坐标学年高中数学第一章三角函数17正切函数学案.docx
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课堂新坐标学年高中数学第一章三角函数17正切函数学案
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的图像与性质
7.3 正切函数的诱导公式
1.理解任意角的正切函数的定义.
2.能画出y=tanx
的图像.(重点)
3.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性,及其在区间
内的单调性.(重点)
4.正切函数诱导公式的推导及应用.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 正切函数的定义、图像及性质
阅读教材P36~P38“动手实践”以上部分,完成下列问题.
1.正切函数的定义
在直角坐标系中,如果角α满足:
α∈R,α≠
+kπ(k∈Z),且角α的终边与单位圆交于点P(a,b),那么比值
叫作角α的正切函数,记作y=tanα,其中α∈R,α≠
+kπ(k∈Z).
2.正切线
如图1-7-1所示,线段AT为角α的正切线.
图1-7-1
3.正切函数的图像与性质
图像
性
质
定义域
值域
R
奇偶性
奇函数
周期性
周期为kπ(k∈Z,k≠0),最小正周期为π
单调性
在
,k∈Z上是增加的
对称性
该图像的对称中心为
,k∈Z
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)正切函数y=tanx的定义域为R.( )
(2)正切函数y=tanx的最小正周期为π.( )
(3)正切函数y=tanx是奇函数.( )
(4)正切函数y=tanx的图像关于x轴对称.( )
【解析】
(1)y=tanx的定义域为
.
(2)y=tanx的周期为kπ(k∈Z),最小正周期为π.
(3)因为y=tanx的定义域
关于原点对称,且tan(-x)=-tanx,故为奇函数.
(4)由图知,正切函数图像既不关于x轴对称,也不关于y轴对称.
【答案】
(1)×
(2)√ (3)√ (4)×
教材整理2 正切函数的诱导公式
阅读教材P38~P39例1以上部分,完成下列问题.
正切函数的诱导公式
角x
函数y=tanx
记忆口诀
kπ+α
tanα
函数名不变,符号看象限
2π+α
tanα
-α
-tanα
π-α
-tanα
π+α
tanα
+α
-cotα
函数名改变,符号看象限
-α
cotα
判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)tan
=cotα.( )
(2)正切函数的诱导公式中的角为任意角.( )
(3)tan(kπ-α)=-tanα.( )
【解析】
(1)tan
=tan
=
tan
=cotα,所以
(1)正确.
(2)无论角α是哪个象限的角,诱导公式都适合,故
(2)正确.
(3)tan(kπ-α)=-tanα,故(3)正确.
【答案】
(1)√
(2)√ (3)√
[质疑·手记]
预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:
疑问1:
_________________________________________________________
解惑:
___________________________________________________________
疑问2:
_________________________________________________________
解惑:
___________________________________________________________
疑问3:
_________________________________________________________
解惑:
___________________________________________________________
[小组合作型]
利用定义求正切值
如图1-7-2,设A是单位圆和x轴正半轴的交点,P,Q是单位圆上的两点,O是坐标原点,∠AOP=
,∠AOQ=α,α∈[0,π).
图1-7-2
(1)若已知角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称,求tanθ;
(2)若已知Q
,试求tanα.
【精彩点拨】求出角的终边与单位圆的交点后,利用正切函数的定义求解.
【自主解答】
(1)∵角θ的终边与OP所在的射线关于x轴对称,且P,
故θ的终边与单位圆交于P′,
则tanθ==-.
(2)∵∠AOQ=α且Q,
∴tanα==.
1.解决本题的关键是熟记正切函数的定义,即tanα=.
2.已知角终边上的一点M(a,b)(a≠0),求该角的正切函数值,或者已知角α的正切值,求角α终边上一点的坐标,都应紧扣正切函数的定义求解,在解题过程中,应注意分子、分母的位置.
3.tanα=知其中两个,可求另一个.
[再练一题]
1.角α的终边经过点P(-b,4)且cosα=-,求tanα的值.
【导学号:
66470022】
【解】 由题意知cosα==-,∴b=±3.又cosα=-<0,
∴P在第二象限,∴b=3.
∴tanα=-.
利用诱导公式求值或化简
(1)化简:
;
(2)求值:
.
【精彩点拨】 解答本题可依据先用周期性或关于-α的诱导公式,把角绝对值“化小”,再利用恰当的公式化简.
【自主解答】
(1)原式=
==-cosα.
(2)原式=
===2-.
在使用诱导公式化简时,一定要记准诱导公式中名称变还是不变以及准确判断角所在象限.一般地,我们将α看作锐角(实质上是任意角),那么π-α,π+α,2π-α,+α,-α分别是第二、三、四、二、一象限的角.
[再练一题]
2.
(1)化简:
;
(2)若a=,求a2+a+1的值.
【解】
(1)
==
==1.
(2)a=
==
==1,
∴a2+a+1=1+1+1=3.
正切函数的图像及应用
利用正切函数的图像作出y=|tanx|的图像,并写出使y=的x的集合.
【精彩点拨】 先化成分段函数,再借助正切函数的图像作图.
【自主解答】 ∵当x∈时,y=tanx≤0,
当x∈时,y=tanx>0,
∴y=|tanx|=
如图所示.
使y=的x的集合为.
1.三点两线画图法
“三点”是指,(0,0),;“两线”是指x=-和x=.在三点、两线确定的情况下,类似于五点法作图,可大致画出正切函数在上的简图,然后向右、向左扩展即可得到正切曲线.
2.如果由y=f(x)的图像得到y=f(|x|)及y=|f(x)|的图像,可利用图像中的对称变换法完成;即只需作出y=f(x)(x≥0)的图像,令其关于y轴对称便可以得到y=f(|x|)(x≤0)的图像;同理只要作出y=f(x)的图像,令图像“上不动下翻上”便可得到y=|f(x)|的图像.
3.利用函数的图像可直观地研究函数的性质,如判断奇偶性、周期性、解三角不等式等.
[再练一题]
3.求下列函数的定义域.
(1)y=;
(2)y=+lg(1-tanx).
【解】
(1)由得
∴函数的定义域为.
(2)要使函数y=+lg(1-tanx)有意义.
则⇒0≤tanx<1.由正切函数的图像可得kπ≤x[探究共研型]
正切函数的性质
探究1 正切曲线在整个定义域上都是增加的吗?
【提示】 不是,正切函数的定义域是
.正切曲线在每一个开区间(k∈Z)上是增加的,但在整个定义域上不是增加的.
探究2 函数y=tanx的周期是多少?
y=|tanx|的周期呢?
【提示】 y=tanx的周期是π,y=|tanx|的周期也是π.
探究3 函数y=tanx的图像有什么特征?
【提示】 正切曲线是被互相平行的直线x=kπ+(k∈Z)所隔开的无穷支曲线组成的,是间断的,无对称轴,只有对称中心.
已知f(x)=-atanx(a≠0).
(1)判断f(x)在x∈上的奇偶性;
(2)求f(x)的最小正周期;
(3)求f(x)的单调区间;
(4)若a>0,求f(x)在上的值域.
【精彩点拨】 通过f(-x)与f(x)的关系判断奇偶性,求单调区间时注意a的符号.
【自主解答】
(1)∵f(x)=-atanx(a≠0),x∈,
∴f(-x)=-atan(-x)=atanx=-f(x).
又定义域关于原点对称,
∴f(x)为奇函数.
(2)f(x)的最小正周期为π.
(3)∵y=tanx在(k∈Z)上单调递增,
∴当a>0时,f(x)在上单调递减,
当a<0时,f(x)在上单调递增.
(4)当a>0时,f(x)在上单调递减,
故x=时,f(x)max=-a,无最小值.
∴f(x)的值域为(-∞,-a].
1.由函数的性质(如周期性、有界性、对称性)可指导我们画出函数的图像.
2.由函数的图像又可以直观地总结函数的性质.函数的主要性质包括定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性.
[再练一题]
4.画出函数y=tan|x|的图像,并根据图像判断其单调区间、奇偶性.
【解】 由y=tan|x|得,
y=
根据y=tanx的图像,作出y=tan|x|的图像如图所示:
由图像可知,函数y=tan|x|是偶函数.
单调增区间为:
,(k=0,1,2,3,…);
单调减区间为:
,(k=0,-1,-2,-3,…).
[构建·体系]
1.tan的值为( )
A. B.-
C.D.-
【解析】 tan=tan=-tan=-.
【答案】 D
2.函数y=tan的定义域是( )
A.B.
C.D.
【解析】 由题意得x+≠kπ+,k∈Z,所以x≠kπ+,k∈Z.
【答案】 D
3.已知角α的终边上一点P(-2,1),则tanα=________.
【解析】 由正切函数的定义知tanα==-.
【答案】 -
4.函数y=tanx,x∈的值域是________.
【导学号:
66470023】
【解析】 函数y=tanx在上是增加的,所以ymax=tan=1,ymin=tan0=0.
【答案】 [0,1]
5.求以下各式的值.
(1)7cos270°+3sin270°+tan765°;
(2).
【解】
(1)原式=7cos(180°+90°)+3sin(180°+90°)+tan(2×360°+45°)=-7cos90°-3sin90°+tan45°
=0-3×1+1=-2.
(2)原式=
=
==2+.
我还有这些不足:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________
我的课下提升方案:
(1)______________________________________________________________
(2)______________________________________________________________