四边形压轴题.docx

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四边形压轴题

Preparedon22November2020

四边形压轴题

1．（浙江省温州市）如图，在平面直角坐标系中，点A（

，0），B（

，2），C（0，2）．动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动，同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动．过点E作EF⊥AB，交BC于点F，连结DA、DF．设运动时间为t秒．

（1）求∠ABC的度数；

（2）当t为何值时，AB∥DF；

（3）设四边形AEFD的面积为S．

①求S关于t的函数关系式；

②若一抛物线y＝－x2＋mx经过动点E，当S＜2

时，

求m的取值范围（写出答案即可）．

2．（浙江省宁波市）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6），C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形OA′B′C′，此时直线OA′、直线B′C′分别与直线BC相交于P、Q．

（1）四边形OABC的形状是_______________，

当α＝90°时，

的值是____________；

（2）①如图2，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在y轴正半轴上时，求

的值；

②如图3，当四边形OA′B′C′的顶点B′落在直线BC上时，求ΔOPB′的面积．

（3）在四边形OABC旋转过程中，当0＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP＝

BQ若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

3．（浙江省丽水市）已知直角坐标系中菱形ABCD的位置如图，C，D两点的坐标分别为（4，0），（0，3）．现有两动点P，Q分别从A，C同时出发，点P沿线段AD向终点D运动，点Q沿折线CBA向终点A运动，设运动时间为t秒．

（1）填空：

菱形ABCD的边长是________、面积是________、高BE的长是________；

（2）探究下列问题：

①若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度为每秒2个单位，当点Q在线段BA上时，求△APQ的面积S关于t的函数关系式，以及S的最大值；

②若点P的速度为每秒1个单位，点Q的速度变为每秒k个单位，在运动过程中，任何时刻都有相应的k值，使得△APQ沿它的一边翻折，翻折前后两个三角形组成的四边形为菱形．请探究当t＝4秒时的情形，并求出k的值．

4．（吉林省）如图所示，菱形ABCD的边长为6厘米，∠B＝60°．从初始时刻开始，点P、Q同时从A点出发，点P以1厘米/秒的速度沿A→C→B的方向运动，点Q以2厘米/秒的速度沿A→B→C→D的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q运动的时间为x秒时，△APQ与△ABC重叠部分的面积为y平方厘米（这里规定：

点和线段是面积为0的三角形），解答下列问题：

（1）点P、Q从出发到相遇所用时间是__________秒；

（2）点P、Q从开始运动到停止的过程中，当△APQ是等边三角形时x的值是__________秒；

（3）求y与x之间的函数关系式．

5．（吉林省长春市）如图，直线y＝－

x＋6分别与x轴、y轴交于A、B两点；直线y＝

x与AB交于点C，与过点A且平行于y轴的直线交于点D．点E从点A出发，以每秒1个单位的速度沿

轴向左运动．过点E作x轴的垂线，分别交直线AB、OD于P、Q两点，以PQ为边向右作正方形PQMN，设正方形PQMN与△ACD重叠部分（阴影部分）的面积为S（平方单位），点E的运动时间为t（秒）．

（1）求点C的坐标；

（2）当0＜t＜5时，求S与t之间的函数关系式；

（3）求

（2）中S的最大值；

（4）当t＞0时，直接写出点（4，

）在正方形PQMN内部时t的取值范围．

6．（山西省）如图，已知直线l1：

y＝

x＋

与直线l2：

y＝－2x＋16相交于点C，l1、l2分别交

轴于A、B两点．矩形DEFG的顶点D、E分别在直线l1、l2上，顶点F、G都在

轴上，且点G与点B重合．

（1）求△ABC的面积；

（2）求矩形DEFG的边DE与EF的长；

（3）若矩形DEFG从原地出发，沿

轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移，设移动时间为t（0≤t≤12）秒，矩形DEFG与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出相应的t的取值范围；

（4）S是否存在最大值若存在，请直接写出最大值及相应的t值，若不存在，请说明理由．

7．（山西省太原市）

问题解决

如图

（1），将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与

点C，D重合），压平后得到折痕MN．当

＝

时，求

的值．

类比归纳

在图

（1）中，若

＝

，则

的值等于___________；若

＝

，则

的值等于___________；若

＝

（n为整数），则

的值等于___________．（用含

的式子表示）

联系拓广

如图

（2），将矩形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点C，D重合），压平后得到折痕MN，设

＝

（m＞1），

＝

，则

的值等于_______________．（用含m，n的式子表示）

8．（江西省、江西省南昌市）如图1，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中点，过点E作EF∥BC交CD于点F．AB＝4，BC＝6，∠B＝60°．

（1）求点E到BC的距离；

（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥EF交BC于点M，过M作MN∥AB交折线ADC于点N，连结PN，设EP＝x．

①当点N在线段AD上时（如图2），△PMN的形状是否发生改变若不变，求出△PMN的周长；若改变，请说明理由；

②当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使△PMN为等腰三角形若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．

9．（新疆乌鲁木齐市）如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点O重合）．

（1）试证明：

无论点P运动到何处，PC总与PD相等；

（2）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过O、P、D三点的抛物线的解析式；

（3）设点E是

（2）中所确定抛物线的顶点，当点P运动到何处时，△PDE的周长最小求出此时点P的坐标和△PDE的周长；

（4）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN＝90°若存在，请直接写出点P的坐标．

10．（云南省昆明市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是梯形，OA∥BC，点A坐标为（6，0），点B坐标为（3，4），点C在y轴的正半轴上．动点M在OA边上运动，从O点出发到A点；动点N在AB边上运动，从A点出发到B点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也就随即停止，设两点的运动时间为t（秒）．

（1）求线段AB的长；当t为何值时，MN∥OC

（2）设△CMN的面积为S，求S与t之间的函数解析式，并指出自变量t的取值范围；S是否有最小值若有最小值，最小值是多少

（3）连接CA，那么是否存在这样的t值，使MN与AC互相垂直若存在，求出这时的t值；若不存在，请说明理由．

11．（甘肃省兰州市）如图①，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为（0，10），（8，4），点C在第一象限．动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿A→B→C→D匀速运动，同时动点Q以相同速度在x轴正半轴上运动，当P点到D点时，两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．

（1）当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x（长度单位）关于运动时间t（秒）的函数图象如图②所示，请写出点Q开始运动时的坐标及点P运动速度；

（2）求正方形边长及顶点C的坐标；

（3）在

（1）中当t为何值时，△OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标．

（4）如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿A→B→C→D匀速运动时，OP与PQ能否相等，若能，写出所有符合条件的t的值；若不能，请说明理由．

12．（黑龙江省哈尔滨市）如图1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（－3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．

（1）求直线AC的解析式；

（2）连接BM，如图2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）；

（3）在

（2）的条件下，当t为何值时，∠MPB与∠BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值．

13．（黑龙江省牡丹江市、鸡西市）如图，□ABCD在平面直角坐标系中，AD＝6，若OA、OB的长是关于x的一元二次方程x2－7x＋12＝0的两个根，且OA＞OB．

（1）求sin∠ABC的值．

（2）若E为x轴上的点，且S△AOE＝

，求经过D、E两点的直线的解析式，并判断△AOE与△DAO是否相似

（3）若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

14．（辽宁省大连市）如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，AD＝3cm，点E在边DC上，且DE＝4cm．动点P从点A开始沿着A→B→C→E的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q同时从点A出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2）．

（1）求S与t的函数关系式；

（2）当S＝10时，求t的值．

15．（辽宁省大连市试测

（二）暨市内四区毕业考试）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝3，点E为BC边上的动点（点E与点B、C不重合），设BE＝x．

操作：

在射线BC上取一点F，使得EF＝BE，以点F为直角顶点、EF为边作等腰直角三角形EFG，设△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．

（1）求S与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（2）S是否存在最大值若存在，请直接写出最大值，若不存在，请说明理由．

16．（辽宁省锦州市）如图，直角梯形ABCD和正方形EFGC的边BC、CG在同一条直线上，AD∥BC，AB⊥BC于点B，AD＝4，AB＝6，BC＝8，直角梯形ABCD的面积与正方形EFGC的面积相等，将直角梯形ABCD沿BG向右平行移动，当点C与点G重合时停止移动．设梯形与正方形重叠部分的面积为S．

（1）求正方形的边长；

（2）设直角梯形ABCD的顶点C向右移动的距离为x，求S与x的函数关系式；

（3）当直角梯形ABCD向右移动时，它与正方形EFGC的重叠部分面积S能否等于直角梯形ABCD面积的一半若能，请求出此时运动的距离x的值；若不能，请说明理由．

17．（辽宁省朝阳市）如图①，在梯形ABCD中，CD∥AB，∠ABC＝90°，∠DAB＝60°，AD＝2，CD＝4．另有一直角三角形EFG，∠EFG＝90°，点G与点D重合，点E与点A重合，点F在AB上，让△EFG的边EF在AB上，点G在DC上，以每秒1个单位的速度沿着AB方向向右运动，如图②，点F与点B重合时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）在上述运动过程中，请分别写出当四边形FBCG为正方形和四边形AEGD为平行四边形时相对应时刻t的值或范围；

（2）以点A为原点，以AB所在直线为x轴，过点A垂直于AB的直线为y轴，建立如图③所示的坐标系．求过A，D，C三点的抛物线的解析式；

（3）探究：

延长EG交

（2）中的抛物线于点Q，是否存在这样的时刻t使得△ABQ的面积与梯形ABCD的面积相等若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

18．（山东省中招、日照市、东营市中考）已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．

（1）求证：

EG＝CG；

（2）将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45°，如图②所示，取DF中点G，连接EG，CG．问

（1）中的结论是否仍然成立若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）将图①中△BEF绕B点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问

（1）中的结论是否仍然成立通过观察你还能得出什么结论（均不要求证明）

19．（山东省青岛市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝6cm，CD＝4cm，BC＝BD＝10cm，点P由B出发沿BD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，线段EF由DC出发沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s，交BD于Q，连接PE．若设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：

（1）当t为何值时，PE∥AB

（2）设△PEQ的面积为y（cm2），求y与t之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻t，使S△PEQ＝

S△BCD若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

（4）连接PF，在上述运动过程中，五边形PFCDE的面积是否发生变化说明理由．

20．（山东省淄博市）如图，在矩形ABCD中，BC＝20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ＝xcm（x≠0），则AP＝2xcm，CM＝3xcm，DN＝x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；

（2）当x为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；

（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

21．（山东省济宁市）在平面直角坐标系中，边长为2的正OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y＝x上时停止旋转，旋转过程中，

边交直线y＝x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．

（1）求OA在旋转过程中所扫过的面积；

（2）旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的度数；

（3）设△MBN的周长为p，在正方形OABC旋转的过程中，p值是否有变化请证明你的结论．

22．（山东省聊城市）如图，已知正方形ABCD的边长与Rt△PQR的直角边PQ的长均为4厘米，QR＝8厘米，AB与QR在同一条直线l上．开始时点Q与点B重合，让△PQR以1厘米/秒速度在直线l上向左匀速运动，直至点R与点A重合为止，t秒时△PQR与正方形ABCD重叠部分的面积记为S平方厘米．

（1）当t＝3秒时，求S的值．

（2）求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

（3）写出t为何值时，重叠部分的面积S有最大值，最大值是多少

23．（广东省）正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

（1）证明：

Rt△ABM∽Rt△MCN；

（2）设BM＝x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当M点运动到什么位置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积；

（3）当M点运动到什么位置时，Rt△ABM∽Rt△AMN，并求此时x的值．

24．（湖南省衡阳市）如图，直线y＝－x＋4与两坐标轴分别相交于A、B点，点M是线段AB上任意一点（A、B两点除外），过M分别作MC⊥OA于点C，MD⊥OB于D．

（1）当点M在AB上运动时，你认为四边形OCMD的周长是否发生变化并说明理由；

（2）当点M运动到什么位置时，四边形OCMD的面积有最大值最大值是多少

（3）当四边形OCMD为正方形时，将四边形OCMD沿着x轴的正方向移动，设平移距离为a（0＜a＜4），正方形OCMD与△AOB重叠部分的面积为S．试求S与a的函数关系式并画出该函数的图象．

25．（湖南省邵阳市）如图，直线l的解析式为y＝－x＋4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点．平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）．

（1）求A、B两点的坐标；

（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；

（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2，

①当2＜t≤4时，试探究S2与t之间的函数关系式；

②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的

26．（湖南省湘潭市）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，OA＝3，OC＝4，P为直线AB上一动点，将直线OP绕点P逆时针方向旋转90°交直线BC于点Q；

（1）当点P在线段AB上运动（不与A、B重合）时，求证：

OA·BQ＝AP·BP；

（2）在

（1）成立的条件下，设点P的横坐标为m，线段CQ的长度为l，求出l关于m的函数解析式，并判断l是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由；

（3）直线AB上是否存在点P，使△POQ为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

27．（湖南省怀化市）如图，在直角梯形OABC中，OA∥CB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向终点C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动．线段OB、PQ相交于点D，过点D作DE∥OA，交AB于点E，射线QE交x轴于点F．设动点P、Q运动时间为t（单位：

秒）．

（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；

（2）当t＝2秒时，求梯形OFBC的面积；

（3）当t为何值时，△PQF是等腰三角形请写出推理过程．

28．（湖南省娄底市）如图1，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8，AC＝6，另有一直角梯形DEFH（HF∥DE，∠HDE＝90°）的底边DE落在CB上，腰DH落在CA上，且DE＝4，∠DEF＝∠CBA，AH:

AC＝2:

3．

（1）延长HF交AB于G，求△AHG的面积；

（2）操作：

固定△ABC，将直角梯形DEFH以每秒1个单位的速度沿CB方向向右移动，直到点D与点B重合时停止，设运动的时间为t秒，运动后的直角梯形为DEFH′（如图2）．

探究1：

在运动过程中，四边形CDH′H能否为正方形若能，请求出此时t的值；若不能，请说明理由；

探究2：

在运动过程中，△ABC与直角梯形DEFH′重叠部分的面积为y，求y与t的函数关系式．

29．（湖北省荆州市）如图①，已知两个菱形ABCD和EFGH是以坐标原点O为位似中心的位似图形（菱形ABCD与菱形EFGH的位似比为2:

1），∠BAD＝120°，对角线均在坐标轴上，抛物线y＝

x2经过AD的中点M．

（1）填空：

A点坐标为_____________，D点坐标为_____________；

（2）操作：

如图②，固定菱形ABCD，将菱形EFGH绕O点顺时针方向旋转α度角（0°＜α＜90°），并延长OE交AD于P，延长OH交CD于Q．

探究1：

在旋转的过程中是否存在某一角度α，使得四边形AFEP是平行四边形若存在，请推断出α的值；若不存在，说明理由；

探究2：

设AP＝x，四边形OPDQ的面积为S，求S与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围．

30．（湖北省襄樊市）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝2，BC＝4，点M是AD的中点，△MBC是等边三角形．

（1）求证：

梯形ABCD是等腰梯形；

（2）动点P、Q分别在线段BC和MC上运动，且∠MPQ＝60°保持不变．设PC＝x，MQ＝y，求y与x的函数关系式；

（3）在

（2）中：

①当动点P、Q运动到何处时，以点P、M和点A、B、C、D中的两个点为顶点的四边形是平行四边形并指出符合条件的平行四边形的个数；

②当y取最小值时，判断△PQC的形状，并说明理由．

31．（湖北省鄂州市）如图所示，将矩形OABC沿AE折叠，使点O恰好落在BC上F处，以CF为边作正方形CFGH，延长BC至M，使CM＝|CE－EO|，再以CM、CO为边作矩形CMNO．

（1）试比较EO、EC的大小，并说明理由．

（2）令m＝

，请问m是否为定值若是，请求出m的值；若不是，请说明理由．

（3）在

（2）的条件下，若CO＝1，CE＝

，Q为AE上一点且QF＝

，抛物线y＝mx2＋bx＋c经过C、Q两点，请求出此抛物线的解析式．

（4）在（3）的条件下，若抛物线y＝mx2＋bx＋c与线段AB交于点P，试问在直线BC上是否存在点K，使得以P、B、K为顶点的三角形与△AEF相似若存在，请求直线KP与y轴的交点T的坐标；若不存在，请说明理由．

32．（湖北省随州市）如图①，已知△ABC是等腰三直角角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．

（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论．

（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断

（1）中的结论是否仍然成立如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．

（3）若BC＝DE＝2，在

（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．

33．（湖北省仙桃市、天门市、潜江市、江汉油田）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动．过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点N．P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动．设点Q运动的时间为t秒．

（1）求NC、MC的长（用含t的代数式表示）；

（2）当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形

（3）是否存在某一时刻t，使射线QN恰好将△ABC的面积和周长同时平分若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；

（4）探究：

t为何值时，△PMC为等腰三角形

34．（四川省绵阳市）如图甲，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作∠AEF＝90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n）．

（1）若m＝n时，如图乙，求证：

EF＝AE；

（2）若m≠n时，如图丙，试问边OB上是否还存在点E，使得EF＝AE若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）若m＝tn（t＞1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF＝（t＋1）AE成立并求出点E的坐标．

35．（四川省乐山市）如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，∠A＝90°，AD＝6厘米，DC＝4厘米，BC的坡度i＝3:

4．动点P从A出发以2厘米/秒的速度沿AB方向向点B运动，动点Q从点B出发以3厘米/秒的速度沿B→C→D方向向点D运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为t秒．

（1）求边BC的长；

（2）当t为何值时，PC与BQ相互平分；

（3）连结PQ，设△PBQ的面积为y，探求y与t的函数关系式，

求t为何值时，y有最大值最大值是多少

36．（福建省福州市初中毕业班质量检查）如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点