中学数学真题汇编三角形计算.docx
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中学数学真题汇编三角形计算
三角形
一.三角形的重心(共1小题)
1.(2020•攀枝花)三角形三条边上的中线交于一点,这个点叫三角形的重心.如图G是△ABC的重心.求证:
AD=3GD.
二.全等三角形的判定(共2小题)
2.(2020•吉林)如图,在△ABC中,AB>AC,点D在边AB上,且BD=CA,过点D作DE∥AC,并截取DE=AB,且点C,E在AB同侧,连接BE.求证:
△DEB≌△ABC.
3.(2020•铜仁市)如图,∠B=∠E,BF=EC,AC∥DF.求证:
△ABC≌△DEF.
三.全等三角形的判定与性质(共25小题)
4.(2020•昆明)如图,AC是∠BAE的平分线,点D是线段AC上的一点,∠C=∠E,AB=AD.求证:
BC=DE.
5.(2020•黄石)如图,AB=AE,AB∥DE,∠DAB=70°,∠E=40°.
(1)求∠DAE的度数;
(2)若∠B=30°,求证:
AD=BC.
6.(2020•广州)如图,AB=AD,∠BAC=∠DAC=25°,∠D=80°.求∠BCA的度数.
7.(2020•云南)如图,已知AD=BC,BD=AC.求证:
∠ADB=∠BCA.
8.(2020•烟台)如图,在等边三角形ABC中,点E是边AC上一定点,点D是直线BC上一动点,以DE为一边作等边三角形DEF,连接CF.
【问题解决】
如图1,若点D在边BC上,求证:
CE+CF=CD;
【类比探究】
如图2,若点D在边BC的延长线上,请探究线段CE,CF与CD之间存在怎样的数量关系?
并说明理由.
9.(2020•荆门)如图,△ABC中,AB=AC,∠B的平分线交AC于D,AE∥BC交BD的延长线于点E,AF⊥AB交BE于点F.
(1)若∠BAC=40°,求∠AFE的度数;
(2)若AD=DC=2,求AF的长.
10.(2020•广东)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB、AC边上的点,BD=CE,∠ABE=∠ACD,BE与CD相交于点F.求证:
△ABC是等腰三角形.
11.(2020•宜宾)如图,在△ABC中,点D是边BC的中点,连结AD并延长到点E,使DE=AD,连结CE.
(1)求证:
△ABD≌△ECD;
(2)若△ABD的面积为5,求△ACE的面积.
12.(2020•常州)已知:
如图,点A、B、C、D在一条直线上,EA∥FB,EA=FB,AB=CD.
(1)求证:
∠E=∠F;
(2)若∠A=40°,∠D=80°,求∠E的度数.
13.(2020•河北)如图,点O为AB中点,分别延长OA到点C,OB到点D,使OC=OD.以点O为圆心,分别以OA,OC为半径在CD上方作两个半圆.点P为小半圆上任一点(不与点A,B重合),连接OP并延长交大半圆于点E,连接AE,CP.
(1)①求证:
△AOE≌△POC;
②写出∠1,∠2和∠C三者间的数量关系,并说明理由.
(2)若OC=2OA=2,当∠C最大时,直接指出CP与小半圆的位置关系,并求此时S扇形EOD(答案保留π).
14.(2020•徐州)如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,AE与BD交于点F.
(1)求证:
AE=BD;
(2)求∠AFD的度数.
15.(2020•北京)在△ABC中,∠C=90°,AC>BC,D是AB的中点.E为直线AC上一动点,连接DE.过点D作DF⊥DE,交直线BC于点F,连接EF.
(1)如图1,当E是线段AC的中点时,设AE=a,BF=b,求EF的长(用含a,b的式子表示);
(2)当点E在线段CA的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段AE,EF,BF之间的数量关系,并证明.
16.(2020•陕西)如图所示,小明家与小华家住在同一栋楼的同一单元,他俩想测算所住楼对面商业大厦的高MN.他俩在小明家的窗台B处,测得商业大厦顶部N的仰角∠1的度数,由于楼下植物的遮挡,不能在B处测得商业大厦底部M的俯角的度数.于是,他俩上楼来到小华家,在窗台C处测得大厦底部M的俯角∠2的度数,竟然发现∠1与∠2恰好相等.已知A,B,C三点共线,CA⊥AM,NM⊥AM,AB=31m,BC=18m,试求商业大厦的高MN.
17.(2020•菏泽)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点E在AC的延长线上,ED⊥AB于点D,若BC=ED,求证:
CE=DB.
18.(2020•哈尔滨)已知:
在△ABC中,AB=AC,点D、点E在边BC上,BD=CE,连接AD、AE.
(1)如图1,求证:
AD=AE;
(2)如图2,当∠DAE=∠C=45°时,过点B作BF∥AC交AD的延长线于点F,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形,使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°.
19.若△ABC和△AED均为等腰三角形,且∠BAC=∠EAD=90°.
(1)如图
(1),点B是DE的中点,判定四边形BEAC的形状,并说明理由;
(2)如图
(2),若点G是EC的中点,连接GB并延长至点F,使CF=CD.
求证:
①EB=DC,
②∠EBG=∠BFC.
20.(2020•泸州)如图,AC平分∠BAD,AB=AD.求证:
BC=DC.
21.(2020•苏州)问题1:
如图①,在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求证:
AB+CD=BC.
问题2:
如图②,在四边形ABCD中,∠B=∠C=45°,P是BC上一点,PA=PD,∠APD=90°.求
的值.
22.(2020•南充)如图,点C在线段BD上,且AB⊥BD,DE⊥BD,AC⊥CE,BC=DE.求证:
AB=CD.
23.(2020•无锡)如图,已知AB∥CD,AB=CD,BE=CF.
求证:
(1)△ABF≌△DCE;
(2)AF∥DE.
24.(2020•台州)如图,已知AB=AC,AD=AE,BD和CE相交于点O.
(1)求证:
△ABD≌△ACE;
(2)判断△BOC的形状,并说明理由.
25.(2020•温州)如图,在△ABC和△DCE中,AC=DE,∠B=∠DCE=90°,点A,C,D依次在同一直线上,且AB∥DE.
(1)求证:
△ABC≌△DCE.
(2)连结AE,当BC=5,AC=12时,求AE的长.
26.(2020•南京)如图,点D在AB上,点E在AC上,AB=AC,∠B=∠C,求证:
BD=CE.
27.(2020•内江)如图,点C、E、F、B在同一直线上,点A、D在BC异侧,AB∥CD,AE=DF,∠A=∠D.
(1)求证:
AB=CD;
(2)若AB=CF,∠B=40°,求∠D的度数.
28.(2020•宁夏)如图,在▱ABCD中,点E是AD的中点,连接CE并延长,交BA的延长线于点F.求证:
FA=AB.
四.等腰三角形的性质(共2小题)
29.(2020•衡阳)如图,在△ABC中,∠B=∠C,过BC的中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为点E、F.
(1)求证:
DE=DF;
(2)若∠BDE=40°,求∠BAC的度数.
30.(2020•绍兴)问题:
如图,在△ABD中,BA=BD.在BD的延长线上取点E,C,作△AEC,使EA=EC.若∠BAE=90°,∠B=45°,求∠DAC的度数.
答案:
∠DAC=45°.
思考:
(1)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,其余条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?
说明理由.
(2)如果把以上“问题”中的条件“∠B=45°”去掉,再将“∠BAE=90°”改为“∠BAE=n°”,其余条件不变,求∠DAC的度数.
五.等边三角形的性质(共1小题)
31.(2020秋•河东区期中)如图,点M,N分别在正三角形ABC的BC,CA边上,且BM=CN,AM,BN交于点Q.求证:
∠BQM=60°.
六.勾股定理的证明(共1小题)
32.(2020•随州)勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一,西方国家称之为毕达哥拉斯定理.在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载,我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”(如图1),后人称之为“赵爽弦图”,流传至今.
(1)①请叙述勾股定理;
②勾股定理的证明,人们已经找到了400多种方法,请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理;(以下图形均满足证明勾股定理所需的条件)
(2)①如图4、5、6,以直角三角形的三边为边或直径,分别向外部作正方形、半圆、等边三角形,这三个图形中面积关系满足S1+S2=S3的有 个;
②如图7所示,分别以直角三角形三边为直径作半圆,设图中两个月形图案(图中阴影部分)的面积分别为S1,S2,直角三角形面积为S3,请判断S1,S2,S3的关系并证明;
(3)如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形,再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形,重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”.在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中,设大正方形M的边长为定值m,四个小正方形A,B,C,D的边长分别为a,b,c,d,已知∠1=∠2=∠3=∠α,则当∠α变化时,回答下列问题:
(结果可用含m的式子表示)
①a2+b2+c2+d2= ;
②b与c的关系为 ,a与d的关系为 .
七.三角形综合题(共14小题)
33.(2020•鸡西)△ABC中,点D在直线AB上.点E在平面内,点F在BC的延长线上,∠E=∠BDC,AE=CD,∠EAB+∠DCF=180°;
(1)如图①,求证AD+BC=BE;
(2)如图②、图③,请分别写出线段AD,BC,BE之间的数量关系,不需要证明;
(3)若BE⊥BC,tan∠BCD
,CD=10,则AD= .
34.(2020•天水)性质探究
如图
(1),在等腰三角形ABC中,∠ACB=120°,则底边AB与腰AC的长度之比为 .
理解运用
(1)若顶角为120°的等腰三角形的周长为4+2
,则它的面积为 ;
(2)如图
(2),在四边形EFGH中,EF=EG=EH,在边FG,GH上分别取中点M,N,连接MN.若∠FGH=120°,EF=20,求线段MN的长.
类比拓展
顶角为2α的等腰三角形的底边与一腰的长度之比为 .(用含α的式子表示)
35.(2020•青海)在△ABC中,AB=AC,CG⊥BA交BA的延长线于点G.
特例感知:
(1)将一等腰直角三角尺按图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为F,一条直角边与AC重合,另一条直角边恰好经过点B.通过观察、测量BF与CG的长度,得到BF=CG.请给予证明.
猜想论证:
(2)当三角尺沿AC方向移动到图2所示的位置时,一条直角边仍与AC边重合,另一条直角边交BC于点D,过点D作DE⊥BA垂足为E.此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度,猜想并写出DE、DF与CG之间存在的数量关系,并证明你的猜想.
联系拓展:
(3)当三角尺在图2的基础上沿AC方向继续移动到图3所示的位置(点F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,请你判断
(2)中的猜想是否仍然成立?
(不用证明)
36.(2020•河北)如图1和图2,在△ABC中,AB=AC,BC=8,tanC
.点K在AC边上,点M,N分别在AB,BC上,且AM=CN=2.点P从点M出发沿折线MB﹣BN匀速移动,到达点N时停止;而点Q在AC边上随P移动,且始终保持∠APQ=∠B.
(1)当点P在BC上时,求点P与点A的最短距离;
(2)若点P在MB上,且PQ将△ABC的面积分成上下4:
5两部分时,求MP的长;
(3)设点P移动的路程为x,当0≤x≤3及3<x≤9时,分别求点P到直线AC的距离(用含x的式子表示);
(4)在点P处设计并安装一扫描器,按定角∠APQ扫描△APQ区域(含边界),扫描器随点P从M到B再到N共用时36秒.若AK
,请直接写出点K被扫描到的总时长.
37.(2020•襄阳)在△ABC中,∠BAC═90°,AB=AC,点D在边BC上,DE⊥DA且DE=DA,AE交边BC于点F,连接CE.
(1)特例发现:
如图1,当AD=AF时,
①求证:
BD=CF;
②推断:
∠ACE= °;
(2)探究证明:
如图2,当AD≠AF时,请探究∠ACE的度数是否为定值,并说明理由;
(3)拓展运用:
如图3,在
(2)的条件下,当
时,过点D作AE的垂线,交AE于点P,交AC于点K,若CK
,求DF的长.
38.(2020•盐城)以下虚线框中为一个合作学习小组在一次数学实验中的过程记录,请阅读后完成虚线框下方的问题1~4.
(Ⅰ)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2
,在探究三边关系时,通过画图,度量和计算,收集到一组数据如下表:
(单位:
厘米)
AC
2.8
2.7
2.6
2.3
2
1.5
0.4
BC
0.4
0.8
1.2
1.6
2
2.4
2.8
AC+BC
3.2
3.5
3.8
3.9
4
3.9
3.2
(Ⅱ)根据学习函数的经验,选取上表中BC和AC+BC的数据进行分析:
①BC=x,AC+BC=y,以(x,y)为坐标,在图①所示的坐标系中描出对应的点:
②连线:
观察思考
(Ⅲ)结合表中的数据以及所画的图象,猜想.当x=____时,y最大;
(Ⅳ)进一步猜想:
若Rt△ABC中,∠C=90°,斜边AB=2a(a为常数,a>0),则BC=____时,AC+BC最大.
推理证明
(Ⅴ)对(Ⅳ)中的猜想进行证明.
问题1,在图①中完善(Ⅱ)的描点过程,并依次连线;
问题2,补全观察思考中的两个猜想:
(Ⅲ) ;(Ⅳ) ;
问题3,证明上述(Ⅴ)中的猜想;
问题4,图②中折线B﹣﹣E﹣﹣F﹣﹣G﹣﹣A是一个感光元件的截面设计草图,其中点A,B间的距离是4厘米,AG=BE=1厘米.∠E=∠F=∠G=90°.平行光线从AB区域射入,∠BNE=60°,线段FM、FN为感光区域,当EF的长度为多少时,感光区域长度之和最大,并求出最大值.
39.(2020•牡丹江)在等腰△ABC中,AB=BC,点D,E在射线BA上,BD=DE,过点E作EF∥BC,交射线CA于点F.请解答下列问题:
(1)当点E在线段AB上,CD是△ACB的角平分线时,如图①,求证:
AE+BC=CF;(提示:
延长CD,FE交于点M.)
(2)当点E在线段BA的延长线上,CD是△ACB的角平分线时,如图②;当点E在线段BA的延长线上,CD是△ACB的外角平分线时,如图③,请直接写出线段AE,BC,CF之间的数量关系,不需要证明;
(3)在
(1)、
(2)的条件下,若DE=2AE=6,则CF= .
40.(2020•辽阳)如图,射线AB和射线CB相交于点B,∠ABC=α(0°<α<180°),且AB=CB.点D是射线CB上的动点(点D不与点C和点B重合),作射线AD,并在射线AD上取一点E,使∠AEC=α,连接CE,BE.
(1)如图①,当点D在线段CB上,α=90°时,请直接写出∠AEB的度数;
(2)如图②,当点D在线段CB上,α=120°时,请写出线段AE,BE,CE之间的数量关系,并说明理由;
(3)当α=120°,tan∠DAB
时,请直接写出
的值.
41.(2020•泰安)小明将两个直角三角形纸片如图
(1)那样拼放在同一平面上,抽象出如图
(2)的平面图形,∠ACB与∠ECD恰好为对顶角,∠ABC=∠CDE=90°,连接BD,AB=BD,点F是线段CE上一点.
探究发现:
(1)当点F为线段CE的中点时,连接DF(如图
(2)),小明经过探究,得到结论:
BD⊥DF.你认为此结论是否成立?
.(填“是”或“否”)
拓展延伸:
(2)将
(1)中的条件与结论互换,即:
BD⊥DF,则点F为线段CE的中点.请判断此结论是否成立.若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
问题解决:
(3)若AB=6,CE=9,求AD的长.
42.(2020•凉山州)如图,点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外),点P、点Q以相同的速度,同时从点A、点B出发.
(1)如图1,连接AQ、CP.求证:
△ABQ≌△CAP;
(2)如图1,当点P、Q分别在AB、BC边上运动时,AQ、CP相交于点M,∠QMC的大小是否变化?
若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数;
(3)如图2,当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时,直线AQ、CP相交于M,∠QMC的大小是否变化?
若变化,请说明理由;若不变,求出它的度数.
43.(2020•甘孜州)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点D落在线段AB上,连接BE.
(1)求证:
DC平分∠ADE;
(2)试判断BE与AB的位置关系,并说明理由;
(3)若BE=BD,求tan∠ABC的值.
44.(2020•常德)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点,∠ACB=90°,∠ABC=30°,过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°,∠DFE=30°,连接CE并延长CE到P,使EP=CE,连接BE,FP,BP,设BC与DE交于M,PB与EF交于N.
(1)如图1,当D,B,F共线时,求证:
①EB=EP;
②∠EFP=30°;
(2)如图2,当D,B,F不共线时,连接BF,求证:
∠BFD+∠EFP=30°.
45.(2020•黔东南州)如图1,△ABC和△DCE都是等边三角形.
探究发现
(1)△BCD与△ACE是否全等?
若全等,加以证明;若不全等,请说明理由.
拓展运用
(2)若B、C、E三点不在一条直线上,∠ADC=30°,AD=3,CD=2,求BD的长.
(3)若B、C、E三点在一条直线上(如图2),且△ABC和△DCE的边长分别为1和2,求△ACD的面积及AD的长.
46.(2020•金华)如图,在△ABC中,AB=4
,∠B=45°,∠C=60°.
(1)求BC边上的高线长.
(2)点E为线段AB的中点,点F在边AC上,连结EF,沿EF将△AEF折叠得到△PEF.
①如图2,当点P落在BC上时,求∠AEP的度数.
②如图3,连结AP,当PF⊥AC时,求AP的长.
八.多边形(共1小题)
47.(2020•湖州)四边形具有不稳定性,对于四条边长确定的四边形.当内角度数发生变化时,其形状也会随之改变.如图,改变正方形ABCD的内角,正方形ABCD变为菱形ABC′D′.若∠D′AB=30°,则菱形ABC′D′的面积与正方形ABCD的面积之比是( )
A.1B.
C.
D.
九.多边形内角与外角(共3小题)
48.(2020•广安)如图,在五边形ABCDE中,若去掉一个30°的角后得到一个六边形BCDEMN,则∠1+∠2的度数为( )
A.210°B.110°C.150°D.100°
49.(2020•德阳)多边形的内角和不可能为( )
A.180°B.540°C.1080°D.1200°
50.(2020•烟台)量角器测角度时摆放的位置如图所示,在△AOB中,射线OC交边AB于点D,则∠ADC的度数为( )
A.60°B.70°C.80°D.85°