中考数学复习专题六动态几何题含答案.docx

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中考数学复习专题六动态几何题含答案

专题六　动态几何题

专题解法探究

特点：

运动几何问题是指图形中的某个元素（如点、线段、角）及图形的整体等按某种规律运动，而图形在运动变化过程中各元素之间存在一定的相互联系，这类问题不仅考查学生的双基，而且还考查学生的数学思想，同时还考查学生对于运动中的动与静的认识．

类型：

运动几何问题的主要类型有点的运动问题、线的运动问题、图形运动问题等．

热点知识：

考查的知识有三角形的全等与相似，四边形的性质与判定，圆的有关知识，抛物线等函数的有关知识．

解题策略：

解决这类问题时，不管是点动、线动．图形动都要发挥自己的想象力，不被“动”所迷，应在“动”中求“静”，把问题变成静态问题解决，要注意在运动中探究问题的本质，发现变量之间的互相依存关系．

知识归类探究

1）　点的运动问题

例1　如图，在边长为4的正方形ABCD中，点P在AB上从A向B运动，连接DP交AC于点Q.

（1）试证明：

无论点P运动到AB上何处时，都有△ADQ≌△ABQ；

（2）当点P在AB上运动到什么位置时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

；

（3）若点P从点A运动到点B，再继续在BC上运动到点C，在整个运动过程中，当点P运动到什么位置时，△ADQ恰为等腰三角形？

【解】　

（1）证明：

在正方形ABCD中，无论点P运动到AB上何处时，都有AD＝AB，∠DAQ＝∠BAQ.AQ＝AQ，

∴△ADQ≌△ABQ.

（2）△ADQ面积恰好是正方形ABCD面积的

时，过Q作QE⊥AD于有E，QF⊥AB于F，则QE＝QF，

AD·QE＝

S正方形ABCD＝

，

∴QE＝

.由△DEQ∽△DAP得

＝

，解得AP＝2.

∴P为AB的中点时，△ADQ的面积是正方形ABCD面积的

.

（3）若△ADQ是等腰三角形，则有QD＝QA或DA＝DQ或AQ＝AD.

①当点P运动到点B时，由四边形ABCD是正方形知QD＝QA，此时△ADQ是等腰三角形；

②当点P与点C重合时，点Q与点C也重合，此时DA＝DQ，△ADQ是等腰三角形；

③当点P不与B、C重合时，设P在BC边上运动，当CP＝x时，有AD＝AQ，∵AD∥BC，∴∠ADQ＝∠CPQ.

又∵∠AQD＝∠CQP，∠ADQ＝∠AQD.

∴∠CQP＝∠CPQ，CQ＝CP＝x.

又∵AC＝4

，AQ＝AD＝4.

∴x＝CQ＝AC－AQ＝4

－4，即当CP＝4

－4时，△ADQ是等腰三角形，此时BP＝8－4

.

∴当点P在BC上运动，BP＝8－4

时，△ADQ是等腰三角形．

【思路点拨】　

（1）根据SAS证明全等．

（2）根据面积先求出QE的长，再由相似求AP的长，即可．（3）分三种情况进行讨论，求得BP（或PC）的长．

2）　线的运动问题

例2　如图①，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若点B、P在直线a的异侧，BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN.

（1）延长MP交CN于点E（如图②）．

①求证：

△BPM≌△CPE;②求证：

PM＝PN；

（2）若直线a绕点A旋转到图③的位置时，点B、P在直线a的同侧，其他条件不变．此时PM＝PN还成立吗？

若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；

（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其他条件不变．请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM＝PN还成立吗？

不必说明理由．

【解】　

（1）∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，∴∠BMN＝∠CNM＝90°.∴BM∥CN.

∴∠MBP＝∠ECP.

又∵P为BC边中点，∴BP＝CP.

又∵∠BPM＝∠CPE，∴△BPM≌△CPE.

②∵△BPM≌△CPE，

∴PM＝PE，∴PM＝

ME.

∴在Rt△MNE中，PN＝

ME.∴PM＝PN.

（2）成立．

证明：

延长MP与NC的延长线相交于点E，如图③

∵BM⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，

∴∠BMN＝∠CNM＝90°.

∴∠BMN＋∠CNM＝180°.

∴BM∥CN，∴∠MBP＝∠ECP.

又∵P为BC中点，∴BP＝CP.

又∵∠BPM＝∠CPE，

∴△BPM≌△CPE，∴PM＝PE，∴PM＝

ME.

则在Rt△MNE中，PN＝

ME，∴PM＝PN.

（3）四边形MBCN是矩形，PM＝PN成立．

【思路点拨】　

（1）由直角可以得出BM∥NC，再利用平行线性质得出∠MBP＝∠ECP.

（2）当直线a旋转以后，同样由垂直可以得出MB∥NC，再通过作辅助线为桥梁转化求证PM＝PN.（3）当直线a与BC平行时，四边形MBCN为矩形，由矩形性质可得PM＝PN.

3）　图形的运动问题

例3　如图①，△ABC中，AB＝AC，BC＝6，点D为BC中点，连接AD，AD＝4，AN是△ABC外角∠CAM的平分钱，CE⊥AN，垂足为E.

（1）试判断四边形ADCE的形状并说明理由；

（2）将四边形ADCE沿CB以每秒1个单位长度的速度向左平移，设移动时间为t（0≤t≤6）秒，平移后的四边形A′D′C′E′与△ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数表达式，并写出相应的t的取值范围．

图①图②

【解】　

（1）∵AB＝AC，D为BC中点，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.

又∵AE平分∠CAM，

∴∠MAE＝∠CAE.

∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝

×180°＝90°.

∴∠AEC＝∠DAE＝∠ADC＝90°

∴四边形ADCE为矩形．

（2）平移过程中有两种不同情况：

①当0≤t<3时，重叠部分为五边形，如图②.

设C′E′与AC交于点P，A′D′与AB交于点Q.

∵A′E′∥BC，∴△CC′P∽△AE′P∽△CDA∽△A′AQ.

∴

＝

＝

＝

.

∵A′E′＝3，AA′＝t，AE′＝3－t.

∴E′P＝

AE′＝

（3－t），A′Q＝

A′A＝

t.

∴S＝S矩形A′D′C′E′－S△AA′Q－S△AE′P

＝3×4－

AA′·A′Q－

AE′·E′P＝12－

t·

t－

（3－t）·

（3－t）＝－

t2＋4t＋6.

图③

②当3≤t≤6时，重叠部分为三角形，如图③.

设AB与C′E′交于点R.

∵C′E′∥AD，∴△BC′R∽△BDA.

∴

＝

＝

.

∵BC′＝6－t.∴C′R＝

BC′＝

（6－t），

∴S＝S△BC′R＝

BC′·C′R＝

（6－t）·

（6－t）＝

（6－t）2.

∴S＝

【思路点拨】　

（1）因为本题当中垂直条件相对较多，所以考虑能否证明出四边形ADCE的三个内角为直角即可证得此四边形为矩形．

（2）在四边形ADCE向左平移的过程中，会出现两种情况，一种情况是当点D移到点B重合的位置时这个过程；另一种是继续左移，当点C与点B重合时，这两种情况分别讨论，用含有t的式子表示面积S.

专题跟踪训练

1.如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，F是AB边上的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且保持AD＝CE，连接DE、DF、EF.在此运动变化的过程中，下列结论：

①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CDFE不可能为正方形；③DE长度的最小值为4；④四边形CDFE的面积保持不变；⑤△CDE面积的最大值为8.其中正确的结论是（）

A.①②③　　　B.①④⑤C.①③④D.③④⑤

2.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AD＝BC＝5，DC＝7，AB＝13，点P从点A出发，以3个单位/秒的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿BA向终点A运动．在运动期间，当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）

A.3sB.4sC.5sD.6s

3.如图，点G、D、C在直线a上，点E、F、A、B在直线b上，且a∥b，Rt△GEF从如图所示的位置出发，沿直线b向右匀速运动，直到EG与BC重合，运动过程中Rt△GEF与矩形ABCD重合部分的面积（S）随时间（t）变化的图象大致是（）

4.如图，直线y＝

x与双曲线y＝

（x>0）交于点A，将直线y＝

x向右移

个单位后，与双曲线y＝

交于点B，与x轴交于点C.若

＝2，则k＝________．

5.如图，⊙A、⊙B的圆心A、B在直线l上，两圆的半径都为1cm，开始时圆心距AB＝4cm，现⊙A、⊙B同时沿直线l以每秒2cm的速度相向移动，则当两圆相切时，⊙A运动的时间为________秒．

6.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C以4cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过________秒，四边形APQC的面积最小．

7.如图，四边形ABCD是直角梯形，∠B＝90°，AB＝8cm，AD＝24cm，BC＝26cm，点P从A出发，以1cm/s速度向D运动，点Q从C同时出发，以3cm/s的速度向B运动．其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．从运动开始，经过多长时间，四边形PQCD成为平行四边形？

成为等腰梯形？

8.如图，直线l与x轴、y轴分别交于点M（8，0），点N（0，6）．点P从点N出发，以每秒1个单位长度的速度沿N→O方向运动，点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿O→M的方向运动．已知点P、Q同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒．

（1）设四边形MNPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（2）当t为何值时，PQ与l平行？

9.如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA＝2cm，∠AOB＝120°.

（1）求tan∠OAB的值；

（2）计算S△AOB；

（3）⊙O上一动点P从A点出发，沿逆时针方向运动，当S△POA＝S△AOB时，求P点所经过的弧长（不考虑点P与点B重合的情形）．

10.如图，已知点A（6

，0），B（0，6），经过A、B的直线l以每秒1个单位的速度向下作匀速平移运动，与此同时，点P从点B出发，在直线l上以每秒1个单位的速度沿直线l向右下方向做匀速运动．设它们运动的时间为t秒．

（1）用含t的代数式表示点P的坐标；

（2）过O作OC⊥AB于C，过C作CD⊥x轴于D，问：

t为何值时，以P为圆心、1为半径的圆与直线OC相切？

并说明此时⊙P与直线CD的位置关系．

参考答案

1.B2.A3.B4.125.

或

6.3

7.解：

设经过t1秒，四边形PQCD成为平行四边形，如下图．

此时必有PD＝CQ，即24－t1＝3t1，解得t1＝6

设经过t2秒，四边形PQCD成为等腰梯形，如下图．

∵BC＝26cm，AD＝24cm，∴BC－AD＝2cm，

∴成为等腰梯形必有QC－4＝PD，　即3t2－4＝24－t2，解得t2＝7

答：

当经过6秒，四边形PQCD成为平行四边形，经过7秒，四边形PQCD成为等腰梯形．

8.解：

（1）依题意，运动总时间为t＝

＝4，要形成四边形MNPQ，则运动时间为0＜t＜4，

当点P在线段NO上运动t秒时，

OP＝6－t，OQ＝2t，

∵S△POQ＝

OP·OQ＝－t2＋6t，

此时四边形MNPQ的面积

S＝S△MON－S△POQ

＝

×8×6－（－t2＋6t）＝t2－6t＋24，

∴S关于t的函数关系式为S＝t2－6t＋24（0＜t＜4）．

（2）当PQ与l平行时，△NOM∽△POQ.

∴

＝

，即

＝

，∴当t＝2.4秒时，PQ与l平行．

9.解：

（1）tan∠OAB＝

（2）S△AOB＝

cm2

（3）如图，延长BO交⊙O于点P1，

连接AP1.

∵点O是直径BP1的中点，

∴S△P1OA＝S△AOB，∠AOP1＝60°，

的长度为

πcm.

作点A关于直径BP1的对称点P2，连接AP2，OP2，P1P2，

易知S△P2OA＝S△AOB，∠AOP2＝120°，

∴

的长度为

πcm.

过点B作BP3∥OA交⊙O于点P3，连接AP3，OP3，

易知S△P3OA＝S△AOB，∴

的长度为

πcm.

10.解：

（1）作PH⊥OB于H（如图①），

∵OB＝6，OA＝6

，∴∠OAB＝30°.

∵PB1＝BB1＝t，∠B1PH＝30°，∴B1H＝

t，HP＝

t，

∴OH＝6－t－

t＝6－

t，∴P（

t，6－

t）

（2）当⊙P在左侧与直线OC相切时（如图②），

∵OB2＝6－t，∠B2OC1＝30°，∴B2C1＝

（6－t）＝3－

t，

∴PC1＝3－

t－t＝3－

t，由3－

t＝1，得t＝

（s），

此时⊙P与直线CD相离．

当⊙P在右侧与直线OC相切时（如图③），PC2＝t－

（6－t）＝

t－3

由

t－3＝1，得t＝

s，此时⊙P与直线CD相交．

综上，当t＝

s或

s时，⊙P与直线OC相切，当t＝

s时，⊙P与直线CD相离，当t＝

s时，⊙P与直线CD相交．