函数的最值问题研究教师用docx.docx
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函数的最值问题研究教师用docx
函数的最值问题研究
1.设二次函数/（兀）=x2-4x-1在区问［f,r+2］上的最小值为g（f），试求y=g⑴的最小值，并作出函数y=g（t）的最小值，其中
解：
函数f（x）=（x-2）2-5的图象的对称轴方程为x=2,开口向上。
（1）当2w［/,f+2］,即r<2（2）=-5;
（2）当2点［门+2］时，
①当/>2时,/O）在叶+2］上为增函数，故g⑴=/⑴=厂一4/一1=（/一2尸一5>-5.
②当r+2<2时，即0时，门切在［f,/+2］上为增函数，故
g«）=/（『+2）=（f+2）25+21=（/_刁2_5〉-5.
综合上面的讨论，g（/）的最小值为-5。
g（r）的解析式为
r2-4r-l（t>2）,
g⑴=-5（0r-5（/vO）.
2.设d为实数，函数/（x）=F+x-a+l,xw/?
•求/（x）的最小值。
解
（1）当x若6Z<-,则函数/（兀）在（-卩可上单调递减，从而函数/（X）在（-8卫］上的最小值为/+1
2
11a1
若0>—，则函数/⑴在（一gd］上的最小值为=-+且/G）W/（d）.j242
当x>a时，函数/（无）=x"+x-a+1=
若a<,则函数子（兀）在［a,+oo）上的最小值为f--
22
若a>,则函数/⑴在［。
乜）上的单调递增，从而函数/（兀）在［a,+8）的最小值为
2
如"+1・
13
综上所述，当a<-^时，，函数f（x）的最小值是寸-4。
当—vaS—吋，函数/（兀）的最小值是ci2+1.
13
当a>—时'，函数/（x）的最小值是^+—・
x-\3
3.求函数/（兀）=-x—2x+52
pl，则E'l]上是减函数，所以
312
所以，.f（兀）的最大值为/（-）=-,/（%）的最小值为/
（2）=—.
51*7
4.设兀,ywR4■，兀+y=c,c为常数且ce（0,2],求u=（x+丄）（y+丄）的最小值。
令xy=t,则0v/=xv・"44
上是单调递减的。
rflT04
c2c24
所以几#）=/（才）=才+卩・
c24
故w>—+4+2.
4c2
当“y誇时,等号成立。
所以"的最小值为—+4+2.
4c2
求y=j5-4sina+sina的最小值和最大值。
解:
设兀=V5-4sina,因为0vsinaMl,所以1S兀5V5,Ksina--—,于是
4
5-x2
ior-
=-（x-2）2+-（l44
6・用min{a,b,百表示0b,c三个数中的最小值•设f{x）=min{2\%+2,10—x}（%^0）,则f（x）的最大值为（）
A.4B.5
图2
解：
令2’=才+2今水0（舍）或出=2,令2=10-x即2”+‘y=10,则27.已知/+4）<=4心求下例各式的最大值和最小值。
（1）u=x2+y2;
（2）v=x+y.
解：
条件式可转化为
（x-2）2
4
=L
（&为常数）,则
（1）
=（2+2COS&），+sin20=
故％in=°，%axi6・
（2）y=2+2cos0+sinO=V^sin（〃+0）+2,所以Vnun=2-V5,vmax=2+a/5.
（rr\
u=sin2a.v=cos2a,ag0,—等等。
这些代换能帮助我们简化问题，从而解决问题。
I2丿
8.在约束条件x>0,y>0及35兀+yS5下，求函数“=%2-XV+y2的最大值和最小值。
解：
令x=tzsin2=acos2&,&w[0,2龙]则3u=a~sin40-asin2&cos?
0-\-crcos40
=a2[（sin26^4-cos20）2-3sin2^cos2（）\=a2[}--s\n220
I4
99
从而-<«<25o所以％讪=-^max=25-
a
9.己知函数v=ar+8a+/?
的最大值为9,最小值为1,试求函数y=+b的值域。
厂+1
2
解：
将y="X［肚+&变形为（）,_"2_8工+〉，_&=0,利用“△»（）”可得y2—l（）v+9S0Q+1
等价，比较系数得a=b=5.
J
（4、2QoR
V+?
J匸计
练习题：
1.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值.设f（x）=min{2x,x+2,10-x}（x>0）,则f（x）的
最大值为C
（A）4（B）5（C）6（D）7
2.若函数f（x）=e~（x~^3是自然对数的底数）的最大值是加，且代y）是偶函数，则加+“二_.1
3.函数/（x）=Vx2-2x+2V?
-5x+4的最小值为.1+2血
4.已知函数f（x）=x3-12x+8在区间［-3,3］±的最大值与最小值分別为M,加，则M-m=.32
5.若函数y=2〃的定义域是4{1,2,3},则该函数的值域是（）
A.{2,4,6}B.{2,4,8}
C.{1,2,logs?
）D.{1,2,log,3）
解：
由题意得，当x=l时，2"=2,当x=2时，2"=4,当x=3时，2"=8,即函数的值域为{2,4,8},故应选B.
6.定义在RJL的函数y=f（x）的值域为［自，方］,则y=f{x+1）的值域为（）
A.［占，b］B.［目+1,b+1］
C.[曰一1,方一1]D.无法确定
解：
•・•函数y=f{x+1）的图象是由函数y=f{x）的图象向左平移1个单位得到的，其值域不改变，・・・其值域仍为W，刀，故应选A.
（0,,选C.
8.函数y=/-2^+3在区间[0,屈上有最大值3,最小值2,则/〃的取值范围是（）
A.[1,+8）B.[0,2]
C.（—8,2]D.[1,2]
解：
尸1吋，y収最小值2；令y=3,得尸0或x=2.故1W亦S2.答案：
D
1（）.若卩（兀）,g⑴都是奇函数,f（x）=a（p（x）+bg（x）+2在（0,+co）上有最大值5,则/（无）在（一8,0）上有（）
A.最小值一5B.最大值一5C.最小值一1D.最大值一3
解：
0（兀）、g（兀）为奇函数,：
.f（x）-2=a（p（x）+bg（x＞）为奇函数.
又./V）有最大值5,・•・一2在（0,+-）上有最大值3.
AfM-2在（f,（））上有最小值一3,・・・/心）在（V）上有最小值一1.答案为C.
11•已知函数f\x）=x—2ax+a,在区问（一00
1）上有最小值，则函数呂3二
型在区间（1,
+8）上一
定（）
A.有最小值B.有最大值C.是减函数D.是增函数
解：
由题意水1,又函数^（-y）=x+~—2a在［、〃刁，+°°）上为增函数，故选D.
“旳2x—5
12.凶数y=
的值域是WW0或7^4},则此函数的定义域为
X
9V—51111517
解：
F=才_3=2+牙_3'即/_3W_2或X—3‘2,由/_3冬_2=齐水3,市匸㊁.
57
答案：
切3）U（3,-］
综上2vy罟
14.已知f（x）=x2+4x+3.
（1）求f（x）在区间［t,t+l］上的最小值g（t）
（2）求f（x）在区间［t,t+1］上的大值h（t）.
解：
⑴①当t+l<-2,即t.〈-3时，g（t）=f（t+1）;
2当t<-23当t>-2时，g（t）=f（t）.
t2+6/+8（r<-3）
故g（/）={-1（-3「S-2）
t2+4r+3（f>-2）
⑵①当-2-t>（t+l）-（-2）,即tS-?
时，h（t）二f（t）;
2
②当-2-t<（t+l）-（-2）,即t>_?
吋,h（t）=f（t+l）.
2
5
+4f+3（/<-—）
故h（t）=v
2
5
+6z+8（f>一一）
2
15.（2005年上海卷）対定义域分别是Df、Dg的函数y=f（x）>y=g（x）,rf（x）-g（x）当xGDt且xUD”规定：
函数h（x）二彳f（x）当xGDf且xgDg
Ig（x）当xgDt且xG几
（1）若函数f（x）二丄，g（x）=x2,xeR,写出函数h（x）的解析式;
x—I
（2）求问题
（1）中函数h（x）的值域；
x2,
XH1
解：
⑴力⑴二兀一1‘'
l,x=1.
X2]
（2）当xHl时，h（x）=-—二x-l+——+2,
X—Ix—I
若X>1时，则h（x）24,其中等号当x=2时成立
若x・・・函数h（x）的值域是（一8,Q]u⑴U[4,+oo）
16.设函数f（x）=x2+12x-aI（xeR,a为实数）.
⑴若/（x）为偶函数，求实数a的值；
（2）设a>2.求函数/（工）的最小值.
解：
（l）rfl己知/（一兀）=/（兀）,即12兀一。
1=12兀+“1,解得。
=0：
x2-}-2x-a.x>—a
2
宀2z，T'
当x>—a时，/（X）=x2-^-2x-a=（x+l）2-（a+1）,由a>2,x>—a>1,故/（x）在
22
x>-a时单调递增，/（兀）的最小值为/（-）=—；
224
1a
当x<—a吋，f（x）=x2-2x+=（x-1）2+（«-1）,故当1vxv—吋，/（兀）单调递增，当
22
XV1时，/（X）单调递减，则/（兀）的最小值为/（l）=a-l；
由（a-l）=（a~2）2>0,知/（兀）的最小值
44
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