第五章相交线与平行线教材内容.docx
《第五章相交线与平行线教材内容.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五章相交线与平行线教材内容.docx（24页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
第五章相交线与平行线教材内容
第五章相交线与平行线
教材内容
本章主要内容是两条直线的位置关系：
相交线和平行线，以及平移变换的内容。
本章首先研究了相交的情形，探索了两条直线相交所成角的位置和大小关系，给出了邻补角和对顶角的概念，得出了“对顶角相等”的结论；并着重研究了相交的特殊情形——垂直，探索了垂直的性质，给出了点到直线的距离的概念。
接着研究了平行的情形，教科书首先引入了一个基本事实（平行公理），以此为出发点探讨了两条直线平行的性质和判定，并给出了两条平行线间的距离的概念，还对命题以及命题的构成作了简单的介绍。
最后研究了平移的概念和性质，以及利用平移设计图案和分析解决实际生活中的问题。
本章知识是学习线和角的继续，也是学习几何知识的重要基础，以后几乎所有几何图形的学习都用到本章知识。
教学目标
〔知识与技能〕
1、了解两条直线的位置关系有相交与平行两种，理解相交线、平行线、平移的有关概念及性质，会运用这些概念和性质进行简单的推理和计算；2、会用三角板、量角器等工具熟练地画垂线、平行线及有关简单几何图形，逐步培养学生的识图和绘图能力；3、进一步熟悉和掌握几何语言，能够把学过的概念和性质，用图形或符号语言表示出来；4、逐步了解几何推理要步步有据，会准确地填写推理的根据，并会作简单的推理。
〔过程与方法〕
1、通过探索、猜测，进一步体会学会推理的必要性，发展学生初步推理能力；2、通过揭示一些概念和性质之间的联系，对学生进行创新精神和实践能力的培养.
〔情感、态度与价值观〕
1、通过观察、实验、归纳、类比、推断，体验数学活动的趣味性，以感受推理过程的严谨性以及结论的确定性；2、开展探究性活动，充分体现学生的自主性和合作精神，激发学生乐于探索的热情。
重点难点
垂线的概念与平行线的判定与性质及平移是重点；学会写推理过程和对直线平行的性质和判定的灵活运用是难点。
课时分配
5.1相交线………………………………………2课时
5.2平行线………………………………………3课时
5.3平行线的性质………………………………3课时
5.4平移…………………………………………5课时
本章小结…………………………………………2课时
5.1.1相交线
〔教学目标〕1、经历探究对顶角、邻补角的位置关系的过程；2、了解对顶角、邻补角的概念；3、知道“对顶角相等”并会运用它进行简单的说理。
〔重点难点〕对顶角、邻补角的概念和“对顶角相等”是重点；正确区别互为邻补角与互为补角和运用“对顶角相等”说理是难点。
〔教学过程〕
一、情景导入
〔投影1〕下图是一段铁路桥梁的侧面图，找出图中的相交线、平行线。
“米”字形中的线段都相交，“米”字形中间的线段都平行，等等。
相交线和平行线都有许多重要性质，并且在生产和生活中有广泛应用。
我们将在前一章的基础上，进一步研究直线间的位置关系，同时还要介绍一些有关推理证明的常识，为后面的学习做些准备。
二、邻补角和对顶角
〔投影2〕下面是一把剪刀，你能联想到什么几何图形？
BB
两条直线相交，如图。
BB
上图中两条相交直线形成的四个角中，两两相配共能组成六对角，即:
∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4、∠2和∠3、∠2和∠4、∠3和∠4。
量一量各个角的度数，你能将上面的六对角分类吗？
可分为两类：
∠1和∠2、∠1和∠4、∠2和∠3、∠3和∠4为一类，它们的和是1800；∠1和∠3、∠2和∠4为二类，它们相等。
第一类角有什么共同的特征？
一条边公共，另一条边互为反向延长线。
具有这种关系的两个角，互为邻补角。
讨论：
邻补角与补角有什么关系？
邻补角是补角的一种特殊情况，数量上互补，位置上有一条公共边，而互补的角与位置无关。
第二类角有什么共同的特征?
有公共的顶点，两边互为反向延长线。
具有这种位置关系的角，互为对顶角。
思考：
〔投影3〕下列图形中，∠1和∠2是对顶角的是〔〕
ABCD
注意：
对顶角形成的前提条件是两条直线相交，而邻补角不一定是两条直线相交形成的；每个角的对顶角只有一个，而每个角的邻补角有两个。
三、对顶角的性质
在用剪刀剪布片的过程中，随着两个把手之间的角逐渐变小，剪刀刃之间的角也相应变小，直到剪开布片。
在这过程中，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角有什么关系？
为了回答这个问题，我们先来研究下面的问题。
如图，直线AB和直线CD相交于点O，∠1和∠3有什么关系？
为什么？
∠1和∠3相等。
∵∠1＋∠2＝1800，∠2＋∠3＝1800、
∴∠1＝∠3（同角的补角相等）
同理∠2和∠4相等。
这就是说：
对顶角相等。
你能利用这个性质回答上面的问题吗？
因为剪刀的构造可以看成两条相交的直线，所以两个把手之间的角与剪刀刃之间的角互为对顶角，由于对顶角相等，因此，两个把手之间的角与剪刀刃之间的角始终相等。
四、例题
〔投影4〕如图，直线a、b相交，∠1＝400，求∠2、∠3、∠4的度数。
1BB
2
3BB
4
O
BBB
A
CBB
DBB
分析：
∠1和∠2有什么关系？
∠1和∠3有什么关系？
∠2和∠4有什么关系？
解：
∵∠1＋∠2＝1800，∴∠2＝1800—∠1＝1800—400＝1400.
∠3＝∠1＝400，∠4＝∠2＝1400.
五、课堂练习〔投影5〕
1、一个角的对顶角有个，邻补角最多有个，而补角则可以有个。
2、下图中直线AB、CD相交于O，∠BOC的对顶角是，邻补角是
3、课本5面练习。
4、如2题图，已知∠AOC=80°，∠1=30°，求∠2的度数
六、课堂小结
1、什么是邻补角？
邻补角与补角有什么区别？
2、什么是对顶角？
对顶角有什么性质？
作业：
课本8面1、2；9面7、8题。
5.1.2垂线
（一）
〔教学目标〕1、了解垂线的概念；2、理解垂线的性质1；3、会用三角尺或量角器过一点画一条直线垂直于已知直线。
〔重点难点〕垂线的概念、性质1和画法是重点；画线段和射线的垂线是难点。
〔教学过程〕
一、情景导入
〔投影1〕如图，取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b。
当b的位置变化时，a、b所成的角
是如何变化的?
其中会有特殊情况出现吗?
当这种情况出现时,a与b是什么位置关系？
有，当
＝900时；垂直。
二、垂线
显然，垂直是相交的一种特殊情形，即两条直线相交成900的情况。
两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。
如图，直线AB垂直于直线CD，记作AB⊥CD,垂足为O。
在生产和日常生活中，两条直线互相垂直的情形是很常见的,如：
〔投影2〕
你能再举一些其它的例子吗？
思考：
〔投影3〕下面所叙述的两条直线是否垂直？
①两条直线相交所成的四个角相等;
②两条直线相交,有一组邻补角相等;
③两条直线相交,对顶角互补.
①②③都是垂直的。
三、垂线的性质
探究:
〔投影4〕.学生用三角尺或量角器画已知直线l的垂线.
（1）画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?
（2）经过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条?
（3）经过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?
由画图可知：
（1）可以画无数条；
（2）可以画一条；（3）可以画一条。
这就是说，经过直线上或直线外一点，可以画一条垂线，并且只能画一条垂线，即：
性质1过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
注意：
①“有”指存在，“只有”指唯一；②“过一点”中的“点”在直线上或在直线外。
四、课堂练习
1、课本9面9题；
2、课本5面练习2题。
五、课堂小结
1、垂线的概念，垂直的表示；
2、垂直的性质1；
3、垂线的画法。
作业：
课本8面3、4、5题，10面12题。
5.1.2垂线
（二）
〔教学目标〕1、了解垂线段的概念；2、理解“垂线段最短”的性质；3、体会点到直线的距离的意义,并会度量点到直线的距离.
〔重点难点〕“垂线段最短”的性质,点到直线的距离的概念及其简单应用是重点；理解点到直线的距离的概念是难点。
〔教学过程〕
一、情景导入
〔投影1〕如图（课本图5.1-8）,在灌溉时，要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?
说到最短，上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗?
两点之间，线段最短.
如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是点P,那么另一个端点的位置在什么地方呢?
把江河看成直线l,那么原问题就是这样的数学问题：
在连接直线l外一点P与直线l上各点的线段中,哪一条最短?
二、垂线的性质2
演示：
在黑板上固定木条l,l外一点P,木条a一端固定在点P，使之与l相交于点A。
左右摆动木条a,l与a的交点A随之变动,线段PA的长度也随之变化，a与l的位置关系怎样时，PA最短?
a与l垂直时，PA最短。
这时的线段PA叫做垂线段。
〔投影2〕画出PA在摆动过程中的几个位置，如图，点A1、A2、A3……在l上,连接PA1、PA2、PA3……，PO⊥l，垂足为O，用叠合法或度量法比较PO、PA1、PA2、PA3……的长短，可知垂线段PO最短。
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,简单说成:
垂线段最短.
二、点到直线的距离
我们知道，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，这里我们把直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离.如上图，PO就是点P到直线l的距离。
注意：
点到直线的距离和两点间的距离一样是一个正值，是一个数量，所以不能画距离，只能量距离。
三、课堂练习
〔投影3〕1、判断正确与错误,如果正确,请说明理由,若错误,请订正.
（1）直线外一点与直线上的一点间的线段的长度是这一点到这条直线的距离.
（2）如图,线段AE是点A到直线BC的距离.
（3）如图,线段CD的长是点C到直线AB的距离.
1题图2题图
〔投影4〕2已知直线a、b,过点a上一点A作AB⊥a,交b于点B,过B作BC⊥b交a上于点C.请说出线段AE的长是哪一点到哪一条直线的距离?
CD的长是哪一点到哪一条直线的距离？
3、课本中水渠该怎么挖?
在图上画出来.如果图中比例尺为1:
100000,水渠大约要挖多长?
四、课堂小结
1、垂线段、点到直线的距离概念；
2、垂线的性质2及应用.
作业：
课本8面6题，9面10题，10面13题。
第五章复习一（5.1）
一、双基回顾
1、对顶角和邻补角：
有并且两边的两个角是对顶角；有并且的两个角是邻补角。
〔注〕两条直线相交是形成对顶角的前提，但不一定是形成邻补角的前提。
2、对顶角的性质：
对顶角.
〔1〕下列说法正确的是〔〕
A、相等的角是对顶角B、一个角的邻补角只有一个
C、补角即为邻补角D、对顶角的平分线在一条直线上
3、垂直和垂线：
当两条直线相交所成的四个角中时，这两条直线互相垂直，其中的叫做的垂线。
〔2〕题[3]题〔4〕题
〔2〕如图，AB⊥CD,垂足为O,EF经过点O，且∠3＝260，则∠1＝.
4、垂直的性质：
（1）经过一点有且只有与垂直；
（2）垂线段。
〔注〕性质
（1）说明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的依据；性质
（2）是定义点到直线距离的依据。
〔3〕如图，三角形ABC是直角三角形，∠C＝900，其中最长的线段
是.
5、点到直线的距离：
直线外一点到这条直线的，叫做点到直线的距离。
〔4〕如图，线段的长度表示点D到直线BC的距离，线段的长度表示点B到直线CD的距离，线段的长度表示点A、B之间的距离。
二、例题导引
例1下列说法：
①一条直线有且只有一条垂线；②画出点P到直线l的距离；③两条直线相交就是垂直；④线段和射线也有垂线，其中正确的有.
例2如图，一辆汽车在笔直的公路AB上由A向B行驶，MN分别是位于公路AB两侧的村庄。
（1）设汽车行驶到公路AB上点P位置时，距离村庄M最近，行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图中的AB上分别画出点P、Q的位置；
（2）当汽车从A出发向B行驶时，在哪一个位置到村庄M、N的路程之和最短？
请在图中标出这个位置。
例3如图，直线AB、CD相交于点0,OD平分∠BOF,EO⊥CD于O,
∠EOF=1180,求∠COA的度数。
A
B
C
D
E
F
O
三、练习提高
夯实基础
1、如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有〔〕毛
2、如图所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,∠AOD=∠_______=∠_______=∠_______=.
2题3题
3、如图所示,直线AB,CD,EF相交于点O,则∠AOD的对顶角是_____,∠AOC的邻补角是_______;若∠AOC=50°,则∠BOD=______,∠COB=_____.
4、如图所示,直线AB,CD相交于点O,已知∠AOC=70°,OE平分∠BOD,则∠EOD=________.
4题5题
5、如图,直线AB和CD相交于点O,若∠AOD与∠BOC的和为236°,则∠AOC的度数为〔〕
A.62°B.118°C.72°D.59°
6、如图所示,下列说法不正确的是〔〕毛
A.点B到AC的垂线段是线段AB;B.点C到AB的垂线段是线段AC
C.线段AD是点D到BC的垂线段;D.线段BD是点B到AD的垂线段
6题7题11题
7、如图，已知AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠EOC=280,则∠AOD
=度。
8、如图所示,村庄A要从河流l引水入庄,需修筑一水渠,请你画出修筑水渠的路线图.
9、如图所示，如果OA⊥OC,O是垂足，OB是一条射线，且∠AOB︰∠AOC=2︰3,求∠BOC的度数。
能力提高
10、点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到 直线m的距离为〔〕
A.4cmB.2cm;C.小于2cmD.不大于2cm
11、如图所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=a,BC=b,则BD的范围是〔〕
A.大于aB.小于b
C.大于a或小于bD.大于b且小于a
12、如图，过钝角顶点B作AB、BC、CA的垂线，分别交于AC于D、E、F，并指出所画三条垂线的垂足。
13、如图，MN⊥AB,垂足为M,MC平分∠AMD,∠BMD=440,求∠CMN的度数。
A
B
C
D
M
N
探索创新
14、OC把∠AOB分成两部分且有下面两个等式成立：
①∠AOC=1/3直角＋1/3∠BOC;②∠BOC=1/3平角－1/3∠AOC.
问：
（1）OA与OB的位置关系怎样？
（2）OC是否为∠AOB的平分线？
并写出判断的理由。
5.2.1平行线
〔教学目标〕1、了解平行线的概念，理解同一平面内两条直线间的位置关系；2、掌握平行公理及平行线的画法。
〔重点难点〕平行线的概念、画法及平行公理是重点；理解平行线的概念和根据几何语言画出图形是难点。
〔教学过程〕
一、情景导入
我们知道两条直线相交只有一个交点，除相交外，两条直线还存在其它的位置关系吗？
看下面的图片：
〔投影1〕
双杆上面的两根横杆、支撑横杆的直干它们所在的直线相交吗？
游泳池中分隔泳道的线它们所在的直线相交吗？
屏风的折处和边所在的直线相交吗？
今天我们就来讨论这样的问题。
二、平行线
演示：
分别将木条a、b与木条c钉在一起,，并把它们想象成三条直线。
转动a，直线a从在c的左侧与直线b相交逐步变为在右侧与b相交。
想象一下，在这个过程中，有没有直线a与直线b不相交的位置呢？
有，这时直线a与直线b左右两旁都没有交点。
同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线.
直线AB与直线CD平行,记作“AB∥CD”.
注意：
①“同一平面内”是前提，以后我们会知道，在空间即使不相交，可能也不平行；②平行线是“两条直线”的位置关系，两条线段或两条射线平行，就是指它们所在的直线平行；③“不相交”就是说两条直线没有公共点。
归纳一下，在同一平面内,两条直线有几种位置关系？
动手画一画。
相交和平行两种。
注意：
这里所指的两条直线是指不重合的直线。
三、平行公理
再来看上面的实验，想象一下，在转动木条a的过程中,有几个位置能使a与b平行?
有且只有一个位置使a与b平行.
如图，过点B画直线a的平行线,能画几条?
试试看。
只能画一条。
从实验和作图，我们可以得到怎样的事实？
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.
这一基本事实是人们在长期的实践中总结出来的结论，我们称它为公理，这个结论叫做平行公理。
在上图中，过点C画直线a的平行线,它与过点B画的的平行线平行吗?
试试看。
过点C画的直线a的平行线与过点B画的直线a的平行线相互平行。
这说是说，如果两条直线都与第三条直线平行,那么这条直线也互相平行.
符号语言：
∵b∥a,c∥a∴b∥c.
如果b与c不平行，那么经过直线外一点就有两条直线与已知直线平行，所以上面的结论是平行公理的推论。
四、课堂练习
〔投影2〕1、判断下列说法是否正确？
（1）在同一平面内，两条线段不相交就平行；
（2）在同一平面内，平行于直线AB的直线只有一条。
（3）如果几条直线都和同一条直线平行，那么这几条直线都互相平行。
2、课本13面练习.
五、课堂小结
1、什么是平行线？
“平行”用什么表示？
2、平面内两条直线的位置关系有哪些？
3、平行公理及推论是什么？
作业：
课本16面3题，17面8题，18面9、11题。
5.1.3同位角、内错角、同旁内角
〔教学目标〕1、理解同位角、内错角、同旁内角的概念；2、会识别同位角、内错角、同旁内角.
〔重点难点〕同位角、内错角、同旁内角的概念与识别是重点；识别同位角、内错角、同旁内角是难点。
〔教学过程〕
一、导入新课
前面我们研究了一条直线与另一条直线相交的情形，接下来，我们进一步研究一条直线分别与两条直线相交的情形。
二、同位角、内错角、同旁内角
如图，直线a、b与直线c相交，或者说，两条直线a、b被第三条直线c所截，得到八个角。
我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。
∠1与∠2、∠4与∠8、∠5与∠6、∠3与∠7有什么位置关系？
在截线的同旁，被截直线的同方向（同上或同下）.
具有这种位置关系的两个角叫做同位角。
同位角形如字母“F”。
∠3与∠2、∠4与∠6的位置有什么共同的特点？
在截线的两旁，被截直线之间。
具有这种位置关系的两个角叫做内错角.
内错角形如字母“N”。
∠3与∠6、∠4与∠2的位置有什么共同的特点？
在截线的同旁，被截直线之间。
具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角.
同旁内角形如字符“匚”。
思考：
这三类角有什么相同的地方？
（1）都不相邻即不存在共公顶点；
（2）有一边在同一条直线（截线）上。
三、例题
例如图，直线DE，BC被直线AB所截，
（1）∠1与∠2、∠1与∠3、∠1与∠4各是什么角？
为什么？
（2）如果∠1=∠4，那么∠1与∠2相等吗？
∠1与∠3互补吗？
为什么？
解：
（1）∠1与∠2是内错角，因为∠1与∠2在直线DE，BC之间，在截线AB的两旁；∠1与∠3是同旁内角，因为∠1与∠3在直线DE，BC之间，在截线AB的同旁；∠1与∠4是同位角，因为∠1与∠4在直线DE，BC的同方向，在截线AB的同方向。
（2）如果∠1=∠4，又因为∠2=∠4，所以∠1=∠2；因为∠3+∠4=1800，又∠1=∠4，所以∠1+∠3=1800，即∠1与∠3互补。
四、课堂练习
1、课本7面练习1；
2、[投影2]指出图中所有的同位角、内错角、同旁内角；
A
B
C
D
3、课本7面练习2。
作业:
课本9面11题.
5.2.2平行线的判定
（一）
〔教学目标〕经历探索两直线平行条件的过程，理解两直线平行的条件.
〔重点难点〕探索两直线平行的条件是重点，理解“同位角相等,两条直线平行”是难点。
〔教学过程〕
一、情景导入.
〔投影1〕如图1，装修工人正在向墙上钉木条，如果木条b与墙壁边缘垂直，那么木条a与墙壁边缘所夹角为多少度时，才能使木条a与木条b平行？
5
6
8
7
图1图2
要解决这个问题，就要弄清楚平行的判定。
二、直线平行的条件
以前我们学过用直尺和三角尺画平行线，如图（课本13面图5.2-5）在三角板移动的过程中，什么没有变？
三角板经过点P的边与靠在直尺上的边所成的角没有变。
简化图5.2-5，得图3.
图3
∠1与∠2是三角板经过点P的边与靠在直尺上的边所成的角移动前后的位置，显然∠1与∠2是同位角并且它们相等，由此我们可以知道什么？
两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.
简单地说:
同位角相等,两条直线平行.
符号语言：
∵∠1=∠2∴AB∥CD.
如图（课本14面5.2-7），你能说出木工用图中这种叫做角尺的工具画平行线的道理吗？
用角尺画平行线，实际上是画出了两个直角，根据“同位角相等,两条直线平行.”，可知这样画出的就是平行线。
〔投影2〕如图，
（1）如果∠2=∠3，能得出a∥b吗？
（2）如果∠2＋∠4＝1800，能得出a∥b吗？
3
2
b
a
c
4
1
（1）∵∠2=∠3（已知）∠3=∠1（对顶角相等）
∴∠1=∠2（等量代换）
∴a∥b（同位角相等,两条直线平行）
你能用文字语言概括上面的结论吗？
两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.
简单地说：
内错角相等,两直线平行.
符号语言：
∵∠2=∠3∴a∥b.
（2）∵∠4+∠2=180°,∠4+∠1=180°（已知）
∴∠2=∠1（同角的补角相等）
∴a∥b.（同位角相等,两条直线平行）
你能用文字语言概括上面的结论吗？
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么两条直线平行.
简单地说：
同旁内角互补,两直线平行.
符号语言：
∵∠4+∠2=180°∴a∥b.
四、课堂练习
1、课本15面练习1，补充（3）由∠A+∠ABC＝1800可以判断哪两条直线平行？
依据是什么？
2、课本16面2题。
五、课堂小结
怎样判断两条直线平行？
作业：
16面1、2题；17面4、5、6。
升级会员 