初中数学函数研究案例.docx

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初中数学函数研究案例

用”的教学研究与案例评析

1．注意由浅入深、循序渐进地建立函数与方程的关系

　　对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．分三步来展开这部分的内容．第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系．第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系．

　　2．注意函数与实际问题的联系，体现数学建模的思想

　　我们生活在一个充满变化的多彩世界，其中存在大量问题可以通过体现变量关系的函数模型得到解决，这就为函数的应用的教学提供了大量的实际背景．在本章中，实际问题情境贯穿于教科书的始终，无论是对几种不同增长的函数模型的研究，还是对函数模型的应用举例的学习，都是在解决实际问题的过程中进行的，全章大多数内容都是围绕实际问题的讨论而展开的，反映了函数与现实之间的关系，能提高学生对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识．

　　利用函数模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面．教材一方面注意让学生认识常见函数模型的特点，另一方面还注意选择贴近学生生活实际的各种问题，引导学生用已学过的函数模型分析和解决它们，使函数的学习与实际问题紧密联系，并在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，从更高的层面上认识函数与实际问题的关系．

　　3．注意以函数模型的应用为主线，带动相关知识的展开

  本章除了函数模型的应用之外，还要介绍函数的零点与方程的根的关系，用二分法求方程的近似解，以及几种不同增长的函数模型．教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为载体。

可见函数的重要性。

结合个人教学实践和课程内容谈谈学生在学习“函数的应用”部分时常见的问题有哪些？

简析一下主要原因。

函数是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，也是初中数学里代数领域的重要内容，它在初中数学中具有较强的综合性。

对于学生来说，初学函数，普遍认为难，在理解和认识上有偏差，经常出现错误。

学生在学习“函数的应用”部分时常见的问题有：

一：

函数概念混淆。

原因：

  对函数的概念理解不透造成的误区

措施1、我们在教学时要从函数的概念出发，加以强调函数概念：

  措施2、对于做选择题时，应教给学生检查是否每一个答案都符合题意.

二．作图不准确

原因：

忽视条件造成函数值随自变量的变化趋势

措施：

要让学生自己通过画图，观察、归纳、总结出函数的性质。

所以，在判断函数的变化趋势时，一定要求学生画图，由图像直观性去理解函数值的变化情况。

三学生不能根据图像回答。

没有做到图形结合。

原因：

没有形成空间想象力，

措施：

加强作图，运用图形加强对函数性质理解。

总之，我们老师在教学的时候，除了让学生掌握各类函数的概念、性质以外，还要特别注意教会学生运用数形结合的数学思想，让学生结合函数图像去解题，循序渐进地学习函数，避免走入误区。

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结合个人教学实践和课程内容谈谈学生在学习“函数的应用”部分时常见的问题有哪些？

简析一下主要原因。

初中数学“函数的应用”的教学研究与案例评析

函数是中学数学中极其重要的内容之一。

这一概念不仅渗透在中学数学教学的许多内容之中，而且它与物理、化学等学科的知识密切相关。

其次，它又是一种数学思想，运用函数思想可以更方便、更有效地解决一些数学问题，在学生的数学学习过程中有着重要的意义和作用

由于函数在中学数学中最具复杂性，学生对函数的学习往往不是一帆风顺的，因此函数的教与学是一个需要认真研究的课题。

一、函数学习困难的原因分析

1.函数自身的特点

（1）函数概念的发展经历了一个漫长的过程，是众多数学家智慧的结晶。

函数概念萌芽于罗马时代，17世纪伽利略、笛卡尔都注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但是没能给出函数的定义。

进入18世纪，先后经历了公式表示函数和曲线表示函数的阶段。

1821年柯西给出了类似现在课本的函数定义。

1822年傅里叶揭示了函数的本质，结束了函数概念是否唯一的争论，把对函数的认识推到了一个新的层次。

之后又经历了若干科学家的研究提炼，给出了近代函数的定义，具体化了函数的对应关系、定义域和值域问题，打破了“变量是数”的极限，使得函数得到更广泛的应用。

由此可以看出，函数的发展是人类社会认识发展过程的简约反映，因此学生普遍出现认识上的困难是比较正常的。

（2）函数从客观世界中抽象出来，超越了千变万化的客体的个性，是个内涵深刻而又外延丰富的概念。

函数不是数，需要以变化的观点来考察变量之间的相互依赖关系，研究的着眼点是“关系”，对变量概念的学习不能简单地理解为变化的量，必须辩证地认识常量与变量这一关系。

（3）函数概念系统复杂，涉及因素众多。

伴随着函数概念的不断发展，数学思维方式也发生了重要转变，思维从静态走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系，实现了数与形的有机结合，在符号语言与图表语言之间可以灵活转换。

在函数的研究中，思维超越了形式逻辑的界限，进入了辩证逻辑思维，与常量数学相比，函数概念的抽象性更强，形式化程度更高。

2.函数学习过程中学生的心理特点

（1）新旧认知结构产生冲突

以布鲁纳为代表的认知学说认为在学生的学习过程中，新的学习内容输入以后，学生原有的数学认知结构与新的学习内容之间相互作用，出现了同化和顺应两种基本形式的学习过程，而学生学习函数概念的过程是顺应的过程。

初中生刚刚学习函数时，原有的认知结构不能适应新的认知需要，必须要加以改造才能适应新的学习内容。

例如，学生在学习函数之前学习正方形的面积公式，是为了利用正方形的边长计算正方形的面积；而学习函数概念时，则需把正方形的面积公式看成正方形的面积与边长之间相互变化所遵循的规律。

（2）初中生的感知规律

在数学学习中，学生已有的知识经验起着重要的作用。

已有的知识经验越丰富，感知就越是清晰，就越有利于把感性认识上升为理性认识。

特别是初中生，年龄小，知识面比较狭窄，生活经验尚不丰富，对数学中较难理解的知识，接受起来有一定的困难。

再加上函数内容的高度抽象性，往往掩盖了它们与具体内容之间的关系，压制了感知在数学学习中的作用。

（3）学生思维发展水平的局限性

初中生的抽象逻辑思维日益发展，并逐渐占有相对优势，但具体形象思维仍然起着重要的作用；其次初中生思维的独立性和批判性还是很不成熟的，很容易产生片面性和表面性，特别是他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，还不善于把抽象的概念与具体事例联系起来，还不能够完全胜任这种需要用辩证的思想、运动变化的观点才能理解的学习任务，这是构成函数概念学习困难的主要根源。

二、函数教学的策略及应注意的问题

1.创设丰富的感性背景，让学生感受动态世界中的变化规律

尽管函数本身是以抽象的形态出现的，但学生领会它的时候总是要从直观开始的。

虽然直观感知只能提供事物具体的、特殊的、感性的认识经验，但是它是认识空间形式和数量关系的基础。

2.紧扣函数概念的两要素，充分揭示函数概念的内涵

初中函数概念是以变量关系引入的，它是函数概念的本质属性。

教学中有的教师将“变量”解释为“变化的量”，或干脆说成“你变，我也变”，殊不知这样的解释对学生理解“变量”的意义不仅没有帮助还会起反作用，因此对变量概念的准确理解是学好函数的关键。

（1）辩证地看常量和变量

常量和变量都是相当于某一过程而言，没有绝对的变量。

例如，一辆汽车用了2小时从北京驶向天津。

在这2小时的过程中，这辆汽车行驶的路程是一个变量，但在分析这辆汽车到达天津的时间和它的速度之间的关系这个过程中，路程则成了常量。

（2）准确把握因变量

把一个变量称作函数也是相对的，一方面它必须是依赖于或相对于某个称作自变量的变量。

例如，上面例子中的第一种情况,路程这个变量是时间这个自变量的函数，而不能单独地说某一个变量是函数或认为它注定就是函数；另一方面，一个变量是某个变量的函数，也是相对于某个“过程”而言的。

例如，如果把年龄规定在一个人在世时每年的生日那天的某个时刻，那么对于一个人来说，身高是年龄的函数，但对于一个班的同学来说，一般说来，身高就不是年龄的函数。

这是因为，前者的过程是对于一个人，后者的过程是对于几十个人。

（3）深刻理解函数关系的本质——对应关系

两个变量相互依赖，“当第一个变量在一定的范围中取定一个数值时，第二个量总有确定的数值与之对应”，即自变量在它的取值范围内不受干扰的自由取值，函数的值则受自变量的牵制。

（4）注重对自变量取值范围的考虑

自变量的取值范围，到高中称作“函数的定义域”，它是函数关系的一个组成部分。

两个函数的自变量的取值范围不同时，这两个函数则是不可能相同的。

例如，某风景区集体门票的收费标准是20人以内（含20人）每人25元，超过20人时，超过部分每人20元。

应收门票费y（元）与游览人数x（人）之间的函数关系式为

Y=25X（0≤X≤20）

20X+100（X>20）

此题由于自变量的取值不同，因此对应的函数也不尽相同。

由此可以看出，从开始学习函数时就考虑自变量取值范围是十分必要的。

3.加强数形结合思想方法的教学

（1）渗透数形结合思想方法，促进学生思维的完善

（2）数形结合帮助学生的知识“活”起来

利用函数的图象揭示知识之间内在的联系，可使学生对知识的运用更加灵活。

4.借助多媒体优势，抽象变直观

借助多媒体的优势可以使抽象的函数概念更加直观。

例如，学习二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与性质时，a、b、c的取值决定抛物线的位置是学生理解和应用的一个难点。

若在几何画板中利用参数拉杆代表a、b、c,用鼠标任意拖动每一个参数拉杆，动态的抛物线就随之变化，不用老师开口，学生就会发现：

（1）a>0,抛物线开口向上；a<0,抛物线开口向下；|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。

（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置。

（3）c的大小决定抛物线与y轴的交点位置。

5.建立函数思想方法，提高学生的探索能力

研究函数的过程，始终离不开变化，若能根据函数这一特性，形成函数思想，利用一次函数、二次函数的解析式解决某类探索性问题则能达到事半功倍的效果。

这一类探索问题的关键是判断增量的情况，从而判断用哪一种函数求解。

（1）若增量为定值，可用一次函数求解。

例如，下图中每个图是用若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边有n（n>1）盆花，每个图案的花盆总数为S，按此规律排列，试写出S与n的关系式。

分析：

n从2到3增加1，S的值增加3；n从3到4增加1，S的值增加3；可见S的增量为定值，可用一次函数求解。

解：

设S与n的关系为S=kn+b

2k+b=3

3k+b=6

∴k=3，b=-3∴s=3n-3

（2）若增量为等差数列，可用二次函数求解。

例如，两条直线相交，最多1个交点；三条直线相交，最多3个交点；四条直线相交，最多6个交点，问n条直线相交，最多有多少个交点？

分析：

交点个数由1到3，增加2；交点个数由3到6，增加3；

交点个数由6到10，增加4；增加量为等差数列，可用二次函数求解。

设S与n的函数关系式为S=an2+bn+c。

将（2，1），（3，3），（4，6）代入，解得a=12，b=-12，c=0.所以s=12n2-12n.

6.注重函数与现实世界的联系，强化学生的应用意识

函数是非常重要的“数学建模”工具，现实中的许多问题都是通过建立函数模型而得到解决的。

例如，现在电话费、上网费、手机费的付费问题已是我们生活中常见的话题，怎样才能使我们的消费更加经济实用呢？

我让学生以小组合作的方式，调查家里的上网资费方式是否经济实用，学生的积极性无限高涨。

通过调查分类筛选基本选定两种资费方式进行分析：

方式A，以每分钟0.1元的价格按上网时间收费；方式B，除收取月租费20元外再以每分钟0.05元的价格按上网时间计费。

分析结果以调查报告的形式出现包括建立函数模型—画出函数图像—分析函数图像—选择资费方式。

活动结束后，请学生交流此次活动后的收获，这样不仅巩固了知识，学会了方法，更重要的是经历了“从现实中来，到现实中去”的数学过程。

总之，对函数概念的理解、运用并不是一章、一节能突破的，教师要把函数的教学作为一个长期的过程，积极地引导学生进行独立思考，有意识地培养他们应用函数知识解决各种数学问题的能力，帮助学生顺利地完成函数的学习。

函数图象, 数学建模, 教科书, 二分法

（初中数学“函数的应用”的教学研究与案例评析）作业  

函数是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型，也是初中数学里代数领域的重要内容，它在初中数学

具有较强的综合性。

在初中数学中占有重要的作用，同时也是高中学习的基础知识，作为初高中知识的衔接内容，函数在中考命题中一直是“重头戏”，也是教师教学的重点内容之一，那么如何上好函数显得很重要。

好多老师都反映函数难教，学生反映函数难以理解。

其实在教学过程中还存在一些教学误区，下面就谈谈我自己的几点看法。

问题一  教学上下不连贯

初中函数所考察的题目，大家公认二次函数最难。

因此老师在教授这个函数时，也是最卖力，配备了大量的习题练习。

但是老师教的辛苦，学生学得也不轻松，不但要理解那么难的曲线函数，还要做更难的习题。

所以最后得到的结论是，“二次函数太难了，不是所有学生都能掌握的”。

其实则不然，造成这种局面的原因就是把二次函数孤立起来，一棵参天大树高不可攀，是因为你忘却了函数是片森林，二次函数应该根植在“函数森林”中。

函数这一章最重要的解题方法就是待定系数法，学习正比例函数时就学习了，一次函数再次学习，反比例函数、二次函数又再次使用，但是我们发现，因为缺乏归纳待定系数法的本质，“断裂式”的教授此方法，让学生并没有掌握该解题方法，仅仅是会求解析式而已。

  函数是一个整体，各个具体函数是函数的特例，研究方法应是相同的，通过类比和数形结合的方法，对比性质的差异性，将具体函数逐步纳入到整个函数学习中去，这也符合教材设计的螺旋式上升的理念。

这样自然使二次函数变得难着不难，水到渠成。

关于待定系数法，首先要让学生理解感受到待定系数法的本质：

对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。

待定系数法在确定各种函数解析式中有着重要的作用，不论是正、反比例函数，还是一次函数、二次函数，确定函数解析式时都离不开待定系数法。

因此我们要重视简单的正比例函数、一次函数的待定系数法的应用。

要在简单的函数中讲出待定系数法的本质来，等到了反比例函数和二次函数及综合情况，学生已能形成能力，自如使用此方法，这时就是技巧的点拨。

问题二  “数形结合”的思想，没有很好的结合

当前在初中函数教学中，教师都非常注重借助函数图象去研究函数性质，但却忽视了函数本身是一种代数模型，是对数、式、方程、不等式等合与统一，所以除了要借助函数图象研究函数性质外，不因忽视从“数”的角度引导学生发现与研究函数性质，对于函数性质以及本质的认识，最终要还原到数的层面，所以在函数教学中，以“形”促数固然重要，但也不能忽视学生培养学生从数的角度观察、分析、归纳、证明能力的培养. 

问题三  忽视素质

在平面直角坐标系中描点这些工作在上面都做好了，代数模型的综然后只是口头叙述过程，没有在黑板上引导、学生动手画图这一过程，就要求学生来归纳小结，教师进行总结归纳后面就是例题和练习题的讲解。

（以上的分析讲解不到10分钟，在例题讲解、练习与分析的过程中，学生也积极参与交流、踊跃发言）课后评课时，上课教师直言，没有什么好讲的，有时讲与不讲做题效果差不多，这样做也是为了节省出更多时间来解题．其他的一些听课教师也表示能理解这一观点．二次函数的图像是研究二次函数的重要工具，也是二次函数的教学难点所在，在教学中要注意引导学生把握二次函数图像的特点。

二次函数的图像教学中应用了从特殊到一般的教学规律，这一教学过程是学生“独立思考、自主探索、师生互动”的学习过程．通过这样的学习过程，学生经历的是探索的过程，领悟的是数学学习的方法，得到的是自己探究的成果，体验的是成功的喜悦．因为学生在学习中获得的自信、科学态度和理性精神，比单纯拥有知识更有价值．让学生体验学习的进程，实现“知、能、情、法、行”的有机统一，让课堂更好地为学生的成长服务．这位教师上课为了突出“重点”、节省时间、提高“效率”，直接将结论“告知”给学生，我以为这是一中急功近利的思想，从短期看，可能效果（这里指学生解题）不会差，此做法也许不无道理，但从落实新课程教学理念，从有利于学生的长远发展、提高学生的数学素质来看，结论也许就是相反的了．有的老师担心如果学生真的动起来，教师觉得难以控制，许多想不到的问题会突然冒出来，的确，这会给教师的课堂调整带来很大的挑战，但课堂活跃起来了，就迫使教师更精细地钻研教材、研究学生，设计多套预案，提高解题能力。

事实证明，以往那种纯粹的老师讲、学生听，老师示范、学生模仿的教学模式，不利于促进学生自主发展。

课堂教学要正确处理“知识与技能”与“过程与方法”的关系，能力培养要渗透在知识落实的过程中，“冰冷的、无言的”数学知识只有通过“过程”方能变成“火热的思考。

问题四  填鸭式教学

老师在讲解一道例题：

“已知二次函数y=mx2+（m-1）x+m-1有最小值0，求m的值.”老师想让学生自己练习后提问，提问时学生们七嘴八舌，教师点名，甲说应为，已说等于1，丙说等于1，教师说“对，请坐下”。

接着教师顺利做完本题。

而对于那些错误的答案不予理睬，没有与他们交流、订正，我估计那些答错的同学也不知道自己错在哪里．暴露错误的过程，能提高纠错的针对性，但题目只是例子，是训练学生思维的目标，还应再进一步引导学生反思错误的成因，通过自查自纠、反思交流、自我评价等各种形式，纠正错误，这并不意味着削弱教师的主导作用，而是要求教师从更高的观点去指导学生把评议引向深入，以提高学生的“元认知”能力，引领学生走出固有认知的“迷宫”，体验数学学习给人带来的成功喜悦感．从这一意义上讲，来自学生的错误，确实是一笔宝贵的课程资源，有待于我们做深入的开发和研究．著名科学家爱因斯坦指出：

提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决一个问题也许是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题、新的可能性、从新角度去看旧的问题，都需要有创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。

无论在课堂上还是课外，我们总要认真的倾听学生的表达，鼓励学生发表自己的观点，鼓励学生质疑，允许学生出错，充分肯定学生的独立见解，对学生的思想、观点、表达的正确程度以及表达方式予以观察和指导。

1．注意由浅入深、循序渐进地建立函数与方程的关系

　　对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，教材遵循了由浅入深、循序渐进的原则．分三步来展开这部分的内容．第一步，从学生认为较简单的一元二次方程与相应的二次函数入手，由具体到一般，建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后将其推广到一般方程与相应的函数的情形．第二步，在用二分法求方程近似解的过程中，通过函数图象和性质研究方程的解，体现函数与方程的关系．第三步，在函数模型的应用过程中，通过建立函数模型以及模型的求解，更全面地体现函数与方程的关系逐步建立起函数与方程的联系．

　　2．注意函数与实际问题的联系，体现数学建模的思想

　　我们生活在一个充满变化的多彩世界，其中存在大量问题可以通过体现变量关系的函数模型得到解决，这就为函数的应用的教学提供了大量的实际背景．在本章中，实际问题情境贯穿于教科书的始终，无论是对几种不同增长的函数模型的研究，还是对函数模型的应用举例的学习，都是在解决实际问题的过程中进

行的，全章大多数内容都是围绕实际问题的讨论而展开的，反映了函数与现实之间的关系，能提高学生对函数是解决现实问题的一种重要数学模型的认识．

　　利用函数模型解决实际问题是数学应用的一个重要方面．教材一方面注意让学生认识常见函数模型的特点，另一方面还注意选择贴近学生生活实际的各种问题，引导学生用已学过的函数模型分析和解决它们，使函数的学习与实际问题紧密联系，并在解决问题的过程中将数学模型的思想逐步细化，从更高的层面上认识函数与实际问题的关系．

　　3．注意以函数模型的应用为主线，带动相关知识的展开

　　本章除了函数模型的应用之外，还要介绍函数的零点与方程的根的关系，用二分法求方程的近似解，以及几种不同增长的函数模型．教科书在处理上，以函数模型的应用这一内容为载体。

可见函数的重要性。

一、教材研读与剖析1.教材分析:

本节课内容是在学生学习了一次函数、反比例函数等基础上的学习.本章我们研究的是二次函数,要求学生通过探究实际问题与二次函数的关系,掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法.学生要经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何描述变量之间的数量关系,感悟新旧知识的关系,深刻的体会数学中的类比思想方法.2.教学目标:

第一,理解和掌握二次函数的概念、性质,会做二次函数的图像,掌握二次函数的形式;第二,会建立二次函数模型,并能确定实际问题的自变量的取值范围;第三,会用待定系数法求二次函数的解析式;第四,从实际情景和实例中让学生探索分析,建立两个变量之间的二次函数,使学生能够理解如何将实际问题转化为数学问题,学会用数学符号和数学方法解决最值问题,让学生体会到学习数学的价值,从而提高学生学习数学的兴趣.3.教学重点和难点:

第一,经历探究和表示二次函数的过程,获得二次函数的定义;第二,能够表示简单变量之间的二次函数关系;第三,探究利用二次函数解决实际生活中的最值问题.本节难点在于如何将实际问题转化为二次函数的问......

初中数学《二次函数》的教学案例分析及反思

　　一、教材研读与剖析

　　１．教材分析：

本节课内容是在学生学习了一次函数、反比例函数等基础上的学习.本章我们研究的是二次函数，要求学生通过探究实际问题与二次函数的关系，掌握利用顶点坐标解决最大值（或最小值）问题的方法.学生要经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何描述变量之间的数量关系，感悟新旧知识的关系，深刻的体会数学中的类比思想方法.

　　２．教学目标：

第一，理解和掌握二次函数的概念、性质，会做二次函数的图像，掌握二次函数的形式；第二，会建立二次函数模型，并能确定实际问题的自变量的取值范围；第三，会用待定系数法求二次函数的解析式；第四，从实际情景和实例中让学生探索分析，建立两个变量之间的二次函数，使学生能够理解如何将实际问题转化为数学问题，学会用数学符号和数学方法解决最值问题，让学生体会到学习数学的价值，从而提高学生学习数学的兴趣.

　　３．教学重点和难点：

第一，经历探究和表示二次函数的过程，获得二次函数的定义；第二，能够表示简单变量之间的二次函数关系；第三，探究利用二次函数解决实际生活中的最值问题.本节难点在于如何将实际问题转化为二次函数的问题，其中“合作性学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力.

　　二、教学过程与设计

　　（１）温故而知新，回顾有关函数的知识，激发兴趣.教师在课堂的开始，可以帮助学生回忆有关函数的定义——在某个变化过程中，有两个变量ｘ和ｙ，如果给定一个ｘ值，相应地就确定了一个ｙ值，那么我们称ｙ是ｘ的函数，其中ｘ是自变量，ｙ是因变量——做进一步巩固.对“正比例函数、一次函数、反比例函数”