绝对值.docx
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绝对值
绝对值
绝对值
（1）
【教学目标】
1.掌握绝对值的概念与记法;
2.知道一个数的绝对值与这个数的关系,会求绝对值.
【对话探索设计】
〖复习〗
（1）如果（规定）-3米表示比正常水位低3米,那么,比正常水位高4.2米记为________;-10米表示_________________.
（2）如果规定80m表示向西北走80m,那么,-60m表示什么?
（3）张老师在统计一次数学考试成绩时,以80分为准,98分记为18分,那么,73分应怎么记?
-20分表示多少分?
（4）数轴上有A、B两点,其中哪一点不可能表示-3.5?
〖探索1〗
1.A、B两辆汽车从连江出发,A车向北行驶30千米,B车向北行驶-30千米.
（1）两辆车行驶的路程分别是多少?
路程的大小与方向有关吗?
（2）两辆车的终点一样吗?
为什么?
（3）若两辆车每千米的耗油量都是0.1升,两辆车的耗油量相等吗?
〖探索2〗
数轴上有A、B两点,点A表示+3,点B表示-4,哪一点与原点的距离近（先画图）?
BA
〖探索3〗
检查5包洗衣粉的重量（单位:
克）,把其中超过标准重量的数量记为正数,不足的数量记作负数,结果如下:
-3.5,+1.2,+2.3,-0.9,-1,5.
（1）你认为其中哪一包的重量超过标准重量最多?
哪一包的重量超过标准重量最少?
（2）其中哪一包的重量最接近标准?
（3）在数轴上描出这5个点,体检你的答案是否正确.
〖概念学习〗
什么叫做数a的绝对值?
怎样记数a的绝对值?
思考:
根据定义,怎样求一个数的绝对值?
〖探索4〗
你能用绝对值的定义解释探索1中的路程相等吗?
你能用绝对值的定义解释探索3中洗衣粉的重量接近标准重量的程度吗?
〖练习1〗
在数轴上表示下列各数,并写出它们的绝对值:
5,3,1,0,-1,-3,-5.
〖补充作业〗
1.图纸上注明一个零件的直径是
mm时,φ表示______,单位是______.这样标注表示直径的标准尺寸是_______,实际产品的直径最大可以是_____,最小可以是________.如果生产一个零件的直径为79.94mm,这个零件________（填是否合格）.
2.说明为什么0.37和
是分数,而
却不是.
3.请在下面的数轴上表示下列各数:
2,-2,3.5,-3.5.
4在数-100,70.8,-7,π,-3.8,0,
中,不是分数的是___________________;不是小数的是_____________;不是有理数的是__________.
绝对值
（2）
【教学目标】
1.会求数a的绝对值;
2.进一步理解绝对值;
3.会用绝对值说明实际问题.
【对话探索设计】
〖复习〗
（1）在任意一个数前面添上一个"-"号,表示什么?
怎样记b的相反数?
（2）-（+3）=_____,-（-3）=_____,-0=_____.
（3）-a一定表示负数吗?
为什么?
（4）在数轴上,表示+3的点与原点的距离是多少?
表示-3的点呢?
（5）在数轴上,点A与原点的距离是3.14,点A表示什么数?
〖探索1〗
（1）|5|=____,|6|=_____,|100|=_____;
一个正数的绝对值是________.
（2）|-5|=____,|-6|=_____,|-100|=_____;
一个负数的绝对值是_______.
（3）0的绝对值是_____,记为_______.
〖探索2〗
若字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗?
〖探索3〗
学了绝对值,我们可以回过头再来认识负数的意义.以-5为例,这里的"-"号表示这是一个负数,"5"就表示这个数的绝对值.你能用同样的方法认识-7吗?
〖探索4〗
学了绝对值,我们可以回过头再来认识我们在小学所学过的数,说说你的看法.
〖探索5〗
（1）+3的绝对值是多少?
-3的绝对值又是多少?
（2）一个数的绝对值是3,这个数是多少?
（3）你会解方程|x|=8吗?
（4）你会解方程|x|=-8吗?
〖补充作业〗
1.
（1）如果数轴上的A点表示
点B表示0.79,那么这两点中,哪一点离原点较近?
（2）如果数轴上的A点表示
点B表示1,那么这两点中,哪一点离原点较近?
画图,用绝对值加以说明.如果点B表示-1呢?
2.把向东行驶3千米记为行驶3千米,某日一辆车从点A出发,行驶5千米到点B,再行驶-7千米到点C,然后又行驶-2千米到点D,最后又行驶4千米到点E.请用数轴和绝对值解决以下问题:
（1）求点E与点A的距离;
（2）求这一天路程的总和.
绝对值（3）
【教学目标】
1.会比较两个有理数的大小;
2.进一步理解绝对值.
【对话探索设计】
〖探索1〗
某日,我国北京、西安、上海、广州4个城市的平均气温分别为-11℃、-2℃、3℃和11℃.
（1）请在温度计上表示这4个温度;
（2）求这几个温度的绝对值,并指出它们的实际意义;
（3）用"<"号把这4个数按从小到大的顺序排列.说说你是怎样确定这4个数的大小的.
〖探索2〗
在数轴上表示以下温度:
-9℃、-2℃、0℃、3℃和-7℃,再用"<"号把这5个数按从小到大的顺序排列,你知道两个数的大小与表示这两个数的点在数轴上位置有什么关系吗?
〖归纳〗
1.在数轴上,左边的数比右边的数小;
2.正数大于0,0大于负数,正数大于负数.
〖探索3〗
1.某日,A城的平均气温是-5℃,B城的平均气温是-6℃,当天哪一城的平均气温高?
你是根据什么来判断的?
2.去年,甲上市公司的年利润为-2030万元,乙上市公司的年利润为-203万元,哪一家公司的年利润多?
你是怎么判断的?
〖归纳〗
两个负数,绝对值大的反而小.
〖练习1〗
1.利用数轴比较下列负数的大小:
-7,-5,-4,-3,-1.
2.-π与-3哪一个数大?
为什么?
〖复习〗
比较下列各组正数的大小:
（1）π与
;
（2）
与
.
〖练习2〗
1.比较下列各对负数的大小:
（1）-
与-
;
（2）-
与-
.
2.与1998年比较,1999年我国工业二氧化硫和工业灰尘排放的增幅分别是-0.084和-0.191.
（1）增幅是负数说明什么?
（2）这两个增幅哪个小?
这说明在治理大气污染的哪一方面取得的成效更大?
【备用素材】
1.判断:
（1）如果一个数是正数,它的绝对值是它本身;
（2）如果一个数的绝对值是它本身,这个数是正数.
2.
（1）如果说0的绝对值是它本身,对吗?
如果说是它的相反数呢?
（2）一个数的绝对值等于它的相反数,这个数是负数吗?
3.用铅笔画一条数轴,再用蓝笔画出所有所表示的数的绝对值小于3的点,最后再用红笔画出表示绝对值小于3的所有整数的点.
4.
（1）若a是正数,则|a|等于它本身.对吗?
（2）反过来,若|a|等于它本身,则a是正数.为什么不对?
（3）若|b|=-b,求b的取值范围.
5.没有绝对值等于负数的有理数,对吗?
没有绝对值等于-a的有理数,对吗?
6.某日,我国北京、西安、哈尔滨、上海、广州5个城市的平均气温分别为-7.6℃、-1.2℃、-20.8℃、0.5℃和12.7℃.将各城市的平均气温从高到低进行排列.
7.
（1）绝对值不大于3的整数有____个,它们是_________________,它们的和是______;
（2）绝对值不大于100的所有整数的和是_________.
8.下列说法正确的是（）
（A）绝对值大的数较大.（B）绝对值大的数反而小.
（C）绝对值相等的两个数相等.（D）相等的两数的绝对值相等.
9.一个数的相反数的绝对值是正数,这个数一定是（）
（A）非正数.（B）非负数.（C）非零的数.（D）负数.
10.如果一个数的绝对值大于另一个数的绝对值,那么（）
（A）这个数必大于另一个数.（B）这个数必小于另一个数.
（C）这两个数的符号必相反.（D）以上说法都不正确.
11.有理数a、b、c在数轴上的位置如图,化简|a+b|+|c-a|+|b+c|.
12.A、B两辆汽车同时从连江出发,速度都是60千米/时,3小时后,这两辆车的路程相等吗?
位置相同吗?
13.点A在原点的右边,到原点的距离是5,点A表示什么数?
如果点A在原点的左边呢?
14.从数轴上看-4这个负数,”-“号表明它（表示它的点）在原点的____边,”4”表明__________________________.
绝对值综合
绝对值是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、化简代数式、证明恒等式与不等式，以及求解方程与不等式时，经常会遇到含有绝对值符号的问题，同学们要学会根据绝对值的定义来解决这些问题．
下面我们先复习一下有关绝对值的基本知识，然后进行例题分析．
一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即
绝对值的几何意义可以借助于数轴来认识，它与距离的概念密切相关．在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．
结合相反数的概念可知，除零外，绝对值相等的数有两个，它们恰好互为相反数．反之，相反数的绝对值相等也成立．由此还可得到一个常用的结论：
任何一个实数的绝对值是非负数．
例1a，b为实数，下列各式对吗？
若不对，应附加什么条件？
（1）｜a+b｜=｜a｜+｜b｜；
（2）｜ab｜=｜a｜｜b｜；（3）｜a-b｜=｜b-a｜；
（4）若｜a｜=b，则a=b；
（5）若｜a｜＜｜b｜，则a＜b；
（6）若a＞b，则｜a｜＞｜b｜．
解
（1）不对．当a，b同号或其中一个为0时成立．
（2）对．
（3）对．
（4）不对．当a≥0时成立．
（5）不对．当b＞0时成立．
（6）不对．当a＋b＞0时成立．
例2设有理数a，b，c在数轴上的对应点如图1-1所示，化简｜b-a｜+｜a+c｜+｜c-b｜．
解由图1-1可知，a＞0，b＜0，c＜0，且有｜c｜＞｜a｜＞｜b｜＞0．根据有理数加减运算的符号法则，有b-a＜0，a＋c＜0，c-b＜0．
再根据绝对值的概念，得
｜b-a｜=a-b，｜a+c｜=-（a+c），｜c-b｜=b-c．
于是有
原式=（a-b）-（a+c）+（b-c）=a-b-a-c+b-c=-2c．
例3已知x＜-3，化简：
｜3+｜2-｜1+x｜｜｜．
分析这是一个含有多层绝对值符号的问题，可从里往外一层一层地去绝对值符号．
解原式=｜3+｜2+（1+x）｜｜（因为1+x＜0）
=｜3+｜3+x｜｜
=｜3-（3+x）｜（因为3+x＜0）
=｜-x｜=-x．
解因为abc≠0，所以a≠0，b≠0，c≠0．
（1）当a，b，c均大于零时，原式=3；
（2）当a，b，c均小于零时，原式=-3；
（3）当a，b，c中有两个大于零，一个小于零时，原式=1；
（4）当a，b，c中有两个小于零，一个大于零时，原式=-1．
说明本例的解法是采取把a，b，c中大于零与小于零的个数分情况加以解决的，这种解法叫作分类讨论法，它在解决绝对值问题时很常用．
例5若｜x｜=3，｜y｜=2，且｜x-y｜=y-x，求x+y的值．
解因为｜x-y｜≥0，所以y-x≥0，y≥x．由｜x｜=3，｜y｜=2可知，x＜0，即x=-3．
（1）当y=2时，x+y=-1；
（2）当y=-2时，x+y=-5．
所以x+y的值为-1或-5．
例6若a，b，c为整数，且｜a-b｜19+｜c-a｜99=1，试计算｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜的值．
解a，b，c均为整数，则a-b，c-a也应为整数，且｜a-b｜19，｜c-a｜99为两个非负整数，和为1，所以只能是
｜a-b｜19=0且｜c-a｜99=1，①
或
｜a-b｜19=1且｜c-a｜99=0．②
由①有a=b且c=a±1，于是｜b-c｜=｜c-a｜=1；由②有c=a且a=b±1，于是｜b-c｜=｜a-b｜=1．无论①或②都有
｜b-c｜=1且｜a-b｜+｜c-a｜=1，
所以
｜c-a｜+｜a-b｜+｜b-c｜=2．
解依相反数的意义有
｜x-y+3｜=-｜x+y-1999｜．
因为任何一个实数的绝对值是非负数，所以必有｜x-y+3｜=0且｜x+y-1999｜=0．即
由①有x-y=-3，由②有x+y=1999．②-①得
2y=2002，y=1001，
所以
例8化简：
｜3x+1｜+｜2x-1｜．
分析本题是两个绝对值和的问题．解题的关键是如何同时去掉两个绝对值符号．若分别去掉每个绝对值符号，则是很容易的事．例如，化简｜3x+1｜，只要考虑3x+1的正负，即可去掉绝对值符号．这里我们
为三个部分（如图1－2所示），即
这样我们就可以分类讨论化简了．
原式=-（3x+1）-（2x-1）=5x；
原式=（3x+1）-（2x-1）=x+2；
原式=（3x+1）+（2x-1）=5x．
即
说明解这类题目，可先求出使各个绝对值等于零的变数字母的值，即先求出各个分界点，然后在数轴上标出这些分界点，这样就将数轴分成几个部分，根据变数字母的这些取值范围分类讨论化简，这种方法又称为“零点分段法”．
例9已知y=｜2x+6｜+｜x-1｜-4｜x+1｜，求y的最大值．
分析首先使用“零点分段法”将y化简，然后在各个取值范围内求出y的最大值，再加以比较，从中选出最大者．
解有三个分界点：
-3，1，-1．
（1）当x≤-3时，
y=-（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=x-1，
由于x≤-3，所以y=x-1≤-4，y的最大值是-4．
（2）当-3≤x≤-1时，
y=（2x+6）-（x-1）+4（x+1）=5x+11，
由于-3≤x≤-1，所以-4≤5x+11≤6，y的最大值是6．
（3）当-1≤x≤1时，
y=（2x+6）-（x-1）-4（x+1）=-3x+3，
由于-1≤x≤1，所以0≤-3x+3≤6，y的最大值是6．
（4）当x≥1时，
y=（2x+6）+（x-1）-4（x+1）=-x+1，
由于x≥1，所以1-x≤0，y的最大值是0．
综上可知，当x=-1时，y取得最大值为6．
例10设a＜b＜c＜d，求
｜x-a｜+｜x-b｜+｜x-c｜+｜x-d｜
的最小值．
分析本题也可用“零点分段法”讨论计算，但比较麻烦．若能利用｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜的几何意义来解题，将显得更加简捷便利．
解设a，b，c，d，x在数轴上的对应点分别为a，b，c，d，x，则｜x-a｜表示线段ax之长，同理，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜分别表示线段bx，cx，dx之长．现要求｜x-a｜，｜x-b｜，｜x-c｜，｜x-d｜之和的值最小，就是要在数轴上找一点x，使该点到a，b，c，d四点距离之和最小．
因为a＜b＜c＜d，所以a，b，c，d的排列应如图1－3所示：
所以当x在b，c之间时，距离和最小，这个最小值为ad+bc，即（d-a）+（c-b）．
例11若2x+｜4-5x｜+｜1-3x｜+4的值恒为常数，求x该满足的条件及此常数的值．
分析与解要使原式对任何数x恒为常数，则去掉绝对值符号，化简合并时，必须使含x的项相加为零，即x的系数之和为零．故本题只有2x-5x+3x=0一种情况．因此必须有
｜4-5x｜=4-5x且｜1-3x｜=3x-1．
故x应满足的条件是
此时
原式=2x+（4-5x）-（1-3x）+4
=7．
练习二
1．x是什么实数时，下列等式成立：
（1）｜（x-2）+（x-4）｜=｜x-2｜+｜x-4｜；
（2）｜（7x+6）（3x-5）｜=（7x+6）（3x-5）．
2．化简下列各式：
（2）｜x+5｜+｜x-7｜+｜x+10｜．
3．若a＋b＜0，化简｜a+b-1｜-｜3-a-b｜．
4．已知y=｜x+3｜+｜x-2｜-｜3x-9｜，求y的最大值．
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。
5．设t=｜x-p｜+｜x-15｜+｜x-p-15｜，其中0＜p＜15，对于满足p≤x≤15的x来说，t的最小值是多少？
6．已知a＜b，求｜x-a｜+｜x-b｜的最小值．
7．不相等的有理数a，b，c在数轴上的对应点分别为a，b，c，如果｜a-b｜+｜b-c｜=｜a-c｜，那么b点应为（）．
（1）在a，c点的右边；
（2）在a，c点的左边；
（3）在a，c点之间；
（4）以上三种情况都有可能．
相反数和绝对值知识点归纳总结
相反数和绝对值是数学的重要基础概念之一，有着广泛的应用。
不少学生在学习时觉得不好理解，应用时经常出问题，下面就和同学们一起学习相反数和绝对值.
【相反数和绝对值知识点归纳总结】
1、相反数的概念关键要理解“只有符号不同”的含义，规定零的相反数是零；
2、互为相反数指的是一对数，甲、乙两数互为相反数包括甲是乙的相反数，乙也是甲的相反数；
3、相反数的几何意义：
表示互为相反数的两个点（除0外）分别在原点O的两边，并且到原点的距离相等。
4、多重符号化简的依据就是相反数的意义，化简的结果是由“－”号的个数来决定的，简称：
奇负偶正。
5、什么是一个数的绝对值呢？
从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点离开原点的距离。
注意，这里的距离，是以单位长度为度量单位的，是一个非负的量。
6、一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
7、两个负数，绝对值大的反而小。
【用相反数和绝对值解题】
一、用相反数和绝对值的概念
例1.（重庆市2005年中考题）5的相反数是（ ）
A.－5 B.5 C.
D.
解析:
根据相反数的概念：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，易知本题选A
例2.（绵阳市2005年）绝对值为4的实数是
A.±4 B.4 C.－4 D.2
解析:
求绝对值等于4的数用绝对值几何定义比较直观，绝对值等于4的整数即在数轴上到原点距离等于4的整数点表示的数，故本题选A
二、用相反数和绝对值的性质特征
例3.（佛山市2005年中考题）－2的绝对值是（ ）。
A．2 B．－2 C．±2 D．
解析:
由绝对值的特征：
一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.所以－2的绝对值是2
例4.（济南市2005年中考题）若a与2互为相反数，则|a+2|等于（ ）
A.0 B.－2 C.2 D.4
解析:
由相反数的特征若a、b两数互为相反数，则a＋b＝0，反之也成立.可知a+2=0，再由绝对值的特征可得本题选A
三．用相反数和绝对值解决实际问题
例5.质检员抽查某种零件的长度，超过规定长度的记为正数，不足规定长度的记为负数.检查结果如下：
第一个为0.13毫米，第二个为－0.2毫米，第三个为－0.1毫米，第四个为0.15毫米，则长度最小的零件是第几个？
哪一个零件与规定长度的误差最小？
解析:
∵|－0.2|＞|0.15|＞|0.13|＞|－0.1|
∴长度最小的零件是第二个，与规定长度的误差最小的是第三个.
四．用相反数和绝对值中的数学思想
相反数和绝对值的应用十分广泛。
因此我们在学习时，不仅应该深入理解概念，掌握特征，灵活运用，还应注意在应用过程中学会思想方法。
1．整体代换
例6.若|a－2|＝2－a，求a的取值范围。
解析:
根据已知条件等式的结构特征，我们把a－2看作一个整体，那么原式变形为|a－2|＝－（a－2），又由绝对值概念知a－2≤0，故a的取值范围是a≤2。
2．数形结合
例7.（全国初中数学竞赛试题）设x是实数，y＝|x－1|+|x+1|。
下列四个结论：
Ⅰy没有最小值； Ⅱ只有一个x使y取到最小值；
Ⅲ有有限多个x（不只一个）使y取到最小值；
Ⅳ有无穷多个x使y取到最小值。
其中正确的是[ ]。
A．Ⅰ B．Ⅱ C．Ⅲ D．Ⅳ
解析:
我们知道，|x|的几何意义是表示数轴上点x到原点的距离。
类似地可知，|x－a|的几何意义是表示数轴上点x到点a的距离。
一些有关绝对值的竞赛题，利用上述绝对值的几何意义，借助数形结合，常常会得到妙解。
原问题可转化为求x取那些值时，数轴上点x到点1与点－1的距离之和为最小。
从数轴上可知，区间[－1，1]上的任一点x到点1与点－1的距离之和均为2；区间[－1，1]之外的点x到点1与点－1的距离之和均大于2。
所以函数y＝|x－1|+|x+1|当－1≤x≤1时，取得最小值2。
故选（D）。
3．分类
例8.（2003年哈尔滨市中考题）已知|x|＝3，|y|＝2，且xy＜0，则x＋y的值等于（ ）
A．5或－5 B．1或－1 C．5或1 D．－5或－1
解析:
|x|＝3，|y|＝2，所以x＝±3，y＝±2，又因为xy＜0，x、y异号。
所以有两种情况：
（1）当x＝3，y＝－2时，x＋y＝1。
（2）当x＝－3，y＝2时x＋y＝－1。
故选B。
练习：
1．（玉林市2005年中考题）若－m=4，则m=__________。
2.正式排球比赛，对所使用的排球的重量是有严格规定的。
检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下表：
+15
－10
+30
－20
－40
指出哪个排球的质量好一些（即重量最接近规定重量）？
你怎样用学过的绝对值知识来说明这个问题？
3.如图是一个正方体纸盒的侧面展开图，请在其余三个正方形内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两个数互为相反数.则①②③表示的数分别为（ ）
A．－1，－0.5，3 B．－0.5，－1，3
C．－0.5，3，－1 D．3，－0.5，－1
4．（2004年重庆市初中数学竞赛）已知：
a、b、c都不等于0，且
的最大值为m，最小值为n，则（m+n）2004＝_________.
5.（第二届“创新杯”数学邀请赛）若实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，则|c|－|b－a|+|b+c|等于（ ）.
（A）－a （B）－a+2b （C）－a－2c （D）a－2b
6．（江苏省第十七届初中数学
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