高考数学专题复习集合与简易逻辑教案文.docx
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高考数学专题复习集合与简易逻辑教案文
2021年高考数学专题复习集合与简易逻辑教案文
1.高考试题通过选择题和填空题,以及大题的解集,全面考查集合与简易逻辑的知识,题型新,分值稳定.一般占5---10分.
2.简易逻辑一部分的内容在近两年的高考试题有所出现,应引起注意.
【考点透视】
1.理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.
2.了解空集和全集的意义.
3.了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合.
4.解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素;对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.
5.注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.
【例题解析】
题型1.正确理解和运用集合概念
理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.
例1.已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},则M∩N=()
A.(0,1),(1,2)B.{(0,1),(1,2)}C.{y|y=1,或y=2}D.{y|y≥1}
思路启迪:
集合M、N是用描述法表示的,元素是实数y而不是实数对(x,y),因此M、N分别表示函数y=x2+1(x∈R),y=x+1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集.
解:
M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}.
∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D.
点评:
①本题求M∩N,经常发生解方程组
从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么.事实上M、N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集.②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x2+1}、{y|y=x2+1,x∈R}、{(x,y)|y=x2+1,x∈R},这三个集合是不同的.
例2.若P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2+1,x∈R},则P∩Q等于()
A.P B.QC. D.不知道
思路启迪:
类似上题知P集合是y=x2(x∈R)的值域集合,同样Q集合是y=x2+1(x∈R)的值域集合,这样P∩Q意义就明确了.
解:
事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y=x2+1的值域,由P={y|y≥0},Q={y|y≥1},知QP,即P∩Q=Q.∴应选B.
例3.若P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有()
A.P∩Q= B.PQC.P=QD.PQ
思路启迪:
有的同学一接触此题马上得到结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P集合是函数值域集合,Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物.
解:
正确解法应为:
P表示函数y=x2的值域,Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集,因此P∩Q=.∴应选A.
例4(xx年安徽卷文)若
,则=()
A.{3}B.{1}C.D.{-1}
思路启迪:
解:
应选D.
点评:
解此类题应先确定已知集合.
题型2.集合元素的互异性
集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识.
例5.若A={2,4,3-22-+7},B={1,+1,2-2+2,-(2-3-8),3+2+3+7},且A∩B={2,5},则实数的值是________.
解答启迪:
∵A∩B={2,5},∴3-22-+7=5,由此求得=2或=±1.A={2,4,5},集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查.
当=1时,2-2+2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去=1.
当=-1时,B={1,0,5,2,4},与A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去=-1.
当=2时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时A∩B={2,5},满足题设.
故=2为所求.
例6.已知集合A={,+b,+2b},B={,c,c2}.若A=B,则c的值是______.
思路启迪:
要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式.
解:
分两种情况进行讨论.
(1)若+b=c且+2b=c2,消去b得:
+c2-2c=0,
=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故≠0.
∴c2-2c+1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解.
(2)若+b=c2且+2b=c,消去b得:
2c2-c-=0,
∵≠0,∴2c2-c-1=0,即(c-1)(2c+1)=0,又c≠1,故c=-.
点评:
解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解,这需要解题后进行检验和修正.
例7.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-x+-1=0},且A∪B=A,则的值为______.
思路启迪:
由A∪B=A而推出B有四种可能,进而求出的值.
解:
∵A∪B=A,
∵A={1,2},∴B=或B={1}或B={2}或B={1,2}.
若B=,则令△<0得∈;
若B={1},则令△=0得=2,此时1是方程的根;
若B={2},则令△=0得=2,此时2不是方程的根,∴∈;
若B={1,2}则令△>0得∈R且≠2,把x=1代入方程得∈R,把x=2代入方程得=3.
综上的值为2或3.
点评:
本题不能直接写出B={1,-1},因为-1可能等于1,与集合元素的互异性矛盾,另外还要考虑到集合B有可能是空集,还有可能是单元素集的情况.
题型3.要注意掌握好证明、判断两集合关系的方法
集合与集合之间的关系问题,是我们解答数学问题过程中经常遇到,并且必须解决的问题,因此应予以重视.反映集合与集合关系的一系列概念,都是用元素与集合的关系来定义的.因此,在证明(判断)两集合的关系时,应回到元素与集合的关系中去.
例8.设集合A={|=3n+2,n∈Z},集合B={b|b=3k-1,k∈Z},则集合A、B的关系是________.
解:
任设∈A,则=3n+2=3(n+1)-1(n∈Z),
∴n∈Z,∴n+1∈Z.∴∈B,故. ①
又任设b∈B,则b=3k-1=3(k-1)+2(k∈Z),
∵k∈Z,∴k-1∈Z.∴b∈A,故 ②
由①、②知A=B.
点评:
这里说明∈B或b∈A的过程中,关键是先要变(或凑)出形式,然后再推理.
例9(xx年江苏卷)若A、B、C为三个集合,,则一定有()
A. B. C. D.
[考查目的]本题主要考查集合间关系的运算.
解:
由知,
,故选A.
(xx年福建卷文)已知全集,且,,则等于( C )
A.{2}B.{5}C.{3,4}D.{2,3,4,5}
例10.(xx年辽宁卷)设集合,则满足的集合B的个数是()
A.1B.3C.4D.8
[考查目的]本题考查了并集运算以及集合的子集个数问题,同时考查了等价转化思想.
解:
,,则集合B中必含有元素3,即此题可转化为求集合的子集个数问题,所以满足题目条件的集合B共有个.故选C.
例11.(xx年北京卷文)
记关于的不等式的解集为,不等式的解集为.
(
)若,求;
(
)若,求正数的取值范围.
思路启迪:
先解不等式求得集合和.
解:
(
)由,得.
(
)
.
由,得,又,所以,
即的取值范围是.
题型4.要注意空集的特殊性和特殊作用
空集是一个特殊的重要集合,它不含任何元素,是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.显然,空集与任何集合的交集为空集,与任何集合的并集仍等于这个集合.当题设中隐含有空集参与的集合关系时,其特殊性很容易被忽视的,从而引发解题失误.
例12.已知A={x|x2-3x+2=0},B={x|x-2=0}且A∪B=A,则实数组成的集合C是________.
解:
由x2-3x+2=0得x=1或2.当x=1时,=2,当x=2时,=1.
这个结果是不完整的,上述解答只注意了B为非空集合,实际上,B=时,仍满足A∪B=A,当=0时,B=,符合题设,应补上,故正确答案为C={0,1,2}.
例13.(xx年北京卷理)已知集合,.若,则实数的取值范围是.
思路启迪:
先确定已知集合A和B.
解:
故实数的取值范围是.
例14.已知集合A={x|x2+(m+2)x+1=0,x∈R},若A∩=,则实数m的取值范围是_________.
思路启迪:
从方程观点看,集合A是关于x的实系数一元二次方程x2+(m+2)x+1=0的解集,而x=0不是方程的解,所以由A∩=可知该方程只有两个负根或无实数根,从而分别由判别式转化为关于m的不等式,并解出m的范围.
解:
由A∩=又方程x2+(m+2)x+1=0无零根,所以该方程只有两个负根或无实数根,
或△=(m+2)2-4<0.解得m≥0或-4-4.
点评:
此题容易发生的错误是由A∩=只片面地推出方程只有两个负根(因为两根之积为1,因为方程无零根),而把A=漏掉,因此要全面准确理解和识别集合语言.
例15.已知集合A={x|x2-3x-10≤0},集合B={x|p+1≤x≤2p-1}.若BA,则实数p的取值范围是________.
解:
由x2-3x-10≤0得-2≤x≤5.
欲使BA,只须∴p的取值范围是-3≤p≤3.
上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论,即B=时,符合题设.
应有:
①当B≠时,即p+1≤2p-1p≥2.
由BA得:
-2≤p+1且2p-1≤5.由-3≤p≤3.∴2≤p≤3.
②当B=时,即p+1>2p-1p<2.
由①、②得:
p≤3.
点评:
从以上解答应看到:
解决有关A∩B=、A∪B=,AB等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解,这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.
题型5.要注意利用数形结合解集合问题
集合问题大都比较抽象,解题时要尽可能借助文氏图、数轴或直角坐标系等工具将抽象问题直观化、形象化、明朗化,然后利用数形结合的思想方法使问题灵活直观地获解.
例16.设全集U={x|0思路启迪:
本题用推理的方法求解不如先画出文氏图,用填图的方法来得简捷,由图不难看出.
解:
A={1,3,5,7},B={2,3,4,6,8}.
例17.集合A={x|x2+5x-6≤0},B={x|x2+3x>0},求A∪B和A∩B.
解:
∵A={x|x2-5x-6≤0}={x|-6≤x≤1},
B={x|x2+3x>0}={x|x<-3,或x>0}.如图所示,
∴A∪B={x|-6≤x≤1}∪{x|x<-3,或x>0}=R.
A∩B={x|-6≤x≤1}∩{x|x<-3,或x>0}={x|-6≤x<-3,或0点评:
本题采用数轴表示法,根据数轴表示的范围,可直观、准确的写出问题的结果.
例18.设A={x|-21},B={x|x2+x+b≤0},已知A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1思路启迪:
可在数轴上画出图形,利用图形分析解答.
解:
如图所示,设想集合B所表示的范围在数轴上移动,
显然当且仅当B覆盖住集合{x|-1-2},且A∩B={x|1根据二次不等式与二次方程的关系,可知-1与3是方程x2+x+b=0的两根,
∴=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3.
点评:
类似本题多个集合问题,借助于数轴上的区间图形表示进行处理,采用数形结合的方法,会得到直观、明了的解题效果.
【专题训练与高考预测】
一.选择题:
1.设M={x|x2+x+2=0},=lg(lg10),则{}与M的关系是()
A、{}=MB、M{}C、{}MD、M{}
2.已知全集=R,A={x|x-|<2},B={x|x-1|≥3},且A∩B=,则的取值范围是()
A、[0,2]B、(-2,2)C、(0,2]D、(0,2)
3.已知集合M={x|x=2-3+2,∈R},N={x|x=b2-b,b∈R},则M,N的关系是()
A、MNB、MNC、M=ND、不确定
4.设集合A={x|x∈Z且-10≤x≤-1},B={x|x∈Z,且|x|≤5},则A∪B中的元素个数是()
A、11B、10C、16D、15
5.集合M={1,2,3,4,5}的子集是()
A、15B、16C、31D、32
6集合M={x|x=,k∈Z},N={x|x=,k∈Z},则()
AM=NBMN CMNDM∩N=
7.已知集合A={x|x2-4mx+2m+6=0,x∈R},若A∩R-≠,求实数m的取值范围.
8.命题甲:
方程x2+mx+1=0有两个相异负根;命题乙:
方程4x2+4(m-2)x+1=0无实根,这两个命题有且只有一个成立,求m的取值范围.
9已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1A-3≤m≤4B-310.集合M=,且.则实数a的取值范围是()
A.a-1B.a1C.a-1D.a1
11.满足{,b}M={,b,c,d}的所有集合M的个数是()
A.7B.6C.5D.4
12.若命题P:
xAB,则P是()
A.xABB.xA或xBC.xA且xBD.xAB
13.已知集合M={,}.P={-,2-1};若card(MP)=3,则MP=()
A.{-1}B.{1}C.{0}D.{3}
14.设集合P={3,4,5}.Q={4,5,6,7}.令P*Q=,则P*Q中元素的个数是()
A.3B.7C.10D.12
二.填空题:
15.已知M={},N={x|,则M∩N=__________.
16.非空集合p满足下列两个条件:
(1)p{1,2,3,4,5},
(2)若元素∈p,则6-∈p,则集合p个数是__________.
17.设A={1,2},B={x|xA}若用列举法表示,则集合B是.
18.含有三个实数的集合可表示为,则.
三.解答题:
19.设集合A={(x,y)|y=x+1},B={(x,y)|y=|x|},若A∩B是单元素集合,求取值范围.
20.设A={x|x2+px+q=0}≠,M={1,3,5,7,9},N={1,4,7,10},若A∩M=,A∩N=A,求p、q的值.
21.已知集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=x+1,x∈R},求M∩N.
22.已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-mx+2=0},且A∩B=B,求实数m范围.
23.已知全集=R,且
,求.
24.已知集合
且,,求,b的值.
【参考答案】
1.C2.A3.C4.C5.D
6.C解析对M将k分成两类k=2n或k=2n+1(n∈Z),M={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z},
对N将k分成四类,k=4n或k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),
N={x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}∪{x|x=nπ+π,n∈Z}∪{x|x=nπ+,n∈Z}
7.解:
设全集={m|△=(-4m)2-4(2m+6)≥0}={m|m≤-1或m≥}.
若方程x2-4mx+2m+6=0的二根为x1、x2均非负,
因此,{m|m≥}关于补集{m|m≤-1}即为所求.
8.解:
使命题甲成立的条件是:
∴集合A={m|m>2}.
使命题乙成立的条件是:
△2=16(m-2)2-16<0,∴1<m<3.
∴集合B={m|1若命题甲、乙有且只有一个成立,则有:
(1)m∈A∩CRB,
(2)m∈CRA∩B.
若为
(1),则有:
A∩CRB={m|m>2}∩{m|m≤1或m≥3}={m|m≥3};
若为
(2),则有:
B∩CRA={m|1综合
(1)、
(2)可知所求m的取值范围是{m|19.D解析∵A∪B=A,∴BA,又B≠,
∴,即2<m≤4
10.C11.D12.B13.D14.B
二.填空题:
15.;16.7;17.;18.-1.
三.解答题:
19.≥1或≤-1,提示:
画图.
20.或或
21.解:
在集合运算之前,首先要识别集合,即认清集合中元素的特征.M、N均为数集,不能误认为是点集,从而解方程组。
其次要化简集合,或者说使集合的特征明朗化.M={y|y=x2+1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x+1,x∈R}={y|y∈R}.∴M∩N=M={y|y≥1}.
22.解:
化简条件得A={1,2},A∩B=BBA.
根据集合中元素个数集合B分类讨论,B=,B={1}或{2},B={1,2}.
当B=时,△=m2-8<0.∴.
当B={1}或{2}时,,m无解.
当B={1,2}时,∴m=3.
综上所述,m=3或.
24.解:
∵.∴中元素必是B的元素.
又∵,∴中的元素属于B,
故
.
而.∴-1,4是方程的两根,∴a=-3,b=-4.