完整word版五年级奥数流水行船问题讲解及练习答案解析.docx
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完整word版五年级奥数流水行船问题讲解及练习答案解析
流水行船问题讲座
流水问题是研究船在流水中的行程问题,因此,又叫行船问题。
在小学数学中涉及到的题目,一般是匀速运动的问题。
这类问题的主要特点是,水速在船逆行和顺行中的作用不同。
流水问题有如下两个基本公式:
顺水速度=船的静水速+水速
(1)
逆水速度=船的静水速-水速
(2)
水速=顺水速度-船速(3)
静水船速=顺水速度-水速(4)
水速=静水速-逆水速度(5)
静水速=逆水速度+水速(6)
静水速=(顺水速度+逆水速度)÷2(7)水速=(顺水速度-逆水速度)÷2(8)
例1:
一艘每小时行25千米的客轮,在大运河中顺水航行140千米,水速是每小时3千米,需要行几个小时?
解析:
顺水速度为25+3=28(千米/时),需要航行140÷28=5(小时).
例2:
两个码头相距352千米,一船顺流而下,行完全程需要11小时.逆流而上,行完全程需要16小时,求这条河水流速度。
解析:
(352÷11-352÷16)÷2=5(千米/小时).
例3:
甲、乙两港间的水路长208千米,一只船从甲港开往乙港,顺水8小时到达,从乙港返回甲港,逆水13小时到达,求船在静水中的速度和水流速度。
解析:
顺水速度:
208÷8=26(千米/小时),
逆水速度:
208÷13=16(千米/小时),
船速:
(26+16)÷2=21(千米/小时),
水速:
(26—16)÷2=5(千米/小时)
例4:
一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒,在同样的风速下逆风跑70米,也用了10秒,则在无风时他跑100米要用多少秒.
解析:
本题类似于流水行船问题.
根据题意可知,这个短跑选手的顺风速度为90÷10=9米/秒,逆风速度为70÷10=7米/秒,那么他在无风时的速度为(9+7)÷2=8米/秒.
在无风时跑100米,需要的时间为100÷8=12.5秒.
例5:
一只小船在静水中的速度为每小时25千米.它在长144千米的河中逆水而行用了8小时.求返回原处需用几个小时?
解析:
船在144千米的河中行驶了8小时,则船的航行速度为144÷8=18(千米/时)
因为船的静水速度是每小时25千米,所以水流的速度为:
25-18=7(千米/时)
返回时是顺水,船的顺水速度是25+7=32(千米/时)
所以返回原处需要:
144÷32=4.5(小时)
例6:
(难度等级※)一艘轮船在两个港口间航行,水速为每小时6千米,顺水下行需要4小时,返回上行需要7小时.求:
这两个港口之间的距离?
解析:
(船速+6)×4=(船速-6)×7,
可得船速=22,两港之间的距离为:
6×7+6×4=66,
66÷(7-4)=22(千米/时)
(22+6)×4=112千米.
例7:
甲、乙两船在静水中速度相同,它们同时自河的两个码头相对开出,4小时后相遇.已知水流速度是6千米/时.求:
相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米?
解析:
在两船的船速相同的情况下,一船顺水,一船逆水,它们的航程差是什么造成的呢?
不妨设甲船顺水,乙船逆水.甲船的顺水速度=船速+水速,乙船的逆水速度=船速-水速,故:
速度差=(船速+水速)-(船速-水速)=2×水速,即:
每小时甲船比乙船多走6×2=12(千米).
4小时的距离差为12×4=48(千米)
顺水速度-逆水速度
速度差=(船速+水速)-(船速-水速)
=船速+水速-船速+水速
=2×6=12(千米)
12×4=48(千米)
例8:
(难度等级※※)乙船顺水航行2小时,行了120千米,返回原地用了4小时.甲船顺水航行同一段水路,用了3小时.甲船返回原地比去时多用了几小时?
解:
乙船顺水速:
120÷2=60(千米/小时).
乙船逆水速:
120÷4=30(千米/小时)。
水流速:
(60-30)÷2=15(千米/小时).
甲船顺水速:
12O÷3=4O(千米/小时)。
甲船逆水速:
40-2×15=10(千米/小时).
甲船逆水航行时间:
120÷10=12(小时)。
甲船返回原地比去时多用时间:
12-3=9(小时).
例9:
(难度等级※※)船往返于相距180千米的两港之间,顺水而下需用10小时,逆水而上需用15小时。
由于暴雨后水速增加,该船顺水而行只需9小时,那么逆水而行需要几小时?
解析:
本题中船在顺水、逆水、静水中的速度以及水流的速度都可以求出.但是由于暴雨的影响,水速发生变化,要求船逆水而行要几小时,必须要先求出水速增加后的逆水速度.
船在静水中的速度是:
(180÷10+180÷15)÷2=15(千米/小时).
暴雨前水流的速度是:
(180÷10-180÷15)÷2=3(千米/小时).
暴雨后水流的速度是:
180÷9-15=5(千米/小时).
暴雨后船逆水而上需用的时间为:
180÷(15-5)=18(小时).
例10:
两港相距560千米,甲船往返两港需105小时,逆流航行比顺流航行多用了35小时.乙船的静水速度是甲船的静水速度的2倍,那么乙船往返两港需要多少小时?
解析:
先求出甲船往返航行的时间分别是:
逆流时间(105+35)÷2=70(小时),
顺流时间:
(105-35)÷2=35(小时).
再求出甲船逆水速度每小时560÷70=8(千米),
顺水速度每小时560÷35=16(千米),
因此甲船在静水中的速度是每小时(16+8)÷2=12(千米),
水流的速度是每小时(16-8)÷2=4(千米),
乙船在静水中的速度是每小时12×2=24(千米),
所以乙船往返一次所需要的时间是560÷(24+4)+560÷(24-4)=48(小时).
例1一只渔船顺水行25千米,用了5小时,水流的速度是每小时1千米。
此船在静水中的速度是多少?
解:
此船的顺水速度是:
25÷5=5(千米/小时)
因为“顺水速度=船速+水速”,所以,此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。
5-1=4(千米/小时)
综合算式:
25÷5-1=4(千米/小时)
答:
此船在静水中每小时行4千米。
*例2一只渔船在静水中每小时航行4千米,逆水4小时航行12千米。
水流的速度是每小时多少千米?
解:
此船在逆水中的速度是:
12÷4=3(千米/小时)
因为逆水速度=船速-水速,所以水速=船速-逆水速度,即:
4-3=1(千米/小时)
答:
水流速度是每小时1千米。
*例3一只船,顺水每小时行20千米,逆水每小时行12千米。
这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少?
解:
因为船在静水中的速度=(顺水速度+逆水速度)÷2,所以,这只船在静水中的速度是:
(20+12)÷2=16(千米/小时)
因为水流的速度=(顺水速度-逆水速度)÷2,所以水流的速度是:
(20-12)÷2=4(千米/小时)
答略。
*例4某船在静水中每小时行18千米,水流速度是每小时2千米。
此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。
求甲、乙两地的路程是多少千米?
此船从乙地回到甲地需要多少小时?
解:
此船逆水航行的速度是:
18-2=16(千米/小时)
甲乙两地的路程是:
16×15=240(千米)
此船顺水航行的速度是:
18+2=20(千米/小时)
此船从乙地回到甲地需要的时间是:
240÷20=12(小时)
答略。
*例5某船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲港开往乙港共用8小时。
已知水速为每小时3千米。
此船从乙港返回甲港需要多少小时?
解:
此船顺水的速度是:
15+3=18(千米/小时)
甲乙两港之间的路程是:
18×8=144(千米)
此船逆水航行的速度是:
15-3=12(千米/小时)
此船从乙港返回甲港需要的时间是:
144÷12=12(小时)
综合算式:
(15+3)×8÷(15-3)
=144÷12
=12(小时)
答略。
*例6甲、乙两个码头相距144千米,一艘汽艇在静水中每小时行20千米,水流速度是每小时4千米。
求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时,由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时?
解:
顺水而行的时间是:
144÷(20+4)=6(小时)
逆水而行的时间是:
144÷(20-4)=9(小时)
答略。
*例7一条大河,河中间(主航道)的水流速度是每小时8千米,沿岸边的水流速度是每小时6千米。
一只船在河中间顺流而下,6.5小时行驶260千米。
求这只船沿岸边返回原地需要多少小时?
解:
此船顺流而下的速度是:
260÷6.5=40(千米/小时)
此船在静水中的速度是:
40-8=32(千米/小时)
此船沿岸边逆水而行的速度是:
32-6=26(千米/小时)
此船沿岸边返回原地需要的时间是:
260÷26=10(小时)
综合算式:
260÷(260÷6.5-8-6)
=260÷(40-8-6)
=260÷26
=10(小时)
答略。
*例8一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行,逆水行120千米用24小时。
顺水行150千米需要多少小时?
解:
此船逆水航行的速度是:
120000÷24=5000(米/小时)
此船在静水中航行的速度是:
5000+2500=7500(米/小时)
此船顺水航行的速度是:
7500+2500=10000(米/小时)
顺水航行150千米需要的时间是:
150000÷10000=15(小时)
综合算式:
150000÷(120000÷24+2500×2)
=150000÷(5000+5000)
=150000÷10000
=15(小时)
答略。
*例9一只轮船在208千米长的水路中航行。
顺水用8小时,逆水用13小时。
求船在静水中的速度及水流的速度。
解:
此船顺水航行的速度是:
208÷8=26(千米/小时)
此船逆水航行的速度是:
208÷13=16(千米/小时)
由公式船速=(顺水速度+逆水速度)÷2,可求出此船在静水中的速度是:
(26+16)÷2=21(千米/小时)
由公式水速=(顺水速度-逆水速度)÷2,可求出水流的速度是:
(26-16)÷2=5(千米/小时)
答略。
*例10A、B两个码头相距180千米。
甲船逆水行全程用18小时,乙船逆水行全程用15小时。
甲船顺水行全程用10小时。
乙船顺水行全程用几小时?
解:
甲船逆水航行的速度是:
180÷18=10(千米/小时)
甲船顺水航行的速度是:
180÷10=18(千米/小时)
根据水速=(顺水速度-逆水速度)÷2,求出水流速度:
(18-10)÷2=4(千米/小时)
乙船逆水航行的速度是:
180÷15=12(千米/小时)
乙船顺水航行的速度是:
12+4×2=20(千米/小时)
乙船顺水行全程要用的时间是:
180÷20=9(小时)
综合算式:
180÷[180÷15+(180÷10-180÷18)÷2×3]
=180÷[12+(18-10)÷2×2]
=180÷[12+8]
=180÷20
=9(小时)
巩固练习:
11、光明号渔船顺水而下行200千米要10小时,逆水而上行120千米也要10小时.那么,在静水中航行320千米需要多少小时?
解析:
顺水速度:
200÷10=20(千米/时),
逆水速度:
120÷10=12(千米/时),
静水速度:
(20+12)÷2=16(千米/时),
该船在静水中航行320千米需320÷16=20(小时).
12,甲、乙两船在静水中速度相同,它们同时自河的两个码头相对开出,3小时后相遇.已知水流速度是4千米/时.求:
相遇时甲、乙两船航行的距离相差多少千米?
解析:
在两船的船速相同的情况下,一船顺水,一船逆水,它们的航程差是什么造成的呢?
不妨设甲船顺水,乙船逆水.甲船的顺水速度=船速+水速,乙船的逆水速度=船速-水速,故:
速度差(船速-水速)-(船速-水速)=2×水速,即:
每小时甲船比乙船多走4×2=8(千米).3小时的距离差为8×3=24(千米).
13、一只船在河里航行,顺流而下每小时行18千米.已知这只船下行2小时恰好与上行3小时所行的路程相等.求船速和水速.
解析:
这只船的逆水速度为:
18×2÷3=12(千米/时);
船速为:
(18+12)÷2=15(千米/时);
水流速度为:
18-15=3(千米/时)
14、甲乙两港相距360千米,一艘轮船往返两港需35小时,逆水航行比顺水航行多花了5小时,现在有一艘机帆船,静水中速度是每小时12千米,这艘机帆船往返两港需要多少小时?
解析:
轮船逆水航行的时间为
(小时),
顺水航行的时间为
(小时),
轮船逆流速度为
(千米/时),
顺流速度为
(千米/时),
水速为
(千米/时),
所以机帆船往返两港需要的时间为
(小时)
5,轮船用同一速度往返于两码头之间,它顺流而下行了8个小时,逆流而上行了10小时,如果水流速度是每小时3千米,两码头之间的距离是多少千米?
解析:
方法一:
由题意可知,
(船速+3)×8=(船速-3)×10,
可得船速(8×3+3×10)÷2=27千米/时,两码头之间的距离为(27+3)×8=240(千米).
方法二:
由于轮船顺水航行和逆水航行的路程相同,它们用的时间比为
,那么时间小的速度大,因此顺水速度和逆水速度比就是
(由于五年级学生还没学习反比例,此处教师可以渗透比例思想,为以后学习用比例解行程问题做些铺垫),设顺水速度为
份,逆水速度为
份,则水流速度为
份恰好是
千米/时,所以顺水速度是
(千米/时),所以两码头间的距离为
(千米).
16,一艘轮船在两个港口间航行,水速为每小时6千米,顺水下行需要4小时,返回上行需要7小时.求这两个港口之间的距离.
解析:
6×4+6×7=66千米
静水速度:
66÷(7-4)=22千米/时
(22+6)×4=112(千米)
17、轮船用同一速度往返于两码头之间,在相同时间内如果它顺流而下能行10千米,如果逆流而上能行8千米,如果水流速度是每小时3千米,求顺水、逆水速度
解析:
由题意知顺水速度与逆水速度比为10:
8,设顺水速度为10份,逆水速度为8份,则水流速度为
(10-8)÷2=1份恰好是3千米/时,
所以顺水速度是10×3=30(千米/时),
逆水速度为8×3=24(千米/时)
8,甲、乙两船分别从A港顺水而下至
千米外的B港,静水中甲船每小时行
千米,乙船每小时行
千米,水速为每小时
千米,乙船出发后
小时,甲船才出发,到
港后返回与乙迎面相遇,此处距
港多少千米?
解析:
甲船顺水行驶全程需要:
(小时),乙船顺水行驶全程需要:
(小时).甲船到达
港时,乙船行驶
(小时),还有
小时的路程(48千米)
,即乙船与甲船的相遇路程.甲船逆水与乙船顺水速度相等,故相遇时在相遇路程的中点处
,即距离
港24千米处,此处距离
港
(千米).
注意:
关键是求甲船到达B港后乙离B港还有多少距离
解决
后,要观察两船速度关系,马上豁然开朗。
这正是此题巧妙之处,如果不找两船速度关系也能解决问题,但只是繁琐而已,奥数特点就是体现四两拨千斤中的巧劲
1,某船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲地开往下游乙地共花去了8小时,水速每小时3千米,问从乙地返回甲地需要多少时间?
分析要想求从乙地返回甲地需要多少时间,只要分别求出甲、乙两地之间的路程和逆水速度。
解:
从甲地到乙地,顺水速度:
15+3=18(千米/小时),
甲乙两地路程:
18×8=144(千米),
从乙地到甲地的逆水速度:
15—3=12(千米/小时),
返回时逆行用的时间:
144÷12=12(小时)。
答:
从乙地返回甲地需要12小时。
2,小刚和小强租一条小船,向上游划去,不慎把水壶掉进江中,当他们发现并调过船头时,水壶与船已经相距2千米,假定小船的速度是每小时4千米,水流速度是每小时2千米,那么他们追上水壶需要多少时间?
分析此题是水中追及问题,已知路程差是2千米,船在顺水中的速度是船速+水速.水壶飘流的速度只等于水速,所以速度差=船顺水速度-水壶飘流的速度=(船速+水速)-水速=船速.
解:
路程差÷船速=追及时间
2÷4=0.5(小时)。
答:
他们二人追回水壶需用0.5小时。
3,甲、乙两船在静水中速度分别为每小时24千米和每小时32千米,两船从某河相距336千米的两港同时出发相向而行,几小时相遇?
如果同向而行,甲船在前,乙船在后,几小时后乙船追上甲船?
解:
①相遇时用的时间
336÷(24+32)
=336÷56
=6(小时)。
②追及用的时间(不论两船同向逆流而上还是顺流而下):
336÷(32—24)=42(小时)。
答:
两船6小时相遇;乙船追上甲船需要42小时。
4,有一船行驶于120千米长的河中,逆行需10小时,顺行要6小时,求船速和水速。
这题条件中有行驶的路程和行驶的时间,这样可分别算出船在逆流时的行驶速度和顺流时的行驶速度,再根据和差问题就可以算出船速和水速。
列式为
逆流速:
120÷10=12(千米/时)
顺流速:
120÷6=12(千米/时)
船速:
(20+12)÷2=16(千米/时)
水速:
(20—12)÷2=4(千米/时)
答:
船速是每小时行16千米,水速是每小时行4千米。
5,轮船以同一速度往返于两码头之间。
它顺流而下,行了8小时;逆流而上,行了10小时。
如果水流速度是每小时3千米,求两码头之间的距离。
在同一线段图上做下列游动性示意图36-1演示:
因为水流速度是每小时3千米,所以顺流比逆流每小时快6千米。
如果怒六时也行8小时,则只能到A地。
那么A、B的距离就是顺流比逆流8小时多行的航程,即6×8=48千米。
而这段航程又正好是逆流2小时所行的。
由此得出逆流时的速度。
列算式为
(3+3)×8÷(10—8)×10=240(千米)
答:
两码头之间相距240千米。
6,汽船每小时行30千米,在长176千米的河中逆流航行要11小时到达,返回需几小时?
依据船逆流在176千米的河中所需航行时间是11小时,可以求出逆流的速度。
返回原地是顺流而行,用行驶路程除以顺流速度,可求出返回所需的时间。
逆流速:
176÷11=16(千米/时)
所需时间:
176÷[30+(30—16)]=4(小时)
答:
返回原地需4小时。
7,有甲、乙两船,甲船和漂流物同时由河西向东而行,乙船也同时从河东向西而行。
甲船行4小时后与漂流物相距100千米,乙船行12小时后与漂流物相遇,两船的划速相同,河长多少千米?
漂流物和水同速,甲船是划速和水速的和,甲船4小时后,距漂流物100千米,即每小时行100÷4=25(千米)。
乙船12小时后与漂流物相遇,所受的阻力和漂流物的速度等于划速。
这样,即可算出河长。
列算式为
船速:
100÷4=25(千米/时)
河长:
25×12=300(千米)
答:
河长300千米。
课后作业:
1,一艘轮船从河的上游甲港顺流到达下游的丙港,然后调头逆流向上到达中游的乙港,共用了12小时。
已知这条轮船的顺流速度是逆流速度的2倍,水流速度是每小时2千米,从甲港到乙港相距18千米。
则甲、丙两港间的距离为( )
A.44千米
B.48千米
C.30千米
D.36千米
【答案】A。
解析:
顺流速度-逆流速度=2×水流速度,又顺流速度=2×逆流速度,可知顺流速度=4×水流速度=8千米/时,逆流速度=2×水流速度=4千米/时。
设甲、丙两港间距离为X千米,可列方程X÷8+(X-18)÷4=12解得X=44。
2.一艘轮船在两码头之间航行。
如果顺水航行需8小时,如果逆水航行需11小时。
已知水速为每小时3千米,那么两码头之间的距离是多少千米?
A.180
B.185
C.190
D.176
【答案】D。
解析:
设全程为s,那么顺水速度为,逆水速度为,由(顺水速度-逆水速度)/2=水速,知道-=6,得出s=176。
3,一只渔船顺水行25千米,用了5小时,水流的速度是每小时1千米。
此船在静水中的速度是多少?
(适于高年级程度)
解:
此船的顺水速度是:
25÷5=5(千米/小时)
因为“顺水速度=船速+水速”,所以,此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。
5-1=4(千米/小时)
综合算式:
25÷5-1=4(千米/小时)
答:
此船在静水中每小时行4千米。
4,一只渔船在静水中每小时航行4千米,逆水4小时航行12千米。
水流的速度是每小时多少千米?
(适于高年级程度)
解:
此船在逆水中的速度是:
12÷4=3(千米/小时)
因为逆水速度=船速-水速,所以水速=船速-逆水速度,即:
4-3=1(千米/小时)
答:
水流速度是每小时1千米。
5,一只船,顺水每小时行20千米,逆水每小时行12千米。
这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少?
(适于高年级程度)
解:
因为船在静水中的速度=(顺水速度+逆水速度)÷2,所以,这只船在静水中的速度是:
(20+12)÷2=16(千米/小时)
因为水流的速度=(顺水速度-逆水速度)÷2,所以水流的速度是:
(20-12)÷2=4(千米/小时)
答略。
6,某船在静水中每小时行18千米,水流速度是每小时2千米。
此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。
求甲、乙两地的路程是多少千米?
此船从乙地回到甲地需要多少小时?
(适于高年级程度)
解:
此船逆水航行的速度是:
18-2=16(千米/小时)
甲乙两地的路程是:
16×15=240(千米)
此船顺水航行的速度是:
18+2=20(千米/小时)
此船从乙地回到甲地需要的时间是:
240÷20=12(小时)
答略。
7,某船在静水中的速度是每小时15千米,它从上游甲港开往乙港共用8小时。
已知水速为每小时3千米。
此船从乙港返回甲港需要多少小时?
(适于高年级程度)
解:
此船顺水的速度是:
15+3=18(千米/小时)
甲乙两港之间的路程是:
18×8=144(千米)
此船逆水航行的速度是:
15-3=12(千米/小时)
此船从乙港返回甲港需要的时间是:
144÷12=12(小时)
综合算式:
(15+3)×8÷(15-3)
=144÷12
=12(小时)
答略。
8,甲、乙两个码头相距144千米,一艘汽艇在静水中每小时行20千米,水流速度是每小时4千米。
求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时,由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时?
(适于高年级程度)
解:
顺水而行的时间是:
144÷(20+4)=6(小时)
逆水而行的时间是:
144÷(20-4)=9(小时)
答略。
9,一条大河,河中间(主航道)的水流速度是每小时8千米,沿岸边的水流速度是每小时6千米。
一只船在河中间顺流而下,6.5小时行驶260千米。
求这只船沿岸边返回原