最新数列等差数列基础题以及答案.docx

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最新数列等差数列基础题以及答案

数列、等差数列基础题以及答案

、选择题

1.数列｛an｝满足ai=a2=1-'''，若数列｛an｝的前n项和

为5,则S2013的值为（）

A.2013B.671C.-671D.

2.已知数列｛an｝满足递推关系：

an+1=.-，a1=_，则a2017=（）

A._.

B.

2017

C.一

D._

3.数列｛an｝的前n项和为

Sn,

若Sn=2n-1

（n€N+）,贝Va2017的值为（

）

A.2

B.

3

C.2017

D.3033

4.已知正项数列｛an｝满足■■:

:

，若a1=1，则a10=（）

A.27

B.28C.26

D.29

5.若数列｛an｝满足：

a1=2,an+1=，贝Ua7等于（）

A.2

B.C.-1

D.2018

6.已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若2a6=a3+6，贝USz=（）

A.49B.42C.35D.28

7.等差数列｛an｝中，若a1,a2013为方程x2-10x+16=0两根，则a2+a1007+a2012=（）

A.10B.15C.20D.40

8.已知数列｛an｝的前n项和---,若它的第k项满足2vay5,贝Uk=（）

A.2B.3C.4D.5

9.在等差数列｛an｝中，首项a1=0,公差d工0若ak=a什a2+a3+…+ae，则k=（）

A.45B.46C.47D.48

10.已知a1,a2,a3,…，a8为各项都大于零的数列，则"a什a8va4+a5”是"a1,a2,

a3,…，a8不是等比数列”的（）

A.充分且必要条件B.充分但非必要条件

C.必要但非充分条件D.既不充分也不必要条件

11.已知Sn是等差数列｛an｝的前n项和，则2（a1+a3+a5）+3（ag+aw）=36,则Sn=（）

A.66B.55C.44D.33

二、填空题

2

1.已知数列｛an｝的前n项和Sn=n+n，则该数列的通项公式an=.

2.正项数列｛an｝中，满足a1=1,a2=/,an+1=」％"”卄*（n€N），那么an=

3.若数列｛an｝满足a1=-2，且对于任意的m,n€N，都有am+n=am+an，则a3=；数

列｛an｝前10项的和S10=.

4.数列｛an｝中，已知a1=1，若af-ati_1=2｛n>2HneNr），则an=，若

=2（n>2£Ln，贝卩外=

1

5.已知数列｛an｝满足a1=-1,an+1=an+看！

n€N*，则通项公式an=

6.数列｛a*｝满足ai=5,）—二=5（n€N+）,贝Va*=.

°/I+i

7.等差数列｛a*中，a什a4+a7=33,a3+a6+a9=21,则数列｛an｝前9项的和S9等于

三、解答题

1•已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且二.-.'；：

=1（n€N+）.

（1）求数列｛an｝的通项公式；

（2）设、_小'•-（n€N+）,求'+•一…一的值.

2.数列｛an｝是首项为23,第6项为3的等差数列，请回答下列各题:

（I）求此等差数列的公差d;

（n）设此等差数列的前n项和为Sn,求Sn的最大值；

（川）当Sn是正数时，求n的最大值.

3.已知数列｛an｝的前n项和为Sn,且Sn=2an-2（n€N*）.

（I）求数列｛an｝的通项公式；

（n）求数列｛Sn｝的前n项和Tn.

4.已知数列｛an｝具有性质：

①ai为整数；②对于任意的正整数n,当a.为偶数时,

--；当an为奇数时，一.

（1）若ai=64,求数列｛an｝的通项公式；

（2）若a1,a2,a3成等差数列，求a1的值；

（3）设|一「:

（m且m€N），数列｛an｝的前n项和为Sn,求证：

、二■'.（）

14.-6；-110

15.2n-1;2n-1

1

16・-

17・：

.；“.：

!

18.81

19.解：

（1）当n=1,a1=,

当n>1,Sn+an=1,Sn-1+.an-1=1,

31

•\an-_an-1=0,

即an=an-1,

数列｛an｝为等比数列，公比为，首项为，

（2）Sn=1--an=1-（）n,•'bn=n,

ii1I

•,

…+J一_-I,

111

•••1

1I111

3-23

一―!

;

=1-：

+：

_+•..+-=1-,一一——

20.解：

（I）由a1=23,a6=3，所以等差数列的公差d=,

（n）\-=_：

■：

--

因为n€N*，所以当n=6时0有最大值为78;

（川）由■-,解得0vnv_.

因为n€N*，所以n的最大值为12.

21.解：

（I）列｛an｝的前n项和为Si，且Sn=2an-2①.则：

Sn+1=2an+1-2②，

②-①得：

an+i=2an,

即：

—■（常数），

nn

当n=1时，ai=Si=2ai-2,

解得：

ai=2,

所以数列的通项公式为1-'

（n）由于：

•，

=二，

n+1

=2-2.

'1-2-2---2,

cn+2

=2-4-2n.

22.解：

（1）由…一门一,可得，一-,：

.,,一,…，',•,：

：

：

一「一I，,

a9=0，…，

即｛an｝的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0.•••（2分）

（2一匕（1

故数列｛an｝的通项公式为r,；：

_:

：

.；.，「丁.…（4分）

（2）若ai=4k（k€Z）时,“•一，一”，’…—-

由ai，a2，a3成等差数列，可知即2（2k）=k+4k，解得k=0，故ai=0；

卄fll-1,fl2

右ai=4k+1（k€Z）时，，「一一-匚，…一一］

由ai，a2，a3成等差数列，可知2（2k）=（4k+1）+k，解得k=-1，故ai=-3;•••（7分）

若ai=4k+2（k€Z）时，‘；：

一一>+】，、.一--

由ai，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+2）+k，解得k=0，故ai=2；

若ai=4k+3（k€Z）时，‘；.一-「：

「】，•：

■--

由ai，a2，a3成等差数列，可知2（2k+1）=（4k+3）+k，解得k=-1，故ai=-i；

•a的值为-3，-1，0,2.•••（10分）

（3）

由^1=2tn—3（m>3，可得^2~~2~~2，^^^^=2m~2—l，

又:

——I-"，am+2=0，…

故当n舸时，an>0；当n>n+1时，an=0.•••（15分

故对于给定的m，Sn的最大值为ai+a2+…+am=（2m-3）+（2m-1-2）+（2m-2-1）+（2m-3-1）

1mm-1m-21m+1

+…+（2-1）=（2+2+2+…+2）-m-3=2-m-5,

故\-.■'.•••（18分）

【解析】

1.解：

••数列｛an｝满足a1=a2=1，匚+.!

•「.，.■l,

••从第一项开始，3个一组，则第n组的第一个数为a3n-2

a3n-2+a3n-1+a3n

2jue

=cos—

=cos（2nn）

4jt

=cos（-）

斗rr

=cos—

IT

=-C0S7

1

=-二,

••2013-3=671，即S2013正好是前671组的和，

1671

•*S2013=^;泊71=-.

故选D.

由数列｛an｝满足a1=a2=1，订..+丄.：

+宀■_i，：

、、知从第一项开始，3个

一组，则第n组的第一个数为a3n-2，由a3n-2+a3n-1+a3n=C0S=-二，能求出S2013.

本题考查数列的递推公式和数列的前n项和的应用，解题时要认真审题，注意三角函数

的性质的合理运用.

亠111

2.解：

■/an+1=-,a1=_,•-=1.

••数列'是等差数列，首项为2,公差为1.

•盂=2+2016=2018.

1

则a2017=_.

故选：

C.

an+1=■,a1=,可得云--=1.再利用等差数列的通项公式即可得出.

本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中

档题.

3.解：

••Sn=2n-1（n€N+）,

•'a2017=S2017-S2016=2X2017-1-22016+1=2

故选：

A

由a2017=S2017-S2016，代值计算即可.

本题考查了数列的递推公式，属于基础题.

_22

4.解：

_111,「an+i-2anan+i+an=9,

--（an+i-an）=9,

-an+i-an=3，或an+i-an=-3,

'•｛an｝是正项数列，ai=i,

••an+i-an=3，即｛an｝是以1为首项，以3为公差的等差数列，

•ao=1+9X3=28.

故选B.

由递推式化简即可得出｛an｝是公差为3的等差数列，从而得出aio.

本题考查了等差数列的判断，属于中档题.

你一12-11

5.解：

数列｛an｝满足：

ai=2,an+i=，则a2=_=_,

f-1

a3=t=-i

-l-i

a4=_]=2

2-11

a5=_=二,

I-1

a6=j=-i.

-i-i

a7==2.

故选：

A.

利用数列的递推关系式，逐步求解即可.

本题考查数列的递推关系式的应用，考查计算能力.

6.解：

••等差数列｛an｝的前n项和为Sn,2a6=a3+6,

•'2（ai+5d）=ai+7d+6,

•a+3d=6,-'a4=6,

7

■-■.；.=42.

故选：

B.

由已知条件利用等差数列的通项公式能求出a4,由此利用等差数列的前n项和公式能求

出S7.

本题考查等差数列的前7项和的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的

通项公式和前n项和公式的合理运用.

、2

7.解：

Tai,a20i3为方程x-i0x+16=0的两根

•°a计a2oi3=i0

由等差数列的性质知：

ai+a2oi3=a2+a2oi2=2aio07

.■a2+ai007+a2oi2=i5

故选：

B

由方程的韦达定理求得a什a2oi3，再由等差数列的性质求解.

本题主要考查韦达定理和等差数列的性质，确定ai+a2oi3=i0是关键.

8.解：

已知数列｛an｝的前n项和•一,n=i可得Si=ai=i-3=-2,

22

/an=Sn-Sn-i=n-3n-[（n-i）-3（n-i）]=2n-4,

n=i满足an,

•'an=2n-4,

••它的第k项满足2vay5，即2v2k-4v5,解得3vkv4.5，因为n€N,

•k=4,

故选C;

（齢伍=1）

先利用公式an=求出an=「、■■_：

■,再由第k项满足4vakV7建立不等式，求

出k的值.

本题考查数列的通项公式的求法，解题时要注意公式an=「.、■■_：

■的合理运用，

属于基础题.

9.解：

・.ak=ai+a2+a3+…+aio,

•'a计（k-1）d=10ai+45d

■•'ai=0，公差d^O,

（k-1）d=45d

•'k=46

故选B

由已知ak=ai+a2+a3+…+aio，结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解

本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题

10.解：

若八个正数，成等比数列公比q>0,

（ai+a8）-（a4+a5）

=a1[（1+q）-（q+q）]

34

=a1[（q-1）（q-1）]

当0vqv1，时

（q-1）v0,（q-1）v0

34

•a[（q-1）（q-1）]>0

当q>1,时

（q-1）>0,（q-1）>0

34

•a[（q-1）（q-1）]>0

所以a什a8>a4+a5,

故若a1+a8va4+a5，则a1,a2,a3,…,a8不是等比数列，

若a1,a2,a3,…，不是等比数列，a1+a8

故"a1+a8

a3,…，不是等比数列”的充分非必要条件.

故选B

先假设八个整数成等比数列且1利用等比数列的通项公式表示出（a1+a8）-（a4+a5）,

分别对q>1和qv1分类讨论，可推断出a什a8>a4+a5一定成立，反之若a1+a8

a3,…，不是等比数列，a什a8

本题主要考查了等比关系的确定以及充分条件，必要条件充分必要条件的判定.考查了

学生分析问题和基本的推理能力.

11.解：

由等差数列的性质可得：

2（a1+a3+a5）+3（a8+a10）=36,•'6a3+6a9=36，即a1+an=6.

11（^1+on）

则Sn==11X3=33.

故选：

D.

利用等差数列的通项公式与性质与求和公式即可得出.

本题考查了等差数列的通项公式与性质与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于

中档题.

2

12.解：

由Sn=n+n,得

ai=Si=2,

当n》2时，

22

an=Sn-Sn-i=（n+n）-[（n-1）+（n-1）]=2n.

当n=1时上式成立，

•'an=2n.

故答案为：

2n.

由数列的前n项和求得首项，再由an=Sn-Sn-1（n>2求得an,验证首项后得答案.本题考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，是基础题.

13・解：

由

>11*2

（MN）,可得an+1=an?

an+2,

••数列｛an｝为等比数列,

a1=1,a2「,

1flL-*o

由=（nON）,可得a2n+1=an?

an+2,即可得到数列为等比数列，求出公

比，即可得到通项公式本题考查了等比数列的定义以及通项公式，属于基础题.

14.解：

••对于任意的m,n€N,都有am+n=am+an,

••取m=1，贝Van+1-an=a1=-2,

••数列｛an｝是等差数列，首项为-2,公差为-2,

•'an=-2-2（n-1）=-2n.

•，a3=-6,

10XC-2-20）

•数列｛an｝前10项的和S10=_=-110.

故答案分别为：

-6；-110.

对于任意的m,n€N,都有am+n=am+an，取m=1，则an+1-an=a1=-2，可得数列｛an｝是等差数列，首项为-2,公差为-2,利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出.

本题考查了递推式的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与

计算能力，属于中档题.

15.解：

在数列｛an｝中，由%-叫_1=2（71之2且

可知数列是公差为2的等差数列，又印=1,

「an=1+2（n-1）=2n-1；

由一'■■■■,

叫一1

可知数列是公比为2的等比数列，又a1=1,

故答案为：

2n-1;2n-1.

由已知递推式an-an-i=2，可得数列是公差为2的等差数列，由二，可知数列是公比

为2的等比数列，然后分别由等差数列和等比数列的通项公式得答案.

本题考查数列递推式，考查了等差数列和等比数列的通项公式，是基础题.

16.解：

由题意，an+1-an=-「

利用叠加法可得an-ai=1-=,

•.ai=-l,

••an=-,

故答案为-I

由题意，an+1-an=-―..|,利用叠加法可得结论.

本题考查数列的通项，考查叠加法的运用，属于基础题.

11+、

17.解：

数列｛an｝满足ai=5,—--=5（n€N）,

可知数列｛匸｝是等差数列，首项为，公差为：

5.

可得二=+5（n-1）,

解得％=：

：

.._：

：

.

故答案为：

古_..：

：

判断数列｛｝是等差数列，然后求解即可.

本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式的求法，考查计算能力.

18.解：

等差数列｛an｝中，a1+a4+a7=33,a3+ae+a9=21,

.*3a4=33,3a6=21；

•a4=11,a6=7;

数列｛an｝前9项的和：

+佝）+nJ

、，一__X】.

故答案为：

81.

根据等差数列项的性质与前n项和公式，进行解答即可.

本题考查了等差数列项的性质与前n项和公式的应用问题，是基础题目.

本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了数列的函数特性，是基础的运

算题.

21.（I）直接利用递推关系式求出数列的通项公式.

（n）利用数列的通项公式，直接利用等比数列的前n项和公式求出结果.

本题考查的知识要点：

数列的通项公式的求法，等比数列前n项和的公式的应用.

22.

（1）由…一门一，可得｛an｝的前7项成等比数列，从第8起数列的项均为0,

从而利用分段函数的形式写出数列｛an｝的通项公式即可；

（2）对ai进行分类讨论：

若ai=4k（k€Z）时；若ai=4k+1（k€Z）时；若ai=4k+2（k®）时；若ai=4k+3（k巳）时，结合等差数列的性质即可求出ai的值；

（3）由=2fti-3（m>3，可得a2,a3,•若%=2‘一l（tEN*），贝Vak是奇数，可得当3

:

.一厂八•成立，又当nEm时，an>0；当n初+i时，an=0.故对于给定的m,Sn的最大值为2m+i-m-5，即可证出结论.

本小题主要考查等差数列的性质、等比数列的性质、数列与函数的综合等基本知识，考

查分析问题、解决问题的能力.