中考数学总复习第五单元四边形课时训练25矩形菱形练习.docx

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中考数学总复习第五单元四边形课时训练25矩形菱形练习

课时训练（二十五）　矩形、菱形

|夯实基础|

1.如图25-11,矩形ABCD中对角线AC,BD相交于点O,E是AD的中点,连接OE.若OE=3,AD=8,则对角线AC的长为（）

图25-11

A.5B.6C.8D.10

2.[2017·兰州]如图25-12,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠ADB=30°,AB=4,则OC的长是（）

图25-12

A.5B.4C.3.5D.3

3.[2017·包头样题三]如图25-13,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC.若AC=4,则四边形CODE的周长是（）

图25-13

A.4B.6C.8D.12

4.如图25-14,已知某菱形花坛ABCD的周长是24m,∠BAD=120°,则花坛对角线AC的长是（）

图25-14

A.6mB.6m

C.3mD.3m

5.如图25-15,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AB,BC边的中点,连接EF.若EF=,BD=4,则菱形ABCD的周长为（）

图25-15

A.4B.4C.4D.28

6.[2017·临沂]如图25-16,在△ABC中,D是边BC上的点（与B,C两点不重合）,过点D作DE∥AC,DF∥AB,分别交AB,AC于E,F两点,下列说法正确的是（）

图25-16

A.若AD⊥BC,则四边形AEDF是矩形

B.若AD垂直平分BC,则四边形AEDF是矩形

C.若BD=CD,则四边形AEDF是菱形

D.若AD平分∠BAC,则四边形AEDF是菱形

7.[2017·绵阳]如图25-17,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,过点O作BD的垂线分别交AD,BC于E,F两点.若AC=2,∠AEO=120°,则FC的长度为（）

图25-17

A.1B.2C.D.

8.[2016·包头样题]如图25-18,在菱形ABCD中,AB=5,对角线AC=6.若过点A作AE⊥BC,垂足为E,则AE的长为（）

图25-18

A.4B.C.D.5

9.[2018·衢州]如图25-19,将矩形ABCD沿GH折叠,点C落在点Q处,点D落在AB边上的点E处.若∠AGE=32°,则∠GHC等于（）

图25-19

A.112°B.110°

C.108°D.106°

10.[2018·包头一模]如图25-20,在一张长为6cm,宽为6cm的矩形纸片中,有甲、乙两种折叠方案,均折叠出菱形ABCD,则这两种方案中,折叠出的菱形面积较大的是（）

图25-20

A.方案甲B.方案乙

C.两个方案一样D.无法比较

11.[2017·淮安]如图25-21,在矩形纸片ABCD中,AB=3,点E在边BC上,将△ABE沿直线AE折叠,点B恰好落在对角线AC上的点F处.若∠EAC=∠ECA,则AC的长是（）

图25-21

A.3B.6

C.4D.5

12.[2017·乌鲁木齐]如图25-22,在矩形ABCD中,点F在AD上,点E在BC上,把这个矩形沿EF折叠后,使点D恰好落在BC边上的点G处.若矩形ABCD的面积为4且∠AFG=60°,GE=2BG,则折痕EF的长为（）

图25-22

A.1B.

C.2D.2

13.[2017·内江]如图25-23,在矩形AOBC中,O为坐标原点,OA,OB分别在x轴、y轴上,点B的坐标为（0,3）,∠ABO=30°,将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,则点D的坐标为（）

图25-23

A.（,）B.（2,）

C.（,）D.（,3-）

14.[2018·葫芦岛]如图25-24,在菱形ABCO中,点B在x轴上,点A的坐标为（2,3）,则点C的坐标为. 

图25-24

15.如图25-25,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,BD的中点,若EF=2,则菱形ABCD的周长是. 

图25-25

16.如图25-26,已知菱形ABCD的两条对角线长分别为AC=8和BD=6,那么菱形ABCD的面积为. 

图25-26

17.[2017·昆区二模]如图25-27,菱形ABCD的边长为8cm,∠A=60°,DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,则四边形BEDF的面积为cm2. 

图25-27

18.[2016·包头]如图25-28,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,垂足为E,若∠EAC=2∠CAD,则∠BAE=°. 

图25-28

19.[2017·包头样题三]如图25-29,在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60°,E是AB的中点,P是对角线AC上一动点,则△PBE周长的最小值为. 

图25-29

20.[2018·连云港]如图25-30,在矩形ABCD中,E是AD的中点,延长CE,BA交于点F,连接AC,DF.

（1）求证:

四边形ACDF是平行四边形;

（2）当CF平分∠BCD时,写出BC与CD之间的数量关系,并说明理由.

图25-30

21.[2018·青岛]已知:

如图25-31,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.

（1）求证:

AB=AF;

（2）若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.

图25-31

22.[2018·内江]如图25-32,已知四边形ABCD是平行四边形,E,F分别是AB,BC上的点,AE=CF,并且∠AED=∠CFD.

求证:

（1）△AED≌△CFD;

（2）四边形ABCD是菱形.

图25-32

23.如图25-33,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,DE∥BA交AC于点E,DF∥CA交AB于点F,已知CD=3.

（1）求AD的长;

（2）求四边形AEDF的周长.（计算过程和结果均保留根号）

图25-33

24.如图25-34,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=5,∠C=30°.点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动,同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动,当其中一个点到达终点时,另一个点也随之停止运动.设点D,E运动的时间是t秒（t>0）.过点D作DF⊥BC于点F,连接DE,EF.

（1）求证:

AE=DF.

（2）四边形AEFD能够成为菱形吗?

如果能,求出相应的t值;如果不能,说明理由.

（3）当t为何值时,△DEF为直角三角形?

请说明理由.

图25-34

|拓展提升|

25.[2018·包头样题三]如图25-35,在矩形ABCD中,F是DC上一点,AE平分∠BAF交BC于点E,且DE⊥AF,垂足为M,BE=3,AE=2,则MF的长是（）

图25-35

A.B.

C.1D.

26.[2018·包头样题二]如图25-36,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,E为BC的中点,将△ABE沿AE折叠,使点B落在矩形内的点F处,连接CF,则CF的长为. 

图25-36

27.如图25-37,在矩形ABCD中,E是AD边的中点,BE⊥AC,垂足为F,连接DF.下列四个结论:

①△AEF∽△CAB;②CF=2AF;③DF=DC;④tan∠CAD=.其中正确的有（）

图25-37

A.4个B.3个C.2个D.1个

28.如图25-38,△ABC和△CDE均为等腰直角三角形,点B,C,D在一条直线上,M是AE的中点,下列结论:

①tan∠AEC=;②BM⊥DM;

③BM=DM;④S△ABC+S△CDE≥S△ACE.正确结论的个数是（）

图25-38

A.1B.2C.3D.4

29.[2015·包头]如图25-39,在边长为+1的菱形ABCD中,∠A=60°,点E,F分别在AB,AD上,沿EF折叠菱形,使点A落在BC边上的点G处,且EG⊥BD于点M,则EG的长为. 

图25-39

30.[2016·青山区一模]如图25-40,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,交BD于点F,下列结论:

①BF为∠ABE的平分线;②DF=2BF;③2AB2=DF·DB;④sin∠BAE=,其中正确的结论为.（填序号） 

图25-40

31.[2017·昆区一模]如图25-41,在菱形ABCD中,AB=BD,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF,连接BF,DE交于点M,延长ED到点H,使DH=BM,连接AM,AH,则以下四个结论:

①△BDF≌△DCE;②∠BMD=120°;③△AMH是等边三角形;④S四边形ABMD=AM2.

其中正确结论的是.（填序号） 

图25-41

参考答案

1.D

2.B[解析]由四边形ABCD为矩形,可知AC=BD,OC=AC.已知∠ADB=30°,故在Rt△ABD中,BD=2AB=8,所以AC=BD=8,所以OC=AC=4,故选B.

3.C4.B5.C

6.D[解析]根据DE∥AC,DF∥AB,可证明四边形AEDF是平行四边形,再根据矩形、菱形的判定方法依次分析即可做出判断.

若AD⊥BC,无法判定四边形AEDF是矩形,所以A错误;

若AD垂直平分BC,可以判定四边形AEDF是菱形,所以B错误;

若BD=CD,无法判定四边形AEDF是菱形,所以C错误;

若AD平分∠BAC,则∠EAD=∠FAD=∠ADF,所以AF=DF.又因为四边形AEDF是平行四边形,所以四边形AEDF是菱形,故D正确.

7.A8.C9.D10.B

11.B[解析]因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=90°,于是∠BAC+∠BCA=90°,即∠BAE+∠EAC+∠ECA=90°.由折叠的性质得∠BAE=∠EAC.又因为∠EAC=∠ECA,所以3∠ECA=90°,∠ECA=30°.在Rt△ABC中,AC=2AB=2×3=6.

12.C[解析]过点G作GM⊥AD,垂足为M.

∵GE=2BG,∴设BG=x,则GE=2x.

∵∠AFG=60°,AD∥BC,

∴∠FGE=∠AFG=60°.

∵四边形FDCE折叠得到四边形FGHE,

∴∠GFE=∠DFG==60°,DF=FG,

∴△FGE是等边三角形,

∴EF=EG=FG=2x,DF=FG=2x.

在Rt△FMG中,GM=GF·sin∠AFG=x,FM=GF·cos∠AFG=x.

易证四边形ABGM是矩形,

∴AM=BG=x,AB=GM=x,

∴AD=AM+FM+DF=4x.

∵矩形ABCD的面积为4,

∴AD·AB=4x·x=4,解得x=1,

∴EF=2x=2,故选C.

13.A[解析]∵四边形AOBC是矩形,∠ABO=30°,点B的坐标为（0,3）,∴AC=OB=3,∠CAB=30°,∴BC=AC·tan30°=3×=3.

∵将△ABC沿AB所在直线对折后,点C落在点D处,

∴∠BAD=30°,AD=3.

如图,过点D作DM⊥x轴于点M.

∵∠CAB=∠BAD=30°,∠CAO=90°,∴∠DAM=30°,

∴DM=AD=×3=,

AM=AD·cos30°=3×=,

∴OM=AM-AO=-3=,

∴点D的坐标为

.

14.（2,-3）

15.1616.2417.16

18.22.519.+1

20.解:

（1）证明:

∵四边形ABCD是矩形,

∴AB∥CD,∴∠FAE=∠CDE.

∵E是AD的中点,∴AE=DE.

又∵∠FEA=∠CED,∴△FAE≌△CDE,∴FA=CD.

又∵CD∥FA,∴四边形ACDF是平行四边形.

（2）BC=2CD.理由:

∵CF平分∠BCD,∠BCD=90°,∴∠DCE=45°.

∵∠CDE=90°,

∴△CDE是等腰直角三角形,

∴CD=DE.

∵E是AD的中点,∴AD=2DE=2CD.

又∵AD=BC,∴BC=2CD.

21.解:

（1）证明:

∵在▱ABCD中,AB∥CD,AB=CD,

∴∠FAD=∠CDG.

∵G为AD的中点,

∴AG=DG.

又∵∠AGF=∠DGC,

∴△AGF≌△DGC（ASA）,

∴AF=CD.

又∵AB=CD,

∴AB=AF.

（2）四边形ACDF为矩形.

证明:

∵∠BCD=120°,

∴∠BAG=120°,

∴∠FAG=60°.

又∵AG=AB,AB=AF,

∴AG=AF,

∴△AGF为等边三角形,

∴AG=FG.

∵AF∥CD,AF=CD,

∴四边形ACDF为平行四边形,

∴AD=2AG,CF=2FG,

∴AD=CF,

∴四边形ACDF为矩形.

22.证明:

（1）∵四边形ABCD是平行四边形,

∴∠A=∠C.

在△AED和△CFD中,

∴△AED≌△CFD（ASA）.

（2）由

（1）得△AED≌△CFD,∴AD=CD.

∵四边形ABCD是平行四边形,

∴四边形ABCD是菱形.

23.[解析]

（1）利用角平分线的性质和直角三角形中30°角所对的直角边为斜边的一半求出AD的长;

（2）先判定四边形AEDF为菱形,然后利用锐角三角函数求出DE的长,最后求周长.

解:

（1）在△ABC中,

∵∠C=90°,∠B=30°,∴∠BAC=60°.

∵AD是△ABC的角平分线,

∴∠CAD=∠BAD=∠BAC=30°.

在Rt△ACD中,

∵∠CAD=30°,CD=3,

∴CD=AD,∴AD=6.

（2）∵DE∥BA,DF∥CA,

∴四边形AEDF为平行四边形,∠BAD=∠EDA.

∵∠CAD=∠BAD,

∴∠CAD=∠EDA,∴AE=DE,

∴四边形AEDF为菱形.

∵DE∥BA,∴∠CDE=∠B=30°.

∵在Rt△CDE中,∠C=90°,

∴cos∠CDE=,

∴DE==2.

∴四边形AEDF的周长为4DE=4×2=8.

24.解:

（1）证明:

在△DFC中,∠DFC=90°,∠C=30°,DC=2t,∴DF=t.

又∵AE=t,∴AE=DF.

（2）能.

∵AB⊥BC,DF⊥BC,∴AE∥DF.

又∵AE=DF,∴四边形AEFD是平行四边形.

∵AB=BC·tan30°=5×=5,

∴AC=2AB=10,

∴AD=AC-DC=10-2t.

若使▱AEFD为菱形,则需AE=AD,即t=10-2t,

解得t=,

∴当t=时,四边形AEFD为菱形.

（3）当t=或4时,△DEF为直角三角形.理由:

①当∠EDF=90°时,四边形EBFD为矩形.

在Rt△AED中,∠ADE=∠C=30°,

∴AD=2AE,即10-2t=2t,解得t=;

②当∠DEF=90°时,由

（2）知EF∥AD,

∴∠ADE=∠DEF=90°.

∵∠A=90°-∠C=60°,

∴AD=AE·cos60°,即10-2t=t,解得t=4;

③当∠EFD=90°时,此种情况不存在.

综上所述,当t=或4时,△DEF为直角三角形.

25.A26.

27.B

28.D

29.

30.①③④

31.①②③④[解析]在菱形ABCD中,∵AB=BD,∴AB=BD=AD,∴△ABD是等边三角形,∴根据菱形的性质可得∠BDF=∠C=60°.

∵BE=CF,BC=CD,∴EC=DF.

在△BDF和△DCE中,

∴△BDF≌△DCE,故①正确;∴∠DBF=∠CDE.

∵∠DMF=∠DBF+∠BDM=∠CDE+∠BDM=∠BDC=60°,

∴∠BMD=180°-∠DMF=180°-60°=120°,故②正确;

∵∠DEB=∠CDE+∠C=∠CDE+60°,∠ABM=∠ABD+∠DBF=60°+∠DBF,

∠CDE=∠DBF,∴∠DEB=∠ABM.

又∵AD∥BC,∴∠ADH=∠DEB,

∴∠ADH=∠ABM.

在△ABM和△ADH中,

∴△ABM≌△ADH,

∴AM=AH,∠BAM=∠DAH,

∴∠MAH=∠MAD+∠DAH=∠MAD+∠BAM=∠BAD=60°,

∴△AMH是等边三角形,故③正确;

∵△ABM≌△ADH,∴S△AMH=S四边形ABMD.

又∵S△AMH=AM·AM=AM2,

∴S四边形ABMD=AM2,故④正确.

予少家汉东，汉东僻陋无学者，吾家又贫无藏书。

州南有大姓李氏者，其于尧辅颇好学。

予为儿童时，多游其家，见有弊筐贮故书在壁间，发而视之，得唐《昌黎先生文集》六卷，脱落颠倒无次序，因乞李氏以归。

读之，见其言深厚而雄博，然予犹少，未能悉究其义．徒见其浩然无涯，若可爱。

是时天下学者杨、刘之作，号为时文，能者取科第，擅名声，以夸荣当世，未尝有道韩文者。

予亦方举进士，以礼部诗赋为事。

年十有七试于州，为有司所黜。

因取所藏韩氏之文复阅之，则喟然叹曰：

学者当至于是而止尔！

因怪时人之不道，而顾己亦未暇学，徒时时独念于予心，以谓方从进士干禄以养亲，苟得禄矣，当尽力于斯文，以偿其素志。