图形的位似知识讲解.docx

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图形的位似知识讲解

图形的位似--知识讲解

【学习目标】

1、了解位似多边形的概念，知道位似变换是特殊的相似变换，能利用位似的方法，将一个图形放大或缩小；

2、能在同一坐标系中，感受图形放缩前后点的坐标的变化.

【要点梳理】

要点一、位似多边形

1.位似多边形定义:

如果两个相似多边形任意一组对应顶点所在的直线都经过同一个点O，且每组对应点与点O点的距离之比都等于一个定值k，例如，如下图，OA′=k·OA（k≠0），那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心.

要点诠释：

位似图形与相似图形的区别：

位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未必能构成位似图形.

2.位似图形的性质:

（1）位似图形的对应点相交于同一点，此点就是位似中心；

（2）位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.

3.平移、轴对称、旋转和位似四种变换的异同：

图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而位似变换之后图形是放大或缩小的，是相似的．

4.作位似图形的步骤

　　第一步：

在原图上找若干个关键点，并任取一点作为位似中心；

　　第二步：

作位似中心与各关键点连线；

　　第三步：

在连线上取关键点的对应点，使之满足放缩比例；

　　第四步：

顺次连接各对应点.

要点诠释：

位似中心可以取在多边形外、多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法.

要点二、坐标系中的位似图形

在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k（k≠0），所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|.

要点诠释：

在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标等于原来点的坐标乘以（或除以）k或-k.

【典型例题】

类型一、位似多边形

1.下列每组的两个图形不是位似图形的是（　　）.

A.

B.

C.

D.

【思路点拨】根据位似图形的概念对各选项逐一判断，即可得出答案．

【答案】D

【解析】解：

对应顶点的连线相交于一点的两个相似多边形叫位似图形．

据此可得A、B、C三个图形中的两个图形都是位似图形；

而D的对应顶点的连线不能相交于一点，故不是位似图形．

故选D．

【总结升华】位似与相似既有联系又有区别，相似仅要求两个图形形状完全相同；而位似是在相似的基础上要求对应点的连线相交于一点．

举一反三

【变式】在小孔成像问题中，根据如图4所示，若O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物AB长的（）.

A.3倍B.

C.

D.不知AB的长度，无法判断

【答案】C

2.利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.

【答案与解析】即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比

为1.5.

画法是：

1．在平面上任取一点O.

2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.

3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，使OA′:

OA＝OB′:

OB＝OC′:

OC＝OD′:

OD＝OE′:

OE＝1.5.

4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.

这样：

＝

＝

＝

＝

＝1.5.

则五边形A′B′C′D′E′为所求.另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.

【总结升华】由本题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.

举一反三

【变式】在已知三角形内求作内接正方形．

【答案与解析】

作法：

（1）在AB上任取一点G′，作G′D′⊥BC；

（2）以G′D′为边，在△ABC内作一正方形D′E′F′G′；

（3）连接BF′，延长交AC于F；

（4）作FG∥CB，交AB于G，从F、G分别作BC的垂线FE，GD；