高等数学课后习题答案第六章.docx
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高等数学课后习题答案第六章
习题62
1求图621中各画斜线部分的面积
所求的面积为
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[01]
1—2311
A0（、xx）dx[-x2丄x2]0丄.
0326
1]所求的面积为
解法一画斜线部分在x轴上的投影区间为[0
A0（eex）dx（exex）|o1
解法二画斜线部分在y轴上的投影区间为[1
ee
A1lnydyylny『1dye（e1）1
⑶
1]所求的面积为
解画斜线部分在x轴上的投影区间为[3
132
A3[（3X2）2x]dx32
解画斜线部分在X轴上的投影区间为[1
A31（2x3x2）dx（x23x1x3）|3i乎
2.求由下列各曲线所围成的图形的面积
（1）y!
x2与x2y28（两部分都要计算）
解
A2：
（J8x2-x2）dx2x2dx：
x2dx2\;8x2dx-
1o20003
1604cos2tdt824
A2（2运）2S6善
⑵y丄与直线yx及x2
x
y
）/
l
o
1
1
•T
解
A：
（xx）dx号In2
解
所求的面积为
ii
A0（exex）dxe-2
（4）y=lnx,y轴与直线y=lna,y=lnb（b>a>0）.
lnh
Ina
o
/'v
解
所求的面积为
lnbinb
Ainaeydyeyinaba
0）处的切线所围成的图形的面积
3求抛物线yx24x3及其在点（03）和（3
两切线的交点为（|,3）所求的面积为
9
3]dx-
33
Af[4x3（x24x3）]3[2x6（x24x
2
y2p
法线与抛物线所围成的图形的面积为
5求由下列各曲线所围成的图形的面积
所求的面积为
A-（2acos）2d4a2jcos2
22
所求的面积为
a
A40ydx
4_（asin3t）d（acos3t）
2
4a2023cos2tsin4tdt
（3）=2a（2+cos）
所求的面积为
A01[2a（2cos）]2d2a2
2
0（44cos
cos2）d18a2
6求由摆线xa（tsint）
ya（1cos
t）的一拱（0t2）与横轴
所围成
的图形的面积
所求的面积为
2a
A0ydx
2a2a
oa（1cost）a（1cost）dta20（1cost）2dt
a2Ja（12cost存）dt3a2
7求对数螺线ae（
）及射线所围成的图形面积
解
所求的面积为
A1（ae）2d*a2e2d号（e2e2）
8求下列各曲线所围成图形的公共部分的面积
（1）3cos及1cos
A2[206（2sin）2d
2严2仆41
o
解
所求的面积为
p=5cos9产[十cos白
求位于曲线y=ex下方该曲线过原点的切线的左方以及x
轴上方之间的图形的面积
解设直线ykx与曲线yex相切于A（xo
yo）点
则有
yokxo
yoexo
y（Xo）exok
所求面积为
J（1y1ny）dy£y2：
y"yo卜抄|
io求由抛物线y24ax与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小
值
解设弦的倾角为由图可以看出
线与过焦点的弦所围成的图形的面积为
A人a
显然当|时Ao当-时Ao
因此抛物线与过焦点的弦所围成的图形的面积的最小值为
A2°2axdx8ax?
。
£a2
11把抛物线y24ax及直线xxo（xoo）所围成的图形绕x轴旋转
计算所得旋转体的体积
解所得旋转体的体积为
X0X0X0
Vy2dx4axdx2ax^_2ax0
000
12由yx3
y0所围成的图形
分别
绕x轴及y轴旋转
计算所得两个旋转体的体积
u-.r
■
解绕x轴旋转所得旋转体的体积为
Vxo2y2dxo2x6dx1x70翠
绕y轴旋转所得旋转体的体积为
13把星形线x2/3y2/3a2/3所围成的图形绕x轴旋转计算所得
旋转体的体积
解由对称性所求旋转体的体积为
y2dx
a2
0（a3
2
x3）3dx
2
（a23a3x33a3x
3x2）dx篇
a3
14用积分方法证明图中球缺的体积为
vh2（r£）
证明v
R2
rh（R2
y2）dy
（R2yiy3）RH
H2（R
15求下列已知曲线所围成的图形
按指定的轴旋转所产生
的旋转体的体积
（1）
y2绕y轴
i
0ydy
；（y2）2dy（2
y25y5）0130
achxa
0xay0绕x轴
a
0y2（x）dx
0a2ch2xdx令xaua30ch2udu
0a0
V：
（516x2）2dx
：
（5J16x2）2dx
解
手（2sh2）
旋转所成旋转体的体积
8boa2y2dy2a2b2
4.
40「16x2dx1602
0
径的所有截面都是等边三角形的立体体积
A（x）3（R2x2）
求这截锥体的体积
解建立坐标系如图过y轴上y点作垂直于y轴的平面则
平面与截锥体的截面为椭圆易得其长短半轴
分别为
AA^yBB^y
hh
截面的面积为（AAPy）（BB上y）
hh
于是截锥体的体积为
19
证明由平面图形0axb0yf（x）绕y轴旋转所
成的旋转体的体积为
b
V2xf（x）dx
a
证明如图在x处取一宽为dx的小曲边梯形小曲边梯形绕
y轴旋转所得的旋转体的体积近似为
2xf（x）dx这就是体积元素即
dV2xf（x）dx
于是平面图形绕y轴旋转所成的旋转体的体积为
bb
V2xf（x）dx2xf（x）dx
aa
所围成的图形绕y轴旋转所得旋转体的体积
解V2°xsinxdx2oXdcosx2（xcosxsinx）。
22
21计算曲线yInx上相应于「3xJ8的一段弧的长度
解s:
点y2（x）dx皐1（弓臥；^dx
令1x2t即x22
计算曲线y~3（3x）上相应于
1x3的一段弧的长度
所求弧长为
s2：
（依±）dx2（牛仮24X）12/3
弧的长度
（2,
因为
所以
24
弧长
解
s21-12（x1）dx3；：
3x1d（3x1）8[（|）l1]
计算抛物线y22px从顶点到这曲线上的一点Mxy）的
o■■
x（y）dy
I1（P）2dy
十2"—/®n（yy2）]0
y..p2
2p卩
y2
p,nyp2y2
2p
计算星形线xaco$t
用参数方程的弧长公式
s402、x2（t）y2（t）dt
4。
彳[3acos2t（sint）]2[3asin2tcost]2dt
122sintcostdt6a
0
26
终相切
将绕在圆（半径为a）上的细线放开拉直
使细线与圆周始
细线端点画出的轨迹叫做圆的渐伸线它的方程为
xa（costtsint）
y
ya（sinttcost）
[y=应Isin/—fcost）
计算这曲线上相应于t从0变到的一段弧的
/%1J
/;If
/■Ai/
/、
T
长度
〔n
X
解由参数方程弧长公式
so[x（t）]2[y（t）]2dt0（atcost）2（atsint）2dt
atdta2
02
27在摆线xa（tsint）ya（1cost）上求分摆线第
一拱成13的点的坐标
解设t从0变化到to时摆线第一拱上对应的弧长为s（to）则
s（to）[x（t）]2—[y（t）]2dt:
"（1二0旳]厂[asint]2dt
当102时得第一拱弧长s
（2）8a为求分摆线第一拱
为13的点为A（xy）令
用极坐标的弧长公式
按极坐标公式可得所求的弧长
解用极坐标的弧长公式
s2。
_（）2（）d20a2（1cos）2（asin）2d
4acos—d8a
02
习题6
3
1由实验知道弹簧在拉伸过程中需要的力F（单位N
与伸长量s（单位cm）成正比即Fks（k为比例常数）如果把弹簧由原长拉伸6cm计算所作的功
解将弹簧一端固定于A另一端在自由长度时的点0为坐标原点建立坐标系功元素为dWksds所求功为
66
P（x）
W°ksds2ks2018k（牛厘米）
所求功为
4040
W（102）-8°^dx80000・dx800In2（J）
080080
3
（1）证明把质量为m的物体从地球表面升高到h处所作的
功是
wmgRh
Rh
其中g是地面上的重力加速度R是地球的半径
（2）一颗人造地球卫星的质量为173kg在高于地面630km处进入轨道问把这颗卫星从地面送到630的高空处克服地球引力要作多少功已知g98m/s2地球半径R6370km
证明
（1）取地球中心为坐标原点把质量为m的物体升高的功
元素为
dWkM2mdyy
所求的功为
mMh
R（Rh）
方成正比计算物体由x0移至xa时克服媒质阻力所作的功
2
而tC）3所以
c
解因为xct3所以
vx（t）3CX2阻力fkv29kc2t4
424
f（x）9kc2（-）39kc3x'
c
功元素dWf（x）dx所求之功为
2a42727
9kc3x3dxkc3a3
07
5用铁锤将一铁钉击入木板设木板对铁钉的阻力与铁钉击
入木板的深度成正比在击第一次时将铁钉击入木板1cm如
果铁锤每次打击铁钉所做的功相等问锤击第二次时铁钉又击
入多少
解设锤击第二次时铁钉又击入hem因木板对铁钉的阻力f与铁钉击入木板的深度x（cm）成正比即fkx功元素dWfdxkxdx
击第一次作功为
i1
Wkxdx丄k
1o2
击第二次作功为
1h
W21kxdx*k（h22h）
因为WiW2所以有
2k2k（h22h）
解得h.、21（cm）
6设一锥形贮水池深15m口径20m盛满水今以唧
筒将水吸尽问要作多少功
解在水深x处水平截面半径为r10
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