七年级数学下册 96《探索多边形的内角和与外角和》教案 鲁教版.docx

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七年级数学下册96《探索多边形的内角和与外角和》教案鲁教版

2019-2020年七年级数学下册9.6《探索多边形的内角和与外角和》教案鲁教版

教学目标

（一）知识目标

多边形的定义及内角和公式的推导.

（二）能力训练目标

1.经历探索多边形内角和公式的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.

2.探索并了解多边形的内角和公式，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.

（三）情感与价值观目标

1.通过师生共同活动，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神.

2.使学生懂得数学内容普遍存在相互联系，相互转化的特点.

教学重点

多边形的内角和.

教学难点

多边形的内角和的公式推导.

教学方法

启发、讨论式.

教学过程

一、巧设情景问题，引入课题

［师］前面我们学习了三角形、平行四边形，今天我们要学习什么内容呢？

请看大屏幕（出示投影片：

石英钟、六角螺母、五角星、地板砖等）

［师］刚才大家看到许多实物图片，你知道它们各是什么图形？

［生］四边形、五边形、六边形、八边形.

［师］对，这些在日常生活中经常看到的图形，就是我们这节课要研究的内容——多边形（polygon）

二、讲授新课

［师］什么叫多边形呢？

在七年级上册的第一章中曾有这样的定义：

多边形是由一些不在同一直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形.

我们在初中阶段主要探讨的平面几何.所以现在定义的多边形应在同一平面内，即：

在平面内，由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形.

在定义中应注意：

①若干条；②首尾顺次相连，二者缺一不可.

多边形有凸多边形和凹多边形之分，如图.

把多边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的多边形叫做凸多边形（如图

（2））

图

（1）的多边形是凹多边形

我们探讨的一般都是凸多边形.

多边形的边、内角、顶点、对角线、内角和的含义与三角形相同，即：

边：

组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

顶点：

每相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点.

对角线：

在多边形中，连结不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

内角：

多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.

如图

多边形通常以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形.三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.

多边形的表示方法与三角形、四边形类似.可以用表示它的顶点的字母来表示，如可顺时针方向表示，也可逆时针方向表示，如图（3），可表示为五边形ABCDE，也可表示为五边形EDCBA，还可以用下标表示为五边形A1A2A3A4A5，n边形可表示为n边形A1A2A3…An（n≥3的自然数）

三角形可用三条边来表示，四边形可用四条边来表示.n边形呢？

要画多少条边来表示呢？

我们可用虚线表示省略的边，其余的边用实线表示.如上图，就是n边形A1A2A3…An.

n边形有n条边，n个顶点,n个内角.

好，我们了解了多边形的有关概念后，看一幅图及问题（课本P108的图）

（1）上图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角的和吗？

与同伴交流.

（2）小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和.你知道他们是怎么做的吗？

（3）还有其他的方法吗？

（学生讨论、画图、归纳）

［生甲］

（1）求五边形的内角和可以利用量角器测每个内角的度数，然后求出这五个内角的和，即是五边形的内角和为540°.

也可以把五边形分割成三角形，因为三角形的内角和是180°.

［生乙］小明是直接把五边形的五个内角分割在3个三角形中（如图

（1）），每个三角形的内角和是180°，所以五边形的内角和为3×180°=540°.

小亮是在五边形内任意取一个点，然后把五边形分割成五个三角形（如图

（2）），但从图中可以知道，这时多了一个周角，即360°.因此，五边形的内角和为:

180°×5－360°=540°.

［生丙］也可以在五边形的任一条边上取一个点，然后这个点与各顶点连结，这时五边形被分割成四个三角形（如图（3）），但多了一个平角，即180°，因此，五边形的内角和为：

180°×4－180°=540°.

［生丁］在五边形外任取一点，将这点与五边形的各顶点连结起来，这时五边形被分割成四个三角形，此时，从图中可以看出多出一个三角形.因此五边形的内角和为180°×4－180°=540°.

［师］很不错，同学们回答得很好，在求五边形的内角和时，先把五边形转化成三角形.进而求出内角和，这种由未知转化为已知的方法是我们数学中一种非常重要的方法.

下面大家来“想一想”

（出示投影片§9.6B）1.按如下图（5）所示的方法，六边形能分成多少个三角形？

n边形（n是大于或等于3的自然数）呢？

2.你能确定n边形的内角和吗？

［师］同学们可以多画几个边数不一样的多边形，来总结归纳分割多边形的方法.

［生甲］如图（5），从五边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引了两条对角线，这时五边形分成三个三角形；从六边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引了三条对角线，这时六边形分成了四个三角形；从七边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引四条对角线，这时七边形分成了五个三角形.……

从n边形的一个顶点向和它不相邻的顶点引（n－3）条对角线，把n边形分成了（n－2）个三角形.

［生乙］从n边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引（n－3）条对角线，这时n边形被分割成（n－2）个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，所以n边形的内角和为（n－2）·180°.

［师］要求n边形的内角和，关键是将n边形分割转化为有公共顶点的三角形；由三角形的内角和得到n边形的内角和.即：

n边形的内角和为（n－2）·180°.

大家想一想，n边形的内角和公式中，字母n取值有没有范围？

［生］有，必须是大于3的自然数.

［师］对，同学们口答一下：

12边形的内角和是多少呢？

［生齐声］1800°

［师］很好，要求n边形的内角和，只需把n代入内角和公式：

（n－2）·180°，即可算出.

下面大家看大屏幕“想一想”（出示投影片如下）

观察下图中的多边形，它们的边、角有什么特点？

［生］这五个多边形，每个多边形的边都相等，内角也都相等.

［师］很好，在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形，如上图中的多边形分别为：

正三角形、正四边形即正方形、正五边形、正六边形、正八边形.

正多边形都是轴对称图形，边数为偶数的正多边形是中心对称图形.

下面大家想一想，议一议

1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？

2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？

3.正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？

［生甲］一个多边形的边都相等，它的内角也一定都相等，如正三角形、正方形.

［生乙］错的.如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：

一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等.

［生丙］一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等，如：

矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等.

［师］同学们从不同角度进行分析，得到了准确的答案，非常好，接下来看第（3）小题.

［生丁］因为正多边形的每个内角都相等，且它的内角和为（n－2）·180°,所以，正n边形的每个内角为：

·180°.

因此，正三角形的内角是：

正方形的内角是：

·180°=90°

正五边形的内角是：

·180°=108°

正六边形的内角是：

·180°=120°

正八边形的内角是：

·180°=135°.

［师］很好，接下来我们做练习来巩固多边形的内角和公式.

三、课堂练习

（一）课本P110随堂练习

1.如下图.

（1）作多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字母表示出来.

（2）求这个多边形的内角和.

解：

（1）如下图：

过顶点A的对角线是AC、AD、AE.

（2）从

（1）图中可知：

这个六边形被过顶点A的对角线分割成四个三角形，所以，这个多边形的内角和为180°×4=720°.

也可以利用多边形的内角和公式进行计算即：

（6－2）×180°=720°

四、课时小结

本节课我们研究了多边形的定义及其内角和公式，重点探讨了多边形的内角和公式.

即：

n边形的内角和等于（n－2）·180°,它揭示了多边形内角和与边数之间的关系.

五、课后作业

（一）课本习题9.61、2、3

2019-2020年七年级数学下册9.6因式分解

（二）（第1课时）教案苏科版

一、教学目标：

1.使学生进一步理解因式分解的意义.

2.使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征.

3.会运用平方差公式分解因式.

4.通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力.

5.感受整式乘法和分解因式矛盾的对立统一观点.

6.培养学生积极主动参与探索的意识以及观察能力.

7.感悟换元的思想方法.

说明以前学习运用公式法分解因式，主要的评价手段是能否牢记公式的特点，在运用公式解题时过分地追求问题的熟练和技巧，无形之中影响了学生学习数学的兴趣和信心.现在我们试图先通过对具体的数字运算或简单图形的面积计算让学生对公式有一个感性认识，让学生在与同伴交流中思考、感悟，使学生内心产生解决问题的欲望，从而进一步上升到理性认识.这种设计更符合学生从“特殊到一般”、从“具体到抽象”的认知特点.

二、教学重点、难点：

1.理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征.

2.会运用平方差公式对某些多项式进行分解因式

三、教具、学具：

投影仪、条件较好的使用多媒体演示

四、教学过程：

（一）设置情景：

情景1：

小组讨论：

992－1是100的整数倍吗？

你是怎样想的？

说明：

学生可能直接计算出结果，应予以肯定.在这儿可以设计系列问题予以引导：

1.判断某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？

如：

12是3的整数倍吗？

（学生知道就是把12分解因数.）

2.类似地要判断992－1是100的整数倍呢？

也可以想到尝试分解.

3.992－1可以写成（99+1）（99－1）吗？

为什么可以这么写？

9992－1可以吗？

4.a2－1可以写成（a+1）（a－1）吗？

5.a2－4可以写成乘积形式吗？

你认为可以写成什么样子呢？

6.a2－b2呢？

情景2：

和老师比一比，看谁算的又快又准确：

572－562962－952

（）2－（）2

说明：

算式的设计要体现出运用分解计算的简便性，以激发学生的好奇心和求知欲.

问：

为什么你们没有老师算的快呢？

你想知道老师是怎么计算的吗？

思考：

在以上的这些算式中，你发现他们有什么共同点？

用自己的语言说一说.

情景3：

计算图中的阴影部分面积（用a、b的代数式表示）

问题一：

整体计算可以怎样表示？

问题二：

分割成如图两部分可以怎样计算？

问题三：

比较两种计算的结果你有什么发现？

说明：

学生可能先分割再整体得出：

（a+b）（a－b）=a2－b2

（1）

也有的是先整体再分割得出a2－b2=（a+b）（a－b）

（2）

两种形式加以比较进一步明确整式乘法和因式分解的关系.

思考：

1.对于

（1）式从左边到右边的变形叫什么？

2.对于

（2）式从左边到右边的变形叫什么？

3.我们已经学习提公因式法分解因式.在

（2）式的左边有公因式吗？

但它写成右边的形式是分解因式吗？

可见，没有公因式的某些多项式也可以用别的方法分解.

（二）平方差公式的特征辨析：

把乘法公式（a+b）（a－b）=a2－b2反过来得：

a2－b2=（a+b）（a－b）

我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式.这种方法叫运用平方差公式法.

[议一议]：

下列多项式可以用平方差公式分解吗？

（1）x2－y2

（2）x2+y2（3）－x2－y2

（4）－x2+y2（5）64－a2（6）4x2－9y2

说明：

这里是学生自主辨析公式特点的好机会，一定让学生自己讨论，只要能辨别哪些能用公式就可以，教师在具体使用时，可以先出示前面4道题，为了降低难度可以先把第5题写为82－a2然后改写成64－a2形式，让学生体会转化的数学思想.对于最后一题若学生对幂的运算较生疏，可以适当补充练习，如：

填空：

4a2=（）2b2=（）2x2y2=（）2.进而让学生自己体会公式中的a与b可以表示一个数，也可以表示一个式子，渗透换元的思想方法.最后，教师可以用简练的语言总结平方差公式的特点：

1.左边特征是：

二项式，每项都是平方的形式，两项的符号相反.

2.右边特征是：

两个二项式的积，一个是左边两项的底数之和，另一个是这两个底数之差.

3.在乘法公式中，平方差是指计算的结果，在分解因式时，平方差是指要分解的多项式.

（三）例题教学

例1把下列多项式分解因式：

（1）36－25x2

（2）16a2－9b2

分析：

观察是否符合平方差公式的形式，应引导学生把36、25x2、16a2、9b2改写成62、（5x）2、（4a）2和（3b）2形式，能否准确的改写是本题的关键.

解：

36－25x2=62－（5x）2

=（6+5x）（6－5x）

16a2－9b2=（4a）2－（3b）2

=（4a+3b）（4a－3b）

说明：

（1）对于多项式中的两部分不是明显的平方形式,应先变形为平方形式,再运用公式分解,以免出现16a2－9b2=（16a+9b）（16a－9b）的错误.

（2）在此还要提醒防止出现分解后又乘开的现象，这是旧知识的“倒摄作用”所引起的现象.

例2如图，求圆环形绿化区的面积.

解：

352π－152π

=π（352－152）

=（35+15）（35－15）π

=50×20π

=1000π（m2）

这个绿化区的面积是1000πm2

说明：

在这里列出算式后可以让学生自己讨论怎么计算，要让学生解释他的解法，可能解释为逆运用乘法结合律，也可能解释为合并同类项，都要予以肯定，在这儿不要怕浪费时间，通过比较得出上述解法和前一节的提取公因式是一致的，从而为分解因式的一般步骤打下伏笔，即：

先提公因式，再运用公式.

例3把下列多项式分解因式：

1.（x+p）2－（x+q）22.9（a+b）2－4（a－b）2

分析：

在这里，尤其要重视对运用平方差公式前的多项式观察和心算，而后是进行变形.这一点在这儿尤为重要.

解：

（x+p）2－（x+q）2

=[（x+p）+（x+q）][（x+p）－（x+q）]

=（2x+p+q）（p－q）

9（a+b）2－4（a－b）2

=[3（a+b）]2－[2（a－b）]2

=[3（a+b）+2（a－b）][3（a+b）－2（a－b）]

=（5a+b）（a+5b）

说明：

设计本题的目的是让学生加深平方差公式中的a、b不仅可以表示数字、单项式，也可以是多项式，进一步渗透整体、换元的思想.

例4.（供选择）观察下列算式回答问题：

32－1=8

52－1=24=8×3

72－1=48=8×6

92－1=80=8×10

………

问：

根据上述的式子，你发现了什么？

你能用自己的语言表达你所发现的结论吗？

你能用数学式子来说明你的结论是正确的吗？

解：

任意一个奇数的平方与1的差是8的整数倍.

（2n+1）2－1=[（2n+1）+1][（2n+1）－1]

=（2n+2）·2n

=2（n+1）·2n

=4n（n+1）

因为n是整数，所以n、n+1是两个连续的整数，而两个连续的整数一定有一个是偶数，即n（n+1）是2的倍数，因此4n（n+1）是8的倍数.

（四）练习

1.下列分解因式是否正确：

（1）－x2－y2=（x+y）（x－y）

（2）9－25a2=（3+25a）（3+25b）

（3）－4a2+9b2=（－2a+3b）（－2a－3b）

2.把下列各式分解因式：

（1）36－x2

（2）a2－b2（3）x2－16y2

（4）x2y2－z2（5）（x+2）2－9（6）（x+a）2－（y+b）2

（7）25（a+b）2－4（a－b）2（8）0.25（x+y）2－0.81（x－y）2

3.在边长为16.4cm的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm的正方形，求余下的纸片的面积.

4.已知x2－y2=－1，x+y=，求x－y的值.

（五）小结

学生自己说出通过本节课的学习进一步理解了整式的乘法与因式分解的关系.能用自己的语言说出平方差公式的特点.能体会出公式中的字母a、b不仅可以表示数字，而且可以是单项式、多项式.

（六）作业

1.课本P95习题9.6第一题.

2.课本P95习题9.6第二题.

3.课本P95习题9.6第六题的第一题

选做

利用因式分解计算：

（1）

（2）（1－）（1－）（1－）…（1－）（1－）

（3）已知：

4m+n=90，2m－3n=10，求（m+2n）2－（3m－n）2的值.