初中数学竞赛复习资料排列与组合问题含答案解析.docx

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初中数学竞赛复习资料排列与组合问题含答案解析

2020年初中数学竞赛复习资料：

排列与组合问题

一．选择题（共19小题）

1．某学校从三楼到四楼的楼梯共9级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从三楼到四楼用7步走完，则方法有（　　）

A．21B．28C．35D．36

2．某校九年级6名学生和1位老师共7人在毕业前合影留念（站成一行），若老师站在中间，则不同的站位方法有（　　）

A．6种B．120种C．240种D．720种

3．仪表板上有四个开关，每个开关只能处于开或者关状态，如果相邻的两个开关不能同时是开的，那么所有不同的状态有（　　）

A．6种B．7种C．8种D．9种

4．两本不同的语文书、两本不同的数学书和一本英语书排放在书架上，若同类书不相邻，英语书不放在最左边，则排法的种数为（　　）

A．32B．36C．40D．44

5．甲乙丙丁四位同学站成一横排照相，如果任意安排四位同学的顺序，那么恰好甲乙相临且甲在乙左边的概率是（　　）

A．B．C．D．

6．设（2x﹣1）5＝a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5．则a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5＝（　　）

A．﹣1B．1C．﹣243D．243

7．现有1、2、3、4、5共五个数，从中取若干个数分给A、B两组，两组都不能放空，要使得B组中最小的数比A组中最大的数都大，则有（　　）种分配方法．

A．44B．49C．51D．32

8．将1，2，3，4，5，6，7，8这8个数排成一行，使8的两边各数的和相等，则不同的排列方法有（　　）

A．1152种B．576种C．288种D．144种

9．如图所示，韩梅家的左右两侧各摆了3盆花，韩梅每次按照以下规则往家中搬一盆花，先选择左侧还是右侧，然后搬该侧离家最近的，要把所有的花搬到家里，共有（　　）种不同的搬花顺序．

A．8B．12C．16D．20

10．一椭圆形地块，打算分A、B、C、D四个区域栽种观赏植物，要求同一区域种同一种植物，相邻的两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，那么有（　　）种栽种方案．

A．60B．68C．78D．84

11．从装有7种颜色每色77个球的袋中摸球出来，摸时没法判断颜色，要确保摸出的球装满7盒，每盒7个球，盒中的球同色，则至少需要摸出（　　）个球．

A．85B．84C．71D．50

12．若（x2+x+1）6＝a12x12+a11x11+a10x10+…+a1x+a0，则a11+a9+a7+a5+a3+a1＝（　　）

A．364B．365C．730D．728

13．在所有六位数中，各位数字之和等于52的六位数有（　　）

A．2个B．12个C．21个D．31个

14．用数码2、4、5、7组成的四位数中，每个数码只出现一次．将所有这些四位数从小到大排列，则排在第13个的四位数是（　　）

A．4527B．5247C．5742D．7245

15．在圆形的钥匙圈上挂了5把不同的钥匙，则不同顺序的排法有（　　）

A．5种B．10种C．12种D．24种

16．在体育活动中，初二

（1）班的n个学生围成一圈做游戏，与每个学生左右相邻的两个学生的性别不同．则n的取值可能是（　　）

A．43B．44C．45D．46

17．有四对夫妇参加一次乒乓球单打训练，训练中某些人两两打球（夫妻之间不打球），训练完后，其中一位李先生打听其余每个人参加打球的次数，知他们打球的次数各不相同，则李夫人打球的次数为（　　）

A．1B．3C．4D．6

18．某校某天上午要排数学、语文、外语、体育四节课的课表，数学只能排第一、二节，语文只能排第二、三节，外语必须排在体育前面，满足以上要求的课表排法有（　　）

A．1种B．2种C．3种D．4种

19．电话号码由5位变成6位，可以增加（　　）个不同的号码．

A．90万B．60万C．50万D．110万

二．填空题（共30小题）

20．有一个7级台阶，小明每一步走1级台阶或者是2级台阶，则小明走完7级台阶一共有　　种不同的走法．

21．某单位职工参加市工会组织的健身操比赛进行列队，已知6人一列少2人，5人一列多2人，4人一列不多不少，请问这个单位参加健身操比赛的职工至少有　　人．

22．一楼梯共有n级台阶，规定每步可以迈1级台阶或2级台阶或3级台阶，设从地面到第n级台阶所有不同的走法为M种．

（1）当n＝2时，M＝　　种；

（2）当n＝7时，M＝　　种．

23．如图，图中平行四边形共有的个数是　　．

24．从6名男生中选出4人，从4名女生中选出2人站成一排，并要求两名女生必须相邻，则共有　　种安排方案

25．在表达式S＝中，x1、x2、x3、x4是1、2、3、4的一种排列（即：

x1、x2、x3、x4取1、2、3、4中的某一个数，且x1、x2、x3、x4互不相同）．则使S为实数的不同排列的种数有　　种．

26．（x+y+z）4的乘积展开式中数字系数的和是　　．

27．从1000到9999中，四位数码各不相同，且千位数与个位数之差的绝对值为2的四位数有　　个．

28．如图，有20枚铁钉钉成十字图案，任选4枚铁钉用橡皮圈绷紧，使成为正方形．这样一共可以绷成　　个不同的正方形．

29．小张购买了同样件数的圆珠笔、铅笔和塑胶擦三种学习用具，各件用具的款式都不相同．如果小张能在同一年内每天都有不同样的圆珠笔、铅笔和塑胶擦配套使用，那么，他购买每种学习用具至少　　件．

30．将正整数1，2，…，10分成A、B两组，其中A组：

a1，a2，…，am；B组：

b1，b2，…，bn．现从A、B两组中各取出一个数，把取出的两个数相乘．则所有不同的两个数乘积的和的最大值为　　．

31．欧锦赛共有16支球队参赛，先平均分成四个小组，每个小组进行单循环比赛（即每个队都与其他三个队各赛一场），选出2个优胜队进入8强；这8支球队再分成甲、乙两组进行单循环赛，每组再选出2个优胜队进入4强；这4支球队，甲组的第一名对乙组的第二名，甲组的第二名再对乙组的第一名，两个胜队进入决赛争夺亚军，两个输队再夺三、四名，则欧锦赛共赛　　场．

32．给你0、1、2、3，最多可组成　　个四位数．（注：

各数位上的数字允许相同）

33．红领巾春节慰问小组在确定敬老院的演出节目单时，遇到如下问题：

除夕夜的演出有唱歌、舞蹈、杂技、小品4个节目．如果要求唱歌不排在第4个演出，舞蹈不排在第3个演出，杂技不排在第2个演出，小品不排在第1个演出．那么，满足上述要求的节目单，共有　　种不同的排法．

34．在平面上放置四个点，两两连接所成六条线段，其中最大线段长为1，最小线段长为a，则所有满足上述条件排布的四个点中，a所取的最大值是　　．

35．10张卡片上分别写有0到9这10个数，先将它们从左到右排成一排，再采用交换相邻两张卡片位置的方法对它们进行操作，规则如下：

当相邻两张卡片左边卡片上的数比右边卡片上的数大时，交换它们的位置，否则不进行交换．若规定将相邻两张卡片交换一次位置称为1次操作，那么无论开始时这10张卡片的排列顺序如何，至多经过　　次操作，就能将它们按从小到大的顺序排列．

36．在4×4的正方形网格棋盘中，放入黑、白各一枚，共有　　种不同的放法．

37．有一人利用休假的四个城市a、b、c、d旅游，他今天在这个城市，明天又到另一个城市，请问该同志从a城出发5天后又回到a城的不同旅游线路有　　条．

38．用三个数码1和三个数码2可以组成　　个不同的四位数．

39．某校6个班级举行象棋比赛，比赛规定每班各选出3人参加本班单循环赛，然后每班第一名代表该班参加全校的单循环赛，则共需要举行　　场比赛才能决出名次．

40．在±1±2±3±5±20中，适当选择+、﹣号，可以得到不同代数和的个数是　　．

41．平面上n条直线，它们恰有2002个交点，n的最小值是　　．

42．将2个相同的黑球和11个相同的白球排在一个圆周上，共有　　种不同的排法．（旋转，翻转相同的方法算同一种）

43．如图，数一数，图中共有多少个（包含大小不同的）正方形？

答案　　．

44．1～8八个数排成一排，要求相邻两个数字互质，可以有　　种排法．

45．如下图，是用木条做成的小正方形窗格，一个小虫子从A点以最短距离沿窗格的木条爬行到B点，则有　　条不同的爬行路线．

46．一个楼梯共有10级台阶．规定每步可以上一级或二级台阶，最多可以上三级台阶．从地面到最高一级，一共有　　种不同的上法．

47．把7本不同的书分给甲、乙两人，甲至少要分到2本，乙至少要分到1本，两人的本数不能只相差1，则不同的分法共有　　种．

48．如图，在平面直角坐标系中有一个正方形ABCD，它的4个顶点为A（10，0），B（0，10），C（﹣10，0），D（0，﹣10），则该正方形内及边界上共有　　个整点（即纵横坐标都是整数的点）．

49．小虎训练上楼梯赛跑，他每步可上1阶或2阶或3阶，这样上到第16阶但不踏到第7阶和第15阶，那么不同上法共有　　种．

三．解答题（共1小题）

50．世界杯足球赛每个小组共有四个队参加比赛，采用单循环赛制（即每两个队之间要进行一场比赛），每场比赛获胜的一方得3分，负的一方得0分，如果两队战平，那么双方各得1分，小组赛结束后，积分多的前两名从小组出线．如果积分相同，两队可以通过比净胜球或其他如抽签等方式决定谁是第二名，确保有两支队伍出线．

（1）某队小组比赛后共得6分，是否一定从小组出线？

（2）某队小组比赛后共得3分，能从小组出线吗？

（3）某队小组比赛后共得2分，能从小组出线吗？

（4）某队小组比赛后共得1分，有没有出线的可能？

2020年初中数学竞赛复习资料：

排列与组合问题

参考答案与试题解析

一．选择题（共19小题）

1．某学校从三楼到四楼的楼梯共9级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定从三楼到四楼用7步走完，则方法有（　　）

A．21B．28C．35D．36

【分析】先判断出有两次一步走2级，进而分情况统计即可得出结论．

【解答】解：

从三楼到四楼的楼梯共9级且规定从三楼到四楼用7步走完，

所以，有两次必须一步两级，其余每级一步，

当第一、二级作为一步时，

第三、四作为一步或第四、五作为一步或第五、六作为一步或第六、七作为一步或第七、八作为一步或第八、九作为一步，共6种，

当第二、三级作为一步时，

第四、五作为一步或第五、六作为一步或第六、七作为一步或第七、八作为一步或第八、九作为一步，共5种，

当第三、四级作为一步时，

第五、六作为一步或第六、七作为一步或第七、八作为一步或第八、九作为一步，共4种，

当第四、五级作为一步时，

第六、七作为一步或第七、八作为一步或第八、九作为一步，共3种，

当第五、六级作为一步时，

第七、八作为一步或第八、九作为一步，共2种，

当第六、七级作为一步时，

第八、九作为一步，共1种，

所以，走完台阶数的方法有：

6+5+4+3+2+1＝21种，

故选：

A．

【点评】此题是排列与组合问题，主要考查了分类讨论是思想，判断出有两次每一步需走两级是解本题的关键．

2．某校九年级6名学生和1位老师共7人在毕业前合影留念（站成一行），若老师站在中间，则不同的站位方法有（　　）

A．6种B．120种C．240种D．720种

【分析】分为六步，第一位同学有6种选择方法，第二名同学有5种选法，第三名同学有4种选法，第四名同学有3种选法，第五名同学有2种选法，第六名同学有1种选法，据此可得答案．

【解答】解：

老师在中间，故第一位同学有6种选择方法，第二名同学有5种选法，第三名同学有4种选法，第四名同学有3种选法，第五名同学有2种选法，