医用物理学陈仲本第六章课后习题答案.docx

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医用物理学陈仲本第六章课后习题答案

第六章磁场

通过复习后，应该:

1.掌握磁感应强度、毕奥-萨伐尔定律、洛伦兹力、霍尔效应、安培力、磁场对载流线圈的作用、物质的磁性和磁化、电磁感应定律;

2.理解几种电流的磁场、安培环路定理、质谱仪、超导体及其抗磁性、感生电动势、自感现象;

3.了解磁场中的高斯定理、电磁流量计、超导磁体、人体生物磁场、涡旋电场。

6-1一个半径为0.2m、阻值为200Ω的圆形电流回路，接12V的电压，求回路中心处的磁感应强度。

解:

已知半径r=0.2m，电源电压U=12V，圆形回路的电阻R=200Ω，根据欧姆定律，可求得回路的电流为

I=U/R=12/200A=0.06A

由圆形电流磁场公式，可得回路中心处的磁感应强度为

6-2一根长直导线上载有电流100A，把它放在50G的均匀外磁场之中，并使导线与外磁场正交，试确定合成磁场为零的点到导线的距离。

解:

长直载流导线产生的磁场，其磁感线是一些围绕导线的同心圆，在导线周围总有一点A，其磁感强度与外磁场的磁感应强度大小相等、方向相反，该点的合磁场为零。

已知I=100A，B=50G=5.0×10-3T，根据长直载流导线磁场公式，可得A点离导线的距离a为

6-30.4m长的细管上绕有100匝导线，其电阻为3.14Ω，欲在螺线管内获得200G的磁感应强度，需外加电压多少伏?

解:

已知螺线管单位长度上的线圈匝数n=100/0.4=250匝·米-1，B=200G=2×10-2T，根据螺线管电流磁场公式B=μ0nI，可得螺线管通过的电流为

已知线圈电阻R=3.14Ω，根据欧姆定律可计算出需加的外电压为

U=IR=2/π×102×3.14V=200V

6-4一平面上有两个同心的圆形回路，用相同电动势的电池（内阻忽略不计），通过相反方向的电流，使在中心处产生的磁感应强度为零，已知外圆用铜线，其电阻率为1.7×10-6Ω·cm，内圆用铝线，电阻率为2.8×10-6Ω·cm，这些导线的截面积相同，外圆直径为200cm，求内圆的直径。

解:

设外圆和内圆的半径分别为r1、r2，则外圆和内圆的导线长分别为L1=2πr1，L2=2πr2；它们的电阻率分别为ρ1、ρ2，已知两导线截面积相同，设为S，则由电阻公式可得两圆导线电阻R1和R2分别为

R1=ρ1L1/S=2πr1ρ1/SR2=2πr2ρ2/S

因为两圆导线上加的电压相同，设为U，则它们通过的电流分别为

I1=U/R1=US/（2πr1ρ1）I2=US/（2πr2ρ2）

由圆形电流磁场公式可得外圆和内圆产生的磁感应强度B1和B2分别为

因为圆心处的磁感强度为零，故B1与B2方向相反、大小相等，即B1=B2，则由上面两式可得

又知r1=1/2×200cm=100cm，ρ1=1.7×10-6Ω·cm，ρ2=2.8×10-6Ω·cm，则由上式可得内圆半径为

由此可得内圆的直径为

d=2r2=2×78cm=156cm

6-5电流I=20A，流过半径R2=0.05m的金属薄圆筒，再从圆筒轴线的细导线流回来，细导线的半径R1=1.0×10-3m，筒的长度为l=20m。

求：

①筒中离轴线0.02m处P点的B值；②筒外离轴线0.10m处Q点的B值（P、Q点均位于筒的中部）。

习题6-5附图（a）习题6-5附图（b）

解:

①由于筒长20m，远大于0.02m和0.10m，故可看作成无限长。

如附图所示，在垂直于圆筒轴线的平面上，以0.02m为半径以轴线为圆心过P点作一圆CP，作为积分回路，由于磁场方向与圆CP的切线方向相同，故θ=0°，cosθ=1，且由于对称分布，在圆CP上B值处处相同，应用安培环路定理得

B·2πr=μ0I

已知r=0.02m，I=20A，μ0=4π×10-7T·m·A-1，则由上式得

②同理，以轴为圆心，0.1m为半径，过Q点作一圆CQ，作为积分闭合回路，由安培环路定理得

故筒外Q点的B=0。

6-6一根载有电流I的无限长直导线，在一处分为对称的两路又合而为一，这两路均为半径为R的半圆（见本题附图），求圆心处的磁感应强度。

解:

由图可知，所求圆心O处的磁感应强度为直线电流与圆弧电流产生的磁场B1、B2的矢量和。

先讨论直线电流产生的磁场B1。

由于其上的任一电流元Idl与该电流元到O点的矢径r在一条直线上，sinα=0，由毕奥-萨伐尔定律知，故B1=0。

再考虑两段半圆弧电流产生的磁场。

由于电路的对称性，上下两段电路中电流相等，且I'=I/2。

在上圆弧A点取一电流元I'dl。

在下圆弧对应的A'点也同样取电流元I'dl（见附图）。

由毕奥-萨伐尔定律知，这两小段电流元在圆心O处产生的磁场大小相等，但方向相反（由右手螺旋法则可判定），因此两段圆弧产生的磁场恰好互相抵消，由于圆弧电路的对称性，其他对应的两小段圆弧在O处产生的磁感应强度也恰好互相抵消，因此B2=0。

由上面的讨论可知，圆心处的磁感应强度为零。

习题6-6附图

6-7如果一个电子在通过空间某一区域时，不发生偏转，能否肯定这个区域中没有磁场?

为什么?

答:

运动电荷在磁场中将要受到一个磁场力的作用，其大小为F=qvBsinθ。

可见F除了与q、v、B有关外，还与v和B的夹角θ有关，当电子以顺着或逆着磁场方向通过磁场时，θ=0°或θ=180°，F=0，电子将不受力。

所以当电子不偏转时，不能肯定这个区域中没有磁场。

6-8一均匀磁场的磁感应强度的方向垂直向下，如果有两个电子以大小相等，方向相反的速度沿水平方向同时射入磁场，问这两个电子作何运动?

如果一个是正电子，一个是负电子，它们的运动又如何?

答:

它们将在洛伦兹力的作用下，作圆周运动。

由于它们的速度大小相同，方向相反，所受的洛伦兹力相等，方向相反，所以它们圆周运动的半径、周期相等，但一个是逆时针方向运动，另一个是顺时针方向运动。

如果一个是正电子，一个是负电子，则两者所受的洛伦兹力相等，方向相同，它们作同方向、同半径、同周期的圆周运动。

6-9一个典型的氢离子（质子）在室温下的速度为300m·s-1，如果地磁场是1G，那么作用在氢离子上的最大磁场力是多少?

解:

已知q=1.6×10-19C，v=300m·s-1，B=1G=10-4T，由洛伦兹力公式F=qvBsinθ可知，在q、v、B一定的情况下，当θ=π/2时，F最大，这时离子受到的最大磁场力为

Fmax=qvB=1.6×10-19×300×10-4N=4.8×10-21N

6-10彼此相距10cm的三根平行长直导线，各通有10A同方向的电流，试求各导线上每1cm上所受的作用力的大小和方向。

解:

彼此相距10cm的A、C、D三根平行导线不在一个平面内，其水平俯视投影图为边长0.1m的等边三角形，如本题附图所示。

各导线的电流I=10A，且方向相同，假设电流方向指向纸里（即三导线均垂直于纸面）。

先来讨论导线A所受的力和方向。

长直载流导线产生的磁感应线是以导线为中心的一些同心圆，C导线在A导线处产生的磁感应强度B1，应垂直于CA边，D导线在A处产生的磁感应强度B2，应垂直于DA边。

根据长直电流磁场公式，B1和B2大小相等，其数值均为

由附图等边三角形的几何关系可知，B1和B2的夹角α=60°，其合磁场B的方向平行于底边CD，大小为

导线A所受的力，用安培力公式（F=IBLsinθ）

计算，因为合磁感应强度与A导线垂直，θ=π/2，

所以A导线1cm（0.01m）长度上所受的力为

F1=BIL=2×10-5×10×0.01N≈3.46×10-6N

如附图所示，F1的方向指向三角形的重心。

同理，可求得C、D导线所受力的大小等于F1，方向也是指向重心。

如果三条导线中，有一条导线的电流方向与另外两条导线电流方向相反，结果又是怎样?

请读者自行分析。

习题6-10附图

6-11电流元Idl在空间某点产生的磁感应强度与哪些因素有关?

其方向如何确定?

答:

根据毕奥-萨伐尔定律可知，电流元Idl在空间某点产生的磁感应强度dB与Idl成正比，与dl和r之间小于180°的夹角α的正弦成正比，与Idl到该点的距离r平方成反比。

其方向由右手螺旋法则确定，拇指与四指垂直，四指从Idl经小于180°的角转向r时，则伸直拇指所指的方向即代表dB的方向。

6-12在利用磁场聚焦中，电子在B=2×10-3T的磁场中沿半径为2cm的螺旋线运动，螺距为5cm，求电子的速度。

解:

已知B=2×10-3T，h=5cm=5×10-2m，m=9.1×10-31kg，q=1.6×10-19C，根据磁场聚焦的螺距公式h=2πmvcosθ/（qB）可得

vcosθ=qBh/（2πm）=（1.6×10-19×2×10-3×5×10-2）/（2×3.14×9.1×10-31）m·s-1

≈2.8×106m·s-1

在磁场聚焦中，θ一般都比较小，vcosθ≈v，即电子的速度v≈2.8×106m·s-1。

6-13有一均匀磁场，B=200G，方向垂直于纸面向里，电子的速度为107m·s-1，方向平行纸面向上，如果要保持电子作匀速直线运动，应加多大的电场，其指向什么方向?

解:

由题意可知，电子将受到一个向右的洛伦兹力作用，要想让电子作匀速直线运动（其运动方向与电流方向相反），可加一向右的电场，使之对电子产生一个方向向左的电场力F2=Eq，其大小等于向右的洛伦兹力F1=qvB，即

Eq=qvB

已知B=200G=2×10-2T，v=107m·s-1，由上式可得电场强度为

E=vB=107×2×10-2N·C-1=2×105N·C-1

6-14把厚度为1.0mm的铜片放于B=1.5T的磁场中，磁场垂直通过铜片，如果铜片载有200A的电流，已知铜的电子密度n=8.4×1028m-3，求：

①铜片上下两侧的霍尔电势差；②铜片的霍尔系数。

解:

①已知d=1mm=10-3m，B=1.5T，I=200A，根据霍尔电势差公式得

U=kIB/d=（7.44×10-11×200×1.5）/10-3V=2.23×10-5V=22.3μV

可见，铜的霍尔电势差很小，主要是因为铜的电子数密度大，导致霍尔系数很小。

②已知电子的电量q=1.6×10-19C，铜的电子数密度n=8.4×1028m-3，代入霍尔系数公式得

k=1/（nq）=1/（8.4×1028×1.6×10-19）m3·C-1=7.44×10-11m3·C-1

6-15有三种不同材料的导电薄片，它们的载流子浓度之比为1∶2∶3，厚度之比为1∶2∶3，当通过它们的电流相同，垂直于它们的磁场B也相同时，求它们的霍尔电势差之比。

解:

根据霍尔电势差公式，可得三种材料的霍尔电势差之比为

已知I1=I2=I3，B1=B2=B3，n1∶n2∶n3=1∶2∶3，d1∶d2∶d3=1∶2∶3，代入上式得

U1∶U2∶U3=1∶∶

6-16把直径为0.5cm的血管放在电磁流量计的磁极N、S之间，B=300G，测得感应电压为1.5×10-5V，求:

①血管中血流的平均速度;②血流以平均速度流动时的血流量。

解:

①已知D=0.5cm=5×10-3m，U=1.5×10-5V，B=300G=3×10-2T，代入电磁流量法的血流平均速度公式得

②血流量Q应等于v与血管横截面积S之积，即

6-17一半圆形闭合线圈，半径R=10cm，通以电流I=10A，放在