高中数学人教A必修一《单调性与最大小值第一课时》学案设计.docx

高中数学人教A必修一《单调性与最大小值第一课时》学案设计.docx

《高中数学人教A必修一《单调性与最大小值第一课时》学案设计.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A必修一《单调性与最大小值第一课时》学案设计.docx（10页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中数学人教A必修一《单调性与最大小值第一课时》学案设计

第一章　集合与函数概念

1.3　函数的基本性质

1.3.1　单调性与最大（小）值（第一课时）

学习目标

①使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法;

②通过对函数单调性定义的探究,渗透数形结合的数学思想方法,培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力;通过对函数单调性的证明,提高学生的推理论证能力;

③通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯,让学生经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程.

合作学习

一、设计问题,创设情境

德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯（HermannEbbinghaus,1850~1909）,他以自己为实验对象,共做了163次实验,每次实验连续要做两次无误的背诵.经过一定时间后再重学一次,达到与第一次学会的同样的标准.他经过对自己的测试,得到了一些数据.

时间间隔t

0分钟

20分钟

60分钟

8~

9小时

1天

2天

6天

一个月

记忆量y

（百分比）

100%

58.2%

44.2%

35.8%

33.7%

27.8%

25.4%

21.1%

　　观察这些数据,可以看出:

记忆量y是时间间隔t的函数.当自变量（时间间隔t）逐渐增大时,你能看出对应的函数值（记忆量y）有什么变化趋势吗?

描出这个函数图象的草图（这就是著名的艾宾浩斯曲线）.从左向右看,图象是上升的还是下降的?

你能用数学符号来刻画吗?

通过这个实验,你打算以后如何对待刚学过的知识?

二、自主探索,尝试解决

记忆量y随时间间隔t的增大而增大;以时间间隔t为x轴,以记忆量y为y轴建立平面直角坐标系,描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图所示.

遗忘曲线是一条衰减曲线,它表明了遗忘的规律.随着时间的推移,记忆保持量在递减,刚开始遗忘速度最快,我们应利用这一规律,在学习新知识时一定要及时复习巩固,加深理解和记忆.

问题1:

如图所示为一次函数y=x、二次函数y=x2和y=-x2的图象,它们的图象有什么变化规律?

这反映了相应的函数值的哪些变化规律?

问题2:

函数图象上任意点P（x,y）的坐标有什么意义?

问题3:

如何理解图象是上升的?

问题4:

在数学上规定:

函数y=x2在区间（0,+∞）上是增函数.谁能给出增函数的定义?

三、信息交流,揭示规律

1.增函数的定义

问题5:

增函数的定义中,把“当x1x2时,都有f（x1）>f（x2）”,这样行吗?

问题6:

增函数的定义中,“当x1

函数的图象有什么特点?

问题7:

类比增函数的定义,请给出减函数的定义及其几何意义?

2.减函数的定义

减函数的几何意义:

问题8:

函数y=f（x）在区间D上具有单调性,说明了函数y=f（x）在区间D上的图象有什么变化趋势?

四、运用规律,解决问题

【例1】如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f（x）,根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

【例2】物理学中的玻意耳定律p=

（k为正常数）告诉我们,对于一定量的气体,当其体积V减少时,压强p将增大.试用函数的单调性证明之.

【例3】

（1）画出已知函数f（x）=-x2+2x+3的图象;

（2）证明函数f（x）=-x2+2x+3在区间（-∞,1]上是增函数;

（3）当函数f（x）在区间（-∞,m]上是增函数时,求实数m的取值范围.

五、变式演练,深化提高

1,已知函数f（x）是R上的增函数,设F（x）=f（x）-f（a-x）.

（1）用函数单调性定义证明F（x）是R上的增函数;

（2）证明函数y=F（x）的图象关于点（

0）成中心对称图形.

2.

（1）写出函数y=x2-2x的单调区间及其图象的对称轴,观察:

在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

（2）写出函数y=|x|的单调区间及其图象的对称轴,观察:

在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

（3）定义在[-4,8]上的函数y=f（x）的图象关于直线x=2对称,y=f（x）的部分图象如图所示,请补全函数y=f（x）的图象,并写出其单调区间,观察:

在函数图象对称轴两侧的单调性有什么特点?

（4）由以上你发现了什么结论?

试加以证明.

3.已知f（x）是定义在（0,+∞）上的减函数,若f（2a2+a+1）

六、反思小结,观点提炼

1.本节课你有哪些收获?

函数的单调性概念明白了吗?

常用的判断、证明方法有哪些?

2.你对自己本节课的表现有何评价?

3.你在与同学的交流中有何感受?

4.你对本节课还有哪些困惑和建议?

七、作业精选,巩固提高

课本P39习题1.3A组第2,3,4题.

参考答案

　　问题1:

函数y=x的图象从左向右看是上升的;函数y=x2的图象在y轴左侧是下降的,在y轴右侧是上升的;函数y=-x2的图象在y轴左侧是上升的,在y轴右侧是下降的.

问题2:

函数图象上任意点P的坐标（x,y）的意义:

横坐标x是自变量的取值,纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小.

问题3:

按从左向右的方向看函数的图象,意味着图象上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大.图象是上升的意味着图象上点的纵坐标逐渐变大,也就是对应的函数值逐渐增大.也就是说从左向右看图象上升,反映了函数值随着自变量的增大而增大.

问题4:

增函数定义

一般地,设函数f（x）的定义域为I:

如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1

问题5:

可以.增函数的定义:

由于当x1x2时,都有f（x1）>f（x2）”都是相同的不等号“>”,也就是说前面是“>”,后面也是“>”,步调一致.因此我们可以简称为:

步调一致增函数.

问题6:

函数值随着自变量的增大而增大;从左向右看,图象是上升的.

2.减函数定义（板书）

一般地,设函数f（x）的定义域为I,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1f（x2）,那么就说函数f（x）在区间D上是减函数.简称为:

步调不一致减函数.

减函数的几何意义:

从左向右看,图象是下降的.函数值变化趋势:

函数值随着自变量的增大而减小.

问题8:

函数y=f（x）在区间D上函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大（减小）,几何意义:

从左向右看,图象是上升（下降）的.

四、运用规律,解决问题

【例1】解:

函数y=f（x）的单调区间是[-5,2）,[-2,1）,[1,3）,[3,5].其中函数y=f（x）在区间[-5,2）,[1,3）上是减函数,在区间[-2,1）,[3,5]上是增函数.

点评:

本题主要考查函数单调性的几何意义,以及图象法判断函数单调性.图象法判断函数的单调性适合于选择题和填空题.如果解答题中给出了函数的图象,通常用图象法判断单调性.函数的图象类似于人的照片,我们能根据人的照片来估计其身高,同样我们根据函数的图象可以分析出函数值的变化趋势即单调性.

图象法求函数单调区间的步骤是:

第一步,画函数的图象;第二步,观察图象,利用函数单调性的几何意义写出单调区间.

【例2】证明:

设V1,V2∈（0,+∞）且V1

则p1=

p2=

.

p1-p2=

-

=

.

∵k>0,V10,V2>0.

∴

>0,∴p1>p2.

根据减函数的定义知p=

在（0,+∞）上是减函数.

点评:

本题主要考查函数的单调性,以及定义法判断函数的单调性.

定义法判断或证明函数的单调性的步骤是:

第一步,在所给的区间上任取两个自变量x1和x2,通常令x1

一“取（去）”、二“比”、三“再（赛）”,因此简称为“去比赛”.

【例3】解:

（1）函数f（x）=-x2+2x+3的图象如图所示.

（2）设x1,x2∈（-∞,1],且x1

f（x1）-f（x2）=（-

+2x1+3）-（-

+2x2+3）

=（

-

）+2（x1-x2）

=（x1-x2）（2-x1-x2）.

∵x1,x2∈（-∞,1],且x1

∴2-x1-x2>0.∴f（x1）-f（x2）<0.∴f（x1）

∴函数f（x）=-x2+2x+3在区间（-∞,1]上是增函数.

（3）函数f（x）=-x2+2x+3的对称轴是直线x=1,在对称轴的左侧是增函数,那么当区间（-∞,m]位于对称轴的左侧时满足题意,则有m≤1,即实数m的取值范围是（-∞,1].

五、变式演练,深化提高

1.解:

（1）设x1,x2∈R,且x1

F（x1）-F（x2）=[f（x1）-f（a-x1）]-[f（x2）-f（a-x2）]

=[f（x1）-f（x2）]+[f（a-x2）-f（a-x1）].

又∵函数f（x）是R上的增函数,x1

∴f（x1）

∴[f（x1）-f（x2）]+[f（a-x2）-f（a-x1）]<0.

∴F（x1）

（2）设点M（x0,F（x0））是函数F（x）的图象上任意一点,则点M（x0,F（x0））关于点（

0）的对称点为M'（a-x0,-F（x0））.

又∵F（a-x0）=f（a-x0）-f（a-（a-x0））

=f（a-x0）-f（x0）=-[f（x0）-f（a-x0）]

=-F（x0）,

∴点M'（a-x0,-F（x0））也在函数F（x）的图象上,

又∵点M（x0,F（x0））是函数F（x）的图象上任意一点,

∴函数y=F（x）的图象关于点（

0）成中心对称图形.

2.解:

（1）函数y=x2-2x的单调递减区间是（-∞,1）,单调递增区间是（1,+∞）;对称轴是直线x=1;区间（-∞,1）和区间（1,+∞）关于直线x=1对称,而函数在此两区间上的单调性相反.

（2）函数y=|x|的单调递减区间是（-∞,0）,单调递增区间是（0,+∞）;对称轴是y轴即直线x=0;区间（-∞,0）和区间（0,+∞）关于直线x=0对称,而函数在此两区间上的单调性相反.

（3）函数y=f（x）,x∈[-4,8]的图象如图所示:

函数y=f（x）的单调递增区间是[-4,-1],[2,5];单调递减区间是[5,8],[-1,2];区间[-4,-1]和区间[5,8]关于直线x=2对称,而函数在此两区间上的单调性相反,区间[-1,2]和区间[2,5]关于直线x=2对称,而函数在此两区间上的单调性相反.

（4）可以发现结论:

如果函数y=f（x）的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f（x）在直线x=m两侧对称单调区间内具有相反的单调性.证明如下:

不妨设函数y=f（x）在对称轴直线x=m的右侧一个区间[a,b]上是增函数,区间[a,b]关于直线x=m的对称区间是[2m-b,2m-a].

由于函数y=f（x）的图象关于直线x=m对称,则f（x）=f（2m-x）.

设2m-b≤x12m-x2≥a,

f（x1）-f（x2）=f（2m-x1）-f（2m-x2）.

又∵函数y=f（x）在[a,b]上是增函数,

∴f（2m-x1）-f（2m-x2）>0.

∴f（x1）-f（x2）>0.∴f（x1）>f（x2）.

∴函数y=f（x）在区间[2m-b,2m-a]上是减函数.

∴当函数y=f（x）在对称轴x=m的一侧一个区间[a,b]上是增函数时,其在[a,b]关于直线x=m的对称区间[2m-b,2m-a]上是减函数,即单调性相反.

因此有结论:

如果函数y=f（x）的图象关于直线x=m对称,那么函数y=f（x）在对称轴两侧的对称单调区间内具有相反的单调性.

3.解析:

∵f（x）的定义域是（0,+∞）,

∴

解得a<

或a>1.

∵f（x）在（0,+∞）上是减函数,

∴2a2+a+1>3a2-4a+1.∴a2-5a<0.

∴0

或1

）∪（1,5）.

答案:

（0,

）∪（1,5）