完整版导数及其应用高考题精选含答案.docx

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完整版导数及其应用高考题精选含答案

导数及其应用咼考题精选

1.（2010-海南高考•理科T3）曲线y—在点1,1处的切线方程为（）

x2

（a）y2x1（b）y2x1（C）y2x3（d）y2x2

【命题立意】本题主要考查导数的几何意义，以及熟练运用导数的运算法则进行求解.

【思路点拨】先求出导函数，解出斜率，然后根据点斜式求出切线方程.

2

【规范解答】选A.因为y-2，所以，在点1，1处的切线斜率

（X2）

2

kyx1（[2）22，所以，切线方程为y12（x1），即y2x1，故选a.

2.（2010•山东高考文科8）已知某生产厂家的年利润y（单位：

万元）

与年产量X（单位：

万件）的函数关系式为y3x381x234，则使该生产厂

3

家获得最大年利润的年产量为（）

（A）13万件（B）11万件

（C）9万件（D）7万件

【命题立意】本题考查利用导数解决生活中的优化问题，考查了考生的分析问题解决问题能力和运算求解能力.

【思路点拨】利用导数求函数的最值.

【规范解答】选C,y'x281,令y0得x9或x9（舍去），当x9时V'0;当x9时y'0，故当x9时函数有极大值，也是最大值，故选C.

3.（2010•山东高考理科7）由曲线y=x2,y二x3围成的封闭图形面积为（）

1117

（A）—（B）-（C）-（D）-

12、丿4v73、丿12

【命题立意】本题考查定积分的基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的

面积,考查了考生的想象能力、推理论证能力和运算求解能力.

【思路点拨】先求出曲线y=x2,y=x3的交点坐标，再利用定积分求面积.

【规范解答】选A,由题意得：

曲线y=x2,y=x3的交点坐标为（0,0），（1,1），故所求封闭图形的面积为（x2-x3）dx=£1-11=12,故选A.

4

4.（2010-辽宁高考理科10）已知点P在曲线y=r-上，为曲线在点

e1

P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（）

33

（A）[o,-）（B）[42）（2F（d）=）

【命题立意】本题考查了导数的几何意义，考查了基本等式，函数的值域，

直线的倾斜角与斜率。

【思路点拨】先求导数的值域，即tan的范围，再根据正切函数的性质求

的范围。

【规范解答】选D.

41

5.（2010-湖南高考理科4）22dx等于（）

2x

A、2ln2B、2ln2CIn2Dln2

【命题立意】考查积分的概念和基本运算.

1

【思路点拨】记住1的原函数.

x

41

【规范解答】选D.2~dx=（lnx+c）|42=（ln4+c）-（ln2+c）=ln2.

x

【方法技巧】关键是记住被积函数的原函数.

6.（2010-江苏高考8）函数y=x2（x>0）的图像在点（ak,af）处的切线与x

轴的交点的横坐标为ak+1,其中kN，若a1=16，则a1+a3+as的值是

【命题立意】本题考查导数的几何意义、函数的切线方程以及数列的通项等内容

【思路点拨】先由导数的几何意义求得函数y=x2（x>0）的图像在点（ak,ak2）

处的切线的斜率，然后求得切线方程，再由yo，即可求得切线与x轴交点

的横坐标。

【规范解答】由y=x2（x>0）得，y2x，

2

所以函数y=x2（x>0）在点（ak,ak2）处的切线方程为：

yak2ak（xak）,当yo时，解得x号，

所以aki,aia3a5164121.

2

【答案】21

7.（2010•江苏高考4）将边长为1m正三角形薄片沿一条平行于某边

的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S（梯形的周积2,则S的最小值是

【命题立意】本题考查函数中的建模在实际问题中的应用，以及等价转化思想。

【思路点拨】可设剪成的小正三角形的边长为X,然后用x分别表示梯形的周

长和面积，从而将S用x表示，利用函数的观点解决.

【规范解答】设剪成的小正三角形的边长为x,

22

S（3—X）4色凶_（0x1）

则：

S1.3怕1x2（°x1）

1（x1）芋（1x）2

22

方法一：

利用导数的方法求最小值。

4

S（x）

S（x）

故当

（3x）24（2x6）（1x2）（3x）2（2x）

（1x2）2

Lb，S（x）「3

1

0,0x1,x

3，

（0,1]时，S（x）0,递减；当x[1,1）时，S（x）0,递增;33

x1时，S的最小值是323。

3'3

方法二：

利用函数的方法求最小值

111

令3xt,t（2,3）,（3,2），则:

故当13,x-时，S的最小值是空3。

t833

【答案】汇

3

【方法技巧】函数的最值是函数最重要的性质之一，高考不但在填空题中考查，还会在应用题、函数导数的的综合解答题中考察。

高中阶段，常见的求函数的最值的常用方法有：

换元法、有界性法、数形结合法、导数法和基本不等式法

8.（2010•陕西高考理科3）从如图所示的长方形区域内任取一个点M

（x,y）,则点M取自阴影部分的概率为；

【命题立意】本题考查积分、几何概率的简单运算，属送分题。

【思路点拨】由积分求出阴影部分的面积即可

11

【规范解答】阴影部分的面积为S阴影03x2dxx301.所以点M取自阴影部分的

答案：

3

9.（2010-海南高考•理科T13）设y=f（x）为区间［0,1］上的连续函数，且恒

1

有0Wf（x）<1,可以用随机模拟方法近似计算积分0f（x）dx,先产生两组（每组N个）区间［0,1］上的均匀随机数x,X2…，xn和y1,y2…,yN,由此得到N个点（Xi,yJ（i=1,2，…,N）,在数出其中满足y1

1那么由随机模拟方法可得积分0f（X）dx的近似值为.

【命题立意】本题主要考查了定积分的几何意义以及几何概型的计算公式.

【思路点拨】由随机模拟想到几何概型，然后结合定积分的几何意义进行求

解.

【规范解答】由题意可知，x,y所有取值构成的区域是一个边长为1的正方形,

而满足yi

0N

答案：

Ni

10.（2010•北京高考理科•Tl8）已知函数f（x）=ln（1+x）-x+£x2,（k>

0）。

（I）当k=2时，求曲线y=f（X）在点（1,f

（1））处的切线方程;

（II）求f（x）的单调区间。

【命题立意】本题考查了导数的应用，考查利用导数求切线方程及单调区间。

解决本题时一个易错点是忽视定义域

【思路点拨】

（1）求出「⑴，再代入点斜式方程即可得到切线方程；

（2）由k

讨论f'（x）的正负，从而确定单调区间。

故f（X）的单调递增区间是（1,0）,单调递减区间是（0,）.

1k

当0k1时，由f'（x）*〒）0，得X10,X2¥0

1x

1k1k

所以，在区间（1,0）和（U,）上，f'（x）0；在区间（0,U）上，f'（x）0

kk

故f（x）的单调递增区间是（hO）和（1-,），单调递减区间是（0,1k）.

kk

2

当k1时，f'（x）—

1x

故f（x）的单调递增区间是（1,）.

1k

当k1时，f'（x）*〒）0，得洛一（1,0），X20.

1X

所以在区间（1,1k）和（0,）上，f'（X）0；在区间Qk,0）上，f'（X）0

kk

故f（x）得单调递增区间是（1,）和（0,），单调递减区间是,0）

kk

【方法技巧】

（1）yf（x）过（X）,f（X0））的切线方程为yf（X））f'（x0）（xX0）o

（2）求单调区间时要在定义域内讨论f'（x）内的正负。

11.（2010•安徽高考文科20）设函数fxsinxcosxx1,0x2,

求函数fx的单调区间与极值。

【命题立意】

本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性与极值的方法，考查

考生运算能

力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力。

【思路点拨】

对函数f（x）求导，分析导数f（x）的符号情况，从而确定f（x）的单调区间和极

值。

+-

0+

极大

极小

值

值

【规范解答】

【方法技巧】利用导数研究函数的单调性和极值是解决函数单调性、极值问题的常用方法，

简单易行，具体操作流程如下：

（1）求导数f'（x）；

（2）求方程f'（x）0的全部实根；

（3）列表，检查f'（x）在方程f'（x）0的根左、右的值的符号；

（4）判断单调区间和极值。

12.（2010•北京高考文科8）设定函数f（x）旦x3bx2cxd（a（a0）0）,

3

且方程f'（x）9x0的两个根分别为1,4。

（I）当a=3且曲线yf（x）过原点时，求f（x）的解析式；

（H）若f（x）在（，）无极值点，求a的取值范围。

【命题立意】本题考查了导数的求法，函数的极值，二次函数等知识。

【思路点拨】

（1）由f'（x）9x0的两个根及yf（x）过原点，列出三个方程可解

出b,c,d；

（2）f'（x）是开口向上的二次函数，f（x）无极值点，则f'（x）0恒成立。

【规范解答】由f（x）亍X3bx2cxd得f（x）ax22bxc

（*）

解得b3,c12

又因为曲线yf（x）过原点，所以d0

故f（x）x33x212x

（H）由于a>0,所以“f（x）|x3bx2cxd在（-8,+x）内无极值点”等

3

价于“f（x）ax22bxc0在（-8,+8）内恒成立”。

由（*）式得2b95a,c4a。

又（2b）24ac9（a1）（a9）

a0

解得a1,9

9（a1）（a9）0

即a的取值范围1,9

【方法技巧】

（1）当f'（x）在Xo的左侧为正，右侧为负时，X。

为极大值点；当f'（x）

在X。

的左侧为负，右侧为正时，X。

为极小值点

（2）二次函数恒成立问题可利用开口方向与判别式来解决。

yax2bxc恒

13.

xex2x2a,xR

（2010•安徽高考理科17）设a为实数，函数

（1）求fx的单调区间与极值；

⑵求证：

当aIn21且x0时，exx22ax1

【命题立意】本题主要考查导数的运算，利用导数研究函数的单调区间、求函数的极值、证明函数不等式，考查考生运算能力、综合分析问题能力和问题的化归转化能力

【思路点拨】

（1）先分析f（x）的导数f（x）的符号情况，从而确定f（x）的单调区间和极值;

⑵设g（x）exx22ax1，把问题转化为：

求证：

当aIn21且x

【规范解答】

（1）Qf（x）ex2x2a，f（x）ex2

令f（x）0，得xIn2，

极小

值

f（x）在,|n2上单调递减，在ln2,上单调递增；

当xIn2时，f（x）取得极小值为22In22a

（2）设g（x）exx22ax1，g（x）ex2x2af（x）

由

（1）问可知，g（x）22In22a恒成立，

当aIn21时，则g（x）0恒成立，所以g（x）在R上单调递增，所以当x0时，g（x）g（0）0，

即当aIn21且x0时，exx22ax1。

【方法技巧】

1、利用导数研究函数的单调性是解决函数单调性问题的常用方法,

2、证明函数不等式问题，如证f,x）f2（x），通常令g（x）f1（x）证明：

g（x）0。

3

14.

0时，g（x）0。

简单易行;

f2（X），转化为

1（xR），其中

（2010•天津高考文科20）已知函数f（x）=ax3尹2a>0.

（I）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2,f

（2））处的切线方程;

11

（H）若在区间-,-上，f（x）>0恒成立，求a的取值范围.

【命题立意】本小题主要考查曲线的切线方程、利用导数研究函数的单调性与极值、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。

【思路点拨】应用导数知识求解曲线的切线方程及函数最值。

【规范解答】

3

（I）当a=1时，f（x）=x3|x21,f

（2）=3;f'（x）=3x23x,f'

（2）=6.所以曲线y=f（x）在点（2,f

（2））处的切线方程为y-3=6（x-2）,即y=6x-9.

1

（H）f'（x）=3ax23x3x（ax1）.令f'（X）=O，解得x=0或X=—.

a

以下分两种情况讨论：

11

若0a2,则--，当x变化时，f'（X）,f（X）的变化情况如下表:

a2

X

0

f'（x）

+

0

-

f（x）

极大值

解不等式组得-5

11

若a>2,则0--.当x变化时，f'（x）,f（x）的变化情况如下表:

a2

X

0

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

极大值

极小值

11f（--）>0,空>0,

当x2,时，f（X）>0等价于1即[f（-）>0,1-二>0.

a2a

解不等式组得乎a5或a乎.因此2

综合

（1）和

（2）,可知a的取值范围为0