人教版数学八年级上册134《最短路径问题1》名师教案.docx

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人教版数学八年级上册134《最短路径问题1》名师教案

13.4课题学习最短路径问题（第一课时）

13.4.1将军饮马问题（邹敏）

一、教学目标

（一）学习目标

1.会利用轴对称解决简单的最短路径问题;

2.会利用轴对称解决简单的周长最小问题;

3.体会轴对称变换在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．

（二）教学重点

教学重点：

利用轴对称知识将最短路径问题的实际问题转化为“两点之间，线段最短”和“垂线段最短”的问题.

（三）教学难点

教学难点：

如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题.

二、教学过程

（一）课前设计

1．预习任务

前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，”，

“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，”

等的问题，我们称它们为问题．

【答案】线段最短，垂线段最短，最短路径

2．预习自测

⑴如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走路最近.你的理由是.

【设计意图】让学生回顾旧知“两点之间，线段最短”，为引入新课作准备.

【知识点】两点之间、线段最短

【答案】②，两点之间，线段最短（或者三角形中两边之和大于第三边）

⑵已知：

如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小.

【知识点】两点之间线段最短

【思路点拨】依据“两点（直线异侧）一线型”，和“两点之间，线段最短”，则AP+PB的最小值为线段AB的值.

【解题过程】连接AB交于直线l于点P，则点P就是所求的点.

【答案】如图，则点P就是所求的点.

⑶如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

【知识点】两点之间线段最短

【思路点拨】将A、B两镇抽象为两个点，将燃气管道l抽象为一条直线．类比预习自测

（1），根据“两点之间，线段最短”，连接AB即可.

【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点P，则点P就是所求的点.

【答案】泵站修在管道的点P处时，可使所用的输气管线最短.

⑷如图，A，B在直线l的同侧，在l上求一点P，使得PA+PB最小，则点P可能的个数为（）个

A.3B.2C.1D.0

【知识点】两点之间线段最短、轴对称的性质

【思路点拨】将“A，B在直线l的同侧”利用轴对称转化为“A，B在直线l的异侧”，又根据“两点之间线段最短”可得出只有唯一的点P.

【答案】C

【设计意图】通过完成预习自测让学生进一步感受“两点之间，线段最短”，为新课中“同侧的两点”转化为“异侧的两点”做铺垫．

（二）课堂设计

1.知识回顾

⑴两点的所有连线中，线段最短；

⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；

⑶三角形三边的数量关系：

三角形中两边之和大于第三边.

2.问题探究实际问题转化为数学问题

探究一“两点一线”的最短路径问题★▲

今天我们借助“轴对称的知识”和“两点之间线段最短”一起来解决生活中的“最短路径问题”.

●活动①创设情境，引入新知

师：

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

问题1.如图，A为马厩，B为帐篷.某一天牧马人要从马厩A出发，牵出马到一条笔直的河边l饮马，然后蹚水过河，回到对岸的帐篷B．牧马人到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用几何知识回答了这个问题.你能将这个问题抽象为数学问题吗？

【知识点】两点之间线段最短

【解题过程】连接AB，线段AB与直线l交于点C，到河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短.

【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线，则AC+BC的最小值为线段AB的值.此情况可简称为“两点（直线异侧）一线型”.

【答案】如图，则点C就是所求点，即在河边l的C处饮马可使他所走的路线全程最短点:

●活动②整合旧知，探究新知

师：

问题解决了，可是将军思考了片刻，又提出了一个新的问题：

问题2.牧马人觉得蹚水过河很不方便，决定将帐篷B搬到河的另一侧即与马厩A位于河的同侧.如图，牧马人从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后回到B地．到河边什么地方饮马，可使马所走的路线全程最短？

学者海伦认真思索，利用轴对称的知识回答了这个问题．这就是著名的“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？

l

将问题2抽象为数学问题：

如图，点A，B在直线l的同侧，能不能在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小？

【知识点】轴对称的知识、两点之间线段最短

【思路点拨】将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.则“所走的路线全程最短”转化为“在直线l上找到一点C，使AC+BC最小”的数学问题.此情况可简称为“两点（直线同侧）一线型”.

【设计意图】学生通过动手操作，在具体感知轴对称图形特征的基础上，抽象出轴对称图形的模型．学生将实际问题抽象为数学问题，即将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.

3．尝试解决数学问题

●活动③大胆猜想，建立模型

【解题过程】

（1）作点B关于直线l的对称点B′；

（2）连接AB′，与直线l相交于点C．则点C即为所求．

【答案】如图，则点C就是所求的点，即在河边l的C处饮马可使马所走的路线全程最短点.

师生活动：

学生独立思考，尝试画图，相互交流.

学生若有困难，教师可作如下提示：

1若点B与点A在直线异侧，如何在直线l上找到一点C，使AC与BC的和最小；

2现在点B与点A在直线同侧，能否将点B移到l的另一侧点B′处，且满足直线l上的任意一点C，都能保持CB=CB′?

⑶你能根据轴对称的知识，找到

（2）中符合条件的点B′吗？

【设计意图】一步一步引导学生，将同侧的两点转化为异侧的两点，为问题的解决提供思路.通过搭建台阶，为学生探究问题提供“脚手架”，将“同侧”难于解决的问题转化为“异侧”容易解决的问题，渗透转化思想.

4．证明AC+BC“最短”

●活动④反思过程，验证新知

证明“最短作图”的正确性：

追问1你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？

师生活动：

学生独立思考，相互交流，师生共同完成证明过程.

证明：

如图，在直线l上任取一点C′（与点C不重合），连接AC′，BC′，B′C′．

由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′，∴AC+BC=AC+CB′=AB′，AC′+C′B=

AC′+C′B′．又在△AB′C′中，AB′﹤AC′+B′C′，∴　AC+BC﹤AC′+BC′，

即AC+BC最短．

●活动⑤集思广益，理解新知

追问2：

证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′（与点C不重合）？

师生活动：

学生相互交流，教师适时点拨，最后达成共识：

若直线l上任意一点（与点C不重合）与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．

【设计意图】让学生进一步体会作法的正确性，提高逻辑思维能力.

追问3：

回顾探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么来解决问题的？

师生活动：

学生回答，相互补充.

【设计意图】让学生在反思的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想，丰富数学活动经验.

●活动⑥反思总结，归纳新知

【方法归纳】

1、“两点（直线同侧）一线型”在直线上求一点到两点和最短时，利用轴对称的知识作一点关于直线的对称点，连接对称点和另一点与直线的交点就是所求的点.

2、求两条线段和最小，关键是运用轴对称的知识将不在同一条直线上的两条线段转化到同一条直线上.

练习有两棵树位置如图，树脚分别为A，B.地上有一只昆虫沿A→B的路径在地面上爬行．小树顶D处一只小鸟想飞下来抓住小虫后，再飞到大树的树顶C处，问小鸟飞至AB之间何处时，飞行距离最短，在图中画出该点的位置.（保留作图痕迹，不写作法）

【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短

【解题过程】

（1）将树顶C，D抽象为两个点，将路径A→B抽象为一条直线；

（2）如图，作D关于AB的对称点D′，连接CD′交AB于点E，则点E就是所求的点.

【思路点拨】本题为“同侧两点一线型”，通过“作D关于AB的对称点D′”转化为“异侧两点一线型”，再根据“两点之间，线段最短”解决.

【答案】如图，则点E就是所求的点.

师：

海伦善于观察与思考，一天他在旅游途中遇到了一个不同情景的“将军饮马问题”：

探究二“一点两线型”的最短周长问题

问题3.如图，有一条河流和一块草地，马厩A建在河流和草地所成的∠MON内部.牧马人某一天要从A牵出马，先到笔直的草地边牧马，再到笔直的河边饮马，然后回到马厩A.请你帮他确定马这一天行走的最短路线.

【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短

【数学思想】转化、类比

【解题过程】分别作点A关于OM、ON的对称点A′、A′′，连接A′A′′分别交OM、ON于E、F，此时△AEF周长有最小值；

【思路点拨】

（1）将OM，ON抽象为两条相交的直线，将马厩A抽象为一个点；

（2）抽象为数学问题：

如图，点A在∠MON内部，试在OM、ON上分别找出两点E、F，使△AEF周长最短；（3）当AE、EF和AF三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小，类比“探究一”作图.求三角形周长最短，即求AE+EF+AF的最小值为A′A′′的值，根据轴对称的性质得AE=A′E，AF=A′′F，再由“两点之间，线段最短”解决.此情况简称为“一点两线型”.

【答案】作图如图1，则此时点E、F使△AEF周长有最小值．

F

师：

能不能类比探究一，证明一下“周长最短作图”的正确性：

【理由简要分析】如图2，在OM上任取一个异于E的点E′，在ON上任取一个异于F的点F′，连接AE′，A′E′，E′F′，A″F′，AF′，则AE′＝A′E′，AF′＝A″F′，且A′E′＋E′F′＋F′A″＞A′A″=A′E＋EF＋FA″=AE＋EF＋FA，所以△AEF的周长最小，故E，F就是我们所求使△AEF周长最短的点．

练习如图所示，点P为∠AOB内一点，P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，P1P2交OA于点E，交OB于点F.若P1P2=9，则△PEF的周长是（）

A.7B.8C.9D.10

【知识点】轴对称知识

【解题过程】因为P1、P2分别是点P关于OA、OB的对称点，根据轴对称的性质得PE=P1E，PF=FP2，所以PE+EF+PF=P1E+EF+P2F=P1P2=9.

【思路点拨】根据轴对称知识，PE+EF+PF=P1E+EF+P2F=P1P2，故答案选C.

【答案】C

师：

回到家的海伦继续思考：

如果在草地和河流所成的区域里有马厩和帐篷，又怎样设计行走的最短路线呢？

探究三“两点两线型”的最短路径问题

问题4如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩A牵出马，先到草地边MN的某一处牧马，再到河边l饮马，然后回到帐篷B.请你帮他确定马这一天行走的最短路线.

【知识点】轴对称知识、两点之间线段最短

【解题过程】

（1）作点A关于MN的对称点A′，作B点关于l的对称点B′；

（2）连接A′B′，分别交MN于点C、交l于点D，则沿A→C→D→B的路线行走，马一天行走的路程最短．

【思路点拨】马一天行走的路程最短即求AC+CD+DB的最小值，AC+CD+DB的最小值为A′B′的值，根据轴对称的性质得CA=CA′，DB=DB′，再由“两点之间，线段最短”即可解决.此情况简称为“两点两线型”.

【答案】如图所示，牧马人沿A→C→D→B的路线行走，所行走的路线最短.

练习某中学八

（2）