高中数学平面向量综合检测题含答案北师大版.docx
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高中数学平面向量综合检测题含答案北师大版
高中数学平面向量综合检测题(含答案北师大版)
第二章 平面向量
(时间120分钟,满分150分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若向量a,b,c满足a∥b,且ac,则c(a+2b)=()
A.4B.3
C.2D.0
【解析】 ∵ac,ac=0.又∵a∥b,可设b=a,则c(a+2b)=c(1+2)a=0.
【答案】 D
2.已知向量a=(1,0)与向量b=(-1,3),则向量a与b的夹角是()
A.B.
C.2D.56
【解析】 cos〈a,b〉=ab|a||b|=-112=-12.
〈a,b〉=23.
【答案】 C
3.已知a=(1,2),b=(x,1),=a+b,=a-b,且∥,则x的值为()
A.12B.-12
C.16D.-16
【解析】 ∵=(1+x,3),=(1-x,1),∥.
(1+x)1-3(1-x)=0,x=12.
【答案】 A
4.已知|a|=2|b|,|b|0,且关于x的方程x2+|a|x+ab=0有实根,则a与b的夹角的取值范围是()
A.[0,6]B.[]
C.[3,23]D.[]
【解析】 =|a|2-4ab=|a|2-4|a||b|cos〈a,b〉=4|b|2-8|b|2cos〈a,b〉0.
cos〈a,b〉12,〈a,b〉[0,].
3〈a,b〉.
【答案】 B
5.已知|a|=1,|b|=6,a(b-a)=2,则向量a与b的夹角是()
A.B.
C.D.2
【解析】 ∵a(b-a)=ab-a2=2,|a||b|cos-|a|2=2,
16cos-1=2,cos=12,又0,=3,故选C.
【答案】 C
6.已知OA=(2,2),OB=(4,1),在x轴上一点P使APBP有最小值,则P点的坐标是()
A.(-3,0)B.(3,0)
C.(2,0)D.(4,0)
【解析】 设P(x,0),AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1),APBP=(x-2)(x-4)+2
=x2-6x+10=(x-3)2+1,
当x=3时,APBP取最小值,此时P(3,0).
【答案】 B
7.若a,b是非零向量,且ab,|a||b|,则函数f(x)=(xa+b)(xb-a)是()
A.一次函数且是奇函数
B.一次函数但不是奇函数
C.二次函数且是偶函数
D.二次函数但不是偶函数
【解析】 ∵ab,ab=0,
f(x)=(xa+b)(xb-a)=x2(ab)+(|b|2-|a|2)x-ab=(|b|2-|a|2)x,又|a||b|,f(x)是一次函数且为奇函数,故选A.
【答案】 A
8.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)BC=0且AB|AB|AC|AC|=12,则△ABC为()
A.等边三角形
B.直角三角形
C.等腰非等边三角形
D.三边均不相等的三角形
【解析】 AB|AB|和|AC||AC|分别是与AB,AC同向的两个单位向量.
AB|AB|+AC|AC|是BAC角平分线上的一个向量,由(AB|AB|+AC|AC|)BC=0知该向量与边BC垂直,△ABC是等腰三角形.由ABAC|AB||AC|=12知BAC=60.△ABC是等边三角形.
【答案】 A
9.(2019湖北高考)已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为()
A.322B.3152
C.-322D.-3152
【解析】 由已知得AB=(2,1),CD=(5,5),因此AB在CD方向上的投影为ABCD|CD|=1552=322.
【答案】 A
10.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则|PA|2+|PB|2|PC|2=()
A.2B.4
C.5D.10
【解析】 ∵PA=CA-CP,
|PA|2=CA2-2CPCA+CP2.
∵PB=CB-CP,|PB|2=CB2-2CPCB+CP2.
|PA|2+|PB|2=(CA2+CB2)-2CP(CA+CB)+2CP2=AB2-2CP2CD+2CP2.
又AB2=16CP2,CD=2CP,代入上式整理得|PA|2+|PB|2=10|CP|2,故所求值为10.
【答案】 D
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分,将答案填在题中的横线上)
11.已知向量a=(2,1),ab=10,|a+b|=52,则|b|等于________.
【解析】 ∵|a+b|=52,(a+b)2=50,即a2+b2+2ab=50,
又|a|=5,ab=10,
5+|b|2+210=50.
解得|b|=5.
【答案】 5
12.已知a=(3,1),b=(sin,cos),且a∥b.则4sin-2cos5cos+3sin=________.
【解析】 ∵a∥b,3cos=sin,
tan=3.
4sin-2cos5cos+3sin=4tan-25+3tan=43-25+33=57.
【答案】 57
13.(2019课标全国卷Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2,E为CD的中点,则AEBD=________.
【解析】 如图,以A为坐标原点,AB所在的直线为x轴,AD所在的直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2),
AE=(1,2),BD=(-2,2),
AEBD=1(-2)+22=2.
【答案】 2
14.已知e1,e2是夹角为23的两个单位向量,a=e1-2e2,b=ke1+e2,若ab=0,则实数k的值为________.
【解析】 由题意ab=0,即有(e1-2e2)(ke1+e2)=0
ke21+(1-2k)e1e2-2e22=0.
又∵|e1|=|e2|=1,〈e1,e2〉=23,
k-2+(1-2k)cos23=0,
k-2=1-2k2,k=54.
【答案】 54
15.(2019安徽高考)设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)b,则|a|=________.
【解析】 a+c=(1,2m)+(2,m)=(3,3m).
∵(a+c)b,
(a+c)b=(3,3m)(m+1,1)=6m+3=0,
∵m=-12,
a=(1,-1),|a|=12+-12=2.
【答案】 2
三、解答题(本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分12分)(2019江苏高考)已知a=(cos,sin),b=(cos,sin),0<<<.
(1)若|a-b|=2,求证:
ab;
(2)设c=(0,1),若a+b=c,求,的值.
【解】
(1)证明 由题意得|a-b|2=2,
即(a-b)2=a2-2ab+b2=2.
又因为a2=b2=|a|2=|b|2=1,
所以2-2ab=2,即ab=0,故ab.
(2)因为a+b=(cos+cos,sin+sin)=(0,1),
所以cos+cos=0,sin+sin=1,
由此得,cos=cos(-),由0<<,得0<-<.
又0<<,故=-.代入sin+sin=1,得sin=sin=12,而>,所以=56,=6.
17.(本小题满分12分)平面内三点A、B、C在一条直线上,OA=(-2,m),OB=(n,1),OC=(5,-1),且OAOB,求实数m、n的值.
【解】 AC=OC-OA=(7,-1-m),
BC=OC-OB=(5-n,-2).
∵A、B、C三点共线,AC∥BC,
-14+(m+1)(5-n)=0.①
又OAOB.
-2n+m=0.②
由①②解得m=6,n=3或m=3,n=32.
18.(本小题满分12分)已知a,b是两个非零向量,当a+tb(tR)的模取最小值时.
(1)求t的值;
(2)求证:
b(a+tb).
【解】
(1)(a+tb)2=|a|2+|tb|2+2atb,
|a+tb|最小,即|a|2+|tb|2+2atb最小,
即t2|b|2+|a|2+2t|a||b|cos〈a,b〉最小.
故当t=-|a|cos〈a,b〉|b|时,|a+tb|最小.
(2)证明:
b(a+tb)=ab+t|b|2=|a||b|cos〈a,b〉-|a|cos〈a,b〉|b||b|2=|a||b|cos〈a,b〉-|a||b|cos〈a,b〉=0,故b(a+tb).
19.(本小题满分13分)△ABC内接于以O为圆心,1为半径的圆,且3OA+4OB+5OC=0.
(1)求数量积OAOB,OBOC,OCOA;
(2)求△ABC的面积.
【解】
(1)∵3OA+4OB+5OC=0,
3OA+4OB=0-5OC,
即(3OA+4OB)2=(0-5OC)2.
可得9OA2+24OAOB+16OB2=25OC2.
又∵|OA|=|OB|=|OC|=1,
OA2=OB2=OC2=1,
OAOB=0.
同理OBOC=-45,
OCOA=-35.
(2)S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OAC=12|OA||OB|sinAOB+12|OB||OC|sinBOC+12|OC||OA|sinAOC.
又|OA|=|OB|=|OC|=1.
S△ABC=12(sinAOB+sinBOC+sinAOC).
由
(1)OAOB=|OA||OB|cosAOB=cosAOB=0得sinAOB=1.
OBOC=|OB||OC|cosBOC=cosBOC=-45,
sinBOC=35,
同理sinAOC=45.
S△ABC=65.
20.(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)设实数t满足(AB-tOC)OC=0,求t的值.
【解】
(1)由题设知AB=(3,5),AC=(-1,1),则AB+AC=(2,6),AB-AC=(4,4).
所以|AB+AC|=210,|AB-AC|=42.
故所求的两条对角线长分别为42,210.
(2)由题设知OC=(-2,-1),AB-tOC=(3+2t,5+t).
由(AB-tOC)OC=0,得(3+2t,5+t)(-2,-1)=0,从而5t=-11,所以t=-115.
图1
21.(本小题满分13分)如图1,平面内有三个向量OA,OB,OC,其中OA与OB的夹角为120,OA与OC的夹角为30,且|OA|=|OB|=1,|OC|=23.若OC=OA+(,R),求+的值.
【解】 法一:
作CD∥OB交直线OA于点D,作CE∥OA交直线OB于点E,则OC=OD+OE,
由已知OCD=COE=120-30=90,在Rt△OCD中,OD=OCcos30=4,
CD=OCtan30=2,
OE=CD=2.
又∵|OA|=|OB|=1,OD=4OA,OE=2OB,即OC=OD+OE=4OA+2OB,从而+=6,
法二:
由图可知BOC=120-30=90,即OBOC,
又∵OC=OA+
OC2=OAOC+OC①OCOA=OA2+OA②
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分,我常采用范读,让幼儿学习、模仿。
如领读,我读一句,让幼儿读一句,边读边记;第二通读,我大声读,我大声读,幼儿小声读,边学边仿;第三赏读,我借用录好配朗读磁带,一边放录音,一边幼儿反复倾听,在反复倾听中体验、品味。
232=|OA||OC|cos30|OC||OA|cos30=+|OB||OA|cos120
要练说,得练听。
听是说的前提,听得准确,才有条件正确模仿,才能不断地掌握高一级水平的语言。
我在教学中,注意听说结合,训练幼儿听的能力,课堂上,我特别重视教师的语言,我对幼儿说话,注意声音清楚,高低起伏,抑扬有致,富有吸引力,这样能引起幼儿的注意。
当我发现有的幼儿不专心听别人发言时,就随时表扬那些静听的幼儿,或是让他重复别人说过的内容,抓住教育时机,要求他们专心听,用心记。
平时我还通过各种趣味活动,培养幼儿边听边记,边听边想,边听边说的能力,如听词对词,听词句说意思,听句子辩正误,听故事讲述故事,听谜语猜谜底,听智力故事,动脑筋,出主意,听儿歌上句,接儿歌下句等,这样幼儿学得生动活泼,轻松愉快,既训练了听的能力,强化了记忆,又发展了思维,为说打下了基础。
解得=4=2,+=6.
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念,最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云:
“伯安入小学,颖悟非凡貌,属句有夙性,说字惊老师。
”于是看,宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”,而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见,“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会,“教师”的含义比之“老师”一说,具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后,教师与其他官员一样依法令任命,故又称“教师”为“教员”。