初一数学下册知识点总结归纳.docx

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初一数学下册知识点总结归纳

初一下册数学知识点归纳

基本平面图形

一、知识点总结

1、线段：

绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。

线段有两个端点。

2＞射线：

将线段向一个方向无限延长就形成了射线。

射线有一个端点。

3、直线：

将线段向两个方向无限延长就形成了直线。

直线没有端点。

一条直线上有n个点，则在这条直线上一共有"％T）条线段,一共有2n条射线。

2

平面内的n条直线相交，最多也只有伫9二12个交点。

4、点、直线.射线和线段的表示

在儿何里，我们常用字母表示图形。

一个点可以用一个大写字母表示。

一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。

一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。

一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。

5、点和直线的位置关系有两种：

1点在直线上，或者说直线经过这个点。

2点在直线外，或者说直线不经过这个点。

6、直线的性质

（1）直线公理：

经过两个点有且只有一条直线。

（或者说两点确定一条直线。

）

（2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

（4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。

7、线段的性质

（1）线段公理：

两点之间的所有连线中，线段最短。

（2）两点之间的距离：

两点之间线段的长度,叫做这两点之间的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

8、线段的中点：

点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AM与BM,点M叫做线段AB的中点。

9、角:

有公翼端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。

或：

角也可以看成是一条射线绕着它的端点旋转而成的。

10、平角和周角：

一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。

终边继续旋转，当它乂和始边重合时，所形成的角叫做周角。

11、角的表示

角的表示方法有以下四种：

1用数字表示单独的角，如Zl,Z2,Z3等。

2用小写的希腊字母表示单独的一个角，如Za,ZP,ZY，Z0等。

3用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如ZB,ZC等。

4用三个大写英文字母表示任一个角，如ZBAD,ZBAE,ZCAE等。

注意：

用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。

12.角的度量

角的度量有如下规定：

把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用”表示，1度记作“1°”，n度记作“n。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作

把1'的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。

1°二60',1’二60”

13.角的性质

（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

（2）角的大小可以度量，可以比较

（3）角可以参与运算。

14.角的平分线

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

整式的乘除

【知识点归纳】

1.单项式的概念：

山数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。

单独的一个数或一个字母也是单项式。

单项

式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。

如：

-2a%的系数为一2,次数为4,单独的一个非零数的次数是0。

2.多项式：

儿个单项式的和叫做多项式。

多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。

如：

a2-2ab+x+\,项有/、_2ab、x、1,二次项为/、_2ab,—次项为x,常数

项为1,各项次数分别为2,2,1,0,系数分别为1,-2,b1,叫二次四项式。

3.整式：

单项式和多项式统称整式。

注意：

凡分母含有字母代数式都不是整式。

也不是单项式和多项式。

4、多项式按字母的升（降）需排列：

如:

x3-2x2y2+xy-2y3-1

按a-的升幕排列：

一1一2y'+xy-2x2y2+

按a-的降幕排列：

x3-2x2y2+Ay-2y3-1

按y的升幕排列：

-1+疋+厂-2x2y2-2y3

按y的降幕排列：

-2屮-2严），2+xy+x3-1

5、同底数幕的乘法法则：

水—严”（m,n都是正整数）

同底数幕相乘，底数不变，指数相加。

注意底数可以是多项式或单项式。

如：

（a+b）2•（a+bY=（a+b）5

6、幕的乘方法则：

（nun都是正整数）

幕的乘方，底数不变，指数相乘。

如：

（-3'）2=3山

幕的乘方法则可以逆用:

即严=（am）n=（anr

如：

46=（42）3=（43）2

7、积的乘方法则：

｛ab）n=anbn（"是正整数）

积的乘方，等于各因数乘方的积。

如：

（一2疋汽）5二（_2）5.（x3）5・3）57=-32x,5/°z5

8、同底数幕的除法法则：

（心0,加,〃都是正整数，且m>n）

同底数幕相除，底数不变，指数相减。

如:

（ab）4^（ab）=（ab）3=a3b3

9、零指数和负指数;

丁=1,即任何不等于零的数的零次方等于1。

（严=丄（心0,”是正整数），即一个不等于零的数的-"次方等于这个数的"次方的倒cr

10、科学记数法：

如：

0.00000721二7.21X10"（第一个不为零的数前面有儿个零就是负儿次方）

11、单项式的乘法法则：

单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

注意：

1积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再讣算绝对值。

2相同字母相乘，运用同底数幕的乘法法则。

3只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式

4单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。

5单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。

如：

=

12、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，

即in（a+b+c）=ma+nib4-me（m,a,b,c都是单项式）

注意:

①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。

②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。

3在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。

]

如：

2x（2x-3y）-3y（x+y）

13、多项式与多项式相乘的法则；

多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。

（3a+2b）（c—3b）

（x+5）（x-6）

14、平方差公式：

W+b）W—b）j2—b2注意平方差公式展开只有两项

公式特征：

左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。

右边是相同项的平方减去相反项的平方。

如：

（x+y-z）（A--y+z）

15、完全平方公式：

（a±b）2=a2±2ab+b~

公式特征：

左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。

注意：

a2+b2=（a+b），-2ab=（a+b）2-lab

（a—h）2=（a+b）2—4ab

（—a—b）2=[-（a+b）]2=（a+b）2（—a+b）2=[-（«—/?

）]2=（a_bf

完全平方公式的口诀：

首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。

16、三项式的完全平方公式：

（a+h+c）2=a2+b2+c2+lab+lac+2bc

17、单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幕分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

注意：

首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幕相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式

如：

-7a2b4m^49a2b

18、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。

艮卩：

+bin+cm）-s-m=am+in=b/n*m+cm-i-m=a+b+c.

【历年考点分析】

整式的运算是初中数学的基础，是中考中的一个重点内容.和整式有关的考点主要涉及以下儿个方面：

1.幕的运算;2.整式的乘法运算;3.因式分解.具体分析如下：

考点1:

纂的有关运算

例1下列运算中，计算结果正确的是（）

（A）a•a3=a1:

（B）a64-a3=a:

（C）（a3）2=a:

（D）（~ab:

）:

=a2b'.

分析:

幕的运算包括同底数幕的乘法运算、幕的乘方、积的乘方和同底数幕的除法运算。

幕的运算是整式乘除运算的基础。

准确解决幕的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则。

解：

根据同底数幕的乘法运算法则知『•吐产二所以（A）错；根据同底数幕的除法法则知a6-ra3=aw=a3o所以（B）错；根据幕的乘方运算法则知（a3）WxW,所以（C）错；所以选（D）o

考点2:

整式的乘法运算

例2计算：

（a'+4）（a~3）~a（a:

-3a~3）.

分析：

本题是一道整式乘法综合计算题，解题时应先算乘法，然后再算加减,，注意其去括号

时符号的变化.

解：

（&+4）（&-3）-a（不-3&-3）

=a3-3a"+4&T2-£+3a"+3a=7a—12.

例3如图1所示，用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下图：

则第n

个图形中需用黑色瓷砖块.（用含n的代数式表示）.

分析:

观察发现，第1个图形有黑色瓷砖3><5-3><1（块）；第2个图形有黑色瓷砖4X6-2X

4（块）；第3个图形有黑色瓷砖5X7-3X5（块），依次类推，第n个图形有（n+4）（n+2）-n（n+2）块.

解：

（n+4）（n+2）-n（n+2）二rT+4n+2n+8-rT-2n二4n+8・

考点3：

乘法公式

例5先化简，再求值：

（x+y）（x-y）+（x~y）2-（x2~3xy）.其中x=2,y=—.

2

分析:

本题是一道综合计算题，主要在于乘法公式的应用，化简时还有注意去括号符号的变化.

解：

（x+y）（x-y）+（x-y）2-（x'_3xy）=x:

-y2+x:

-2xy+y:

-x:

+3xy=x:

+xy.

当x=2,y=-时，原式二2：

+2X-=4+1=5.

22

例6若整式4/+Q+1是一个整式的平方，请你写满足条件的单项式Q是.

分析：

本题是一道结论开放题，山于整式包括单项式和多项式，所以可分类讨论可能岀现的情况，当4x2+（2+1是一个单项式的平方时，Q二4x或-4x或4x“；当4x2+Q+\是一个单项式的平方时，Q二-1或-4丘，

解:

可填4x或-4x或4x或-4x‘或T.

考点4：

整式的除法运算

例7先化简，再求值:

[（x-y）2+（x+y）（x-y）]4-2x,其中x=3,y=l.5.

分析:

本题的一道综合计算题，首先要先算括号的，为了计算简便,要注意乘法公式的使用，然后在进行整式的除法运算，最后代入求值.

解：

[（x-y）'+（x+y）（x-y）]4-2x二（x:

~2xy+y2+x:

-y2）4-2x

=（2x:

-2xy）4~2x二x-y.

当x二3,y=l.5时，原式二3-1.5=1.5.

考点6：

因式分解

例8观察下列等式：

F+2X1二IX（1+2）,

23+2X2=2X（2+2）,

3'+2X3二3X（3+2）,

则第n个式子可以表示为:

•

分析:

观察已知各等式，可以发现，等式的左边是两项，第1项是是从1开始的整数的平方,第2项是2与这个整数的乘积，所以左边可用一般式子表示为n'+2n（n$l的整数），每一项等式的右边是这个整数乘以这个整数与2的和的积,所以可用一般的式子表示为n（n+2）,所以第n个等式为£+2n二n（n+2）.本题实际是因式分解的变式应用.

解：

n'+2n二n（n+2）.

相交线与平行线专题总结

一、知识点填空

1.两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关

系的两个角，互为•

2.对顶角的性质可概括为：

3.两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互.

4.垂线的性质：

⑴过一点一条直线与已知直线垂直

⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，

5.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做

6.两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中：

⑴如果两个角分

别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做:

⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做;⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线

的同一旁，具有这种关系的一对角叫做.

7.在同一平面内，不相交的两条直线互相•同一平面内的两条直线的位置关系只

有与两种.

8.平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线•

推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么.

9.平行线的判定：

⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：

.⑵两条直线被第三条直线所截，如

果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：

•⑶两条

直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：

10.在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线.

11.平行线的性质：

⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：

⑵两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：

•⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：

.

数据的收集整理与描述

一、统计调査

（一）全面调査

1.数据处理的基本过程收集数据、整理数据、描述数据、分析数据、得出结论

2.统计调查的方式及其优点

（1）全面调查：

我们把对全体对象的调查称为全面调查.

（2）百分比：

每个对象出现的次数与总次数的比值。

注意：

①调查方式有两种：

一种是全面调查，另一种是抽样调查。

2百分比之和为1。

全面调査的优点是可幕，、真实，抽样调査的优点是省时、省力，减少破坏性。

3.表示数据的两种基本方法

一是统计表，通过表格可以找出数据分布的规律；二是统计图，利用统讣图表示经过整理的数据，能更直观地反映数据的规律.

4.常见统计图

1）条形统计图：

能清楚地表示出每个项U的具体数U；

2）扇形统计图：

能清楚地表示出各部分与总量间的比重；

3）折线统计图：

能反映事物变化的规律.

5.扇形统计图

（1）扇形统计图：

用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的白分比的大小，这样的统计图叫扇形统计图。

（2）制作扇形统计图的三个步骤：

1°计算各部分在总体中所占的百分比；2°计算各个扇形的圆心角的度数=360°X该部分占总体的白分比；3°在圆中依次作出上面的扇形，并标出白分比。

（3）扇形的面积与对应的圆心角的关系：

扇形的面积越大，圆心角的度数越大。

扇形的面积越小，圆心角的度数越小。

（二）抽样调査

1.从总体中抽取部分对象进行的调査叫抽样调査.

特点：

抽样调查只考察总体中的一部分个体，因此它的优点是调查范围小，节省人力、物力、财力，但结果往往不如全面调查得到的结果准确，为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的代表性和广泛性。

2.在统计中，需要考察对象的全体叫做总体，其中从总体中抽取的部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量。

3.抽样的必要性：

总体中的个体数H较多，工作量较（太）大，无法一一考查；

受客观条件的限制，无法对个体一一考查；

考查具有破坏性,不允许对个体一一考查.

3、抽样调查的要求

为了获得较为准确的调查结果，抽样时要注意样本的广泛性和代表性，即釆取随机抽查的方法。

如：

请指出下列哪些调查的样本缺乏代表性。

（1）从具有不同层次文化的市民中，调查市民的法治意识；

（2）在大学生中调查我国青年的上网情况；

（3）抽查电信部门的家属，了解市民对曜服务的满意程度。

小结：

只有选择具有代表性的样本进行抽样调査，才能了解总体的面貌和特征。

4、总体和样本

总体：

要考察的对象的全体叫做总体。

个体：

组成总体的每一个考察对象称为个体。

样本：

从总体当中抽出的所有实际被调查的对象组成一个样本。

样本容量：

样本中个体的数量叫样本容量（不带单位）。

思考：

为了解东铁营二中初中一年级学生的身高，有关部门从初一年级中抽200名学生测量他们的身高，然后根据这一部分学生的身高去佔计东铁营二中所有初一学生的平均身高。

说出总体、个体、样本和样本容量。

解：

总体是：

东铁营二中初一年级学生每人身高的全体

个体是：

每名学生的身高

从中抽取的200名学生的每人身高的集体是总体的一个样本

样本容量是：

200

二直方图

1、'数据的频数分布表反映了一组数据中的每个数据出现的频数，从而反映了在数据组中各数据的分布情况。

要全面地掌握一组数据，必须分析这组数据中各个数据的分布情况。

思考：

八年级某班20名男生一次投掷标枪测试成绩如下（单位:

m）:

25,21,23,25,27,29,25,28,30,29,26,24,25,27,26,22,24,25,26,28。

（1）将这20名男生的测试成绩按从小到大排列，统讣出每种成绩的数值出现的频数，并制成统计表；

（2）詁据统计表回答：

1成绩小于25米的同学有儿人？

占总人数的百分之儿？

2成绩大于28米的同学有儿人？

占总人数的百分之儿？

3这些同学的成绩大部分集中在哪个范围内，占总人数的百分比是多少？

小结：

利用频数、频率分布表，可以清楚地反映出一组数据中的每个数据出现的频数和频率，从而反映这些数据的整体分布情况。

2、频数分布直方图

为了直观地表區茂］更駆］示一组数据的分布情况，可以以频数分布表为基础，绘制分布直方图。

:

画频数分布直方图可按以下步骤：

①计算数差；②确定组距与组数；③确定组限；

4列频数分布表；⑤画频数分布直方图。

其中组距和组数的确定没有固定标准，要凭借经验和研究的具体问题决定。

一般来说，组数越多越好，但实际操作比较麻烦，当数据在100个以内时，根据数据的特征通常分成5^12组。

规律总结：

统计表问题要抓住各部分的频数之和等于总体，各部分的频率之和等于1;而扇形统计图中，各部分的百分比之和为100%。

例2.刘强同学为了调查全市初中生人数，他对自己所在城区人口和城区初中生人数作了调查:

城区人口约3万，初中生人数约1200.全市人口实际约300万，为此他推断全市初中生人数为12万.但市教育局提供的全市初中生人数约8万，与估计数据有很大偏差.请你用所学的统计知识，找出其中错误的原因•

思路探索：

本题属于抽样调查，总体是全市人口，抽取的样本是城区3万人口，抽取的样本不具有代表性和广泛性，因此推断的结果与真实数据之间存在偏差。

变量之间的关系、表达方法

知识要点表示变量的三种方法：

列表法.解析法（关系式法入图象法

♦要点1变量、自变量、因变量

（1）在一变化的过程中，可以取不同数值的量叫做变量，数值保持不变的量叫做常量，常量和变量往往是相对的，相对于某个变化过程。

（2）在一变化的过程中，主动发生变化的量，称为自变量，而因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

例如小明出去旅行，路程S、速度V、时间T三个量中，速度V—定，路程S则随着时间T的变化而变化。

则T为自变量，路程为因变量。

♦要点2列表法与变量之间的关系

（1）列表法是表示变量之间关系的方法之一,可表示因变量随自变量的变化而变化的情况。

（2）从表格中获取信息，找出其中谁是自变量，谁是因变量。

找自变量和因变量时，主动发生变化的是自变量，因变量随自变量的增大而增大或减小

♦要点3用关系式表示变量之间的关系

（1）用来表示自变量与因变量之间关系的数学式子，叫做关系式，是表示变量之间关系的方法

之一。

（2）写变化式子，实际上根据题意，找到等量关系，列方程，但关系式的写法乂不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

即实质是用含自变量的代数式表示因变量。

（3）利用关系式求因变量的值，①已知自变量与因变量的关系式，欲求因变量的值，实质就是求代数式的值；②对于每一个确定的自变量的值，因变量都有一个确定的与之对应的值。

♦要点4用图象法表示变量的关系

（1）图象是刻画变量之间关系的乂一重要方式，特点是非常直观。

（2）通常用横轴（水平方向的数轴）上的点表示自变量，用纵轴（竖直方向的数轴）上的点表

示因变量。

（3）从图象中可以获取很多信息，关键是找准图象上的点对应的横轴和纵轴上的位置，才能准确获取信息。

如利用图象求两个变量的对应值，山图象得关系式，进行简单计•算，从图象上变量的变化规律进行预测，判断所給图象是否满足实际情景，所给变量之间的关系等。

（4）对比看：

速度一时间、路程一时间两图象

★若图象表示的是速度与时间之间的关系，随时间的增加即从左向右，“上升的线段”①表示速度在增加；“水平线段”②表示速度不变，也就是做匀速运动下降的线段”③表示速度在减少。

★若图像表示的是距离与时间之间的关系，“上升的线段”①表示物体匀速运动；“水平线段”②表示物体停止运动，“下降的线段”③表示物体反向运动。

如图BL-Ol（l）.

（2）：

易错易混点

（1）在列表中，不能够通过表格中的数据全面得出两个变量之间的关系规律，易出现片面性错误；

（2）有的变量是111不变量与变量之和组成的，在解题时易忽略不变部分（在个别问题中，一定条件下变量也可能成为不变量）而导致错误；