赵涛的初中数学组卷2.docx

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赵涛的初中数学组卷2

2013年11月赵涛的初中数学组卷

2013年11月赵涛的初中数学组卷

一．填空题（共1小题）

1．（2012•萧山区一模）如图，已知小圆的圆心为坐标原点O，半径为3，大圆圆心P的坐标为（a，0），半径为5．如果⊙O与⊙P内含，则字母a的取值范围是　_________　．

二．解答题（共5小题）

2．（2013•武汉模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC，⊙O为△ABC的外接圆，以点C为圆心，BC长为半径作弧交CA的延长线于点D，交⊙O于点E，连接BE、DE．

（l）求∠DEB的度数；

（2）若直线DE交⊙0于点F，判断点F在半圆AB上的位置，并证明你的结论．

3．（2011•黄石）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．

（1）如图

（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：

AC=CD；

（2）如图

（2），若C是⊙O1外一点，求证：

O1C丄AD；

（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断

（2）中的结论是否成立？

4．（2010•聊城）如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD．

（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；

（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．

5．已知：

如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，过点P的直线AB交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，连接O1O2．

求证：

O1A∥O2B．

6．（2004•宿迁）如图1，已知⊙O1、⊙O2内切于点P，⊙O1的弦AB交⊙O2于C、D两点，连接PA、PC、PD、PB，设PB与⊙O2交于点E．

（Ⅰ）求证：

PA•PE=PC•PD；

（Ⅱ）若将题中“⊙O1、⊙O2内切于点P”改为“⊙O1、⊙O2外切于点P”，其它条件不变，如图2，那么（Ⅰ）中的结论是否成立？

请说明理由．

2013年11月赵涛的初中数学组卷

参考答案与试题解析

一．填空题（共1小题）

1．（2012•萧山区一模）如图，已知小圆的圆心为坐标原点O，半径为3，大圆圆心P的坐标为（a，0），半径为5．如果⊙O与⊙P内含，则字母a的取值范围是　﹣2＜a＜2　．

考点：

圆与圆的位置关系；坐标与图形性质．296838

分析：

已知两圆圆心的坐标（0，0），（a，0），圆心距为|a﹣0|=|a|，两圆内含时，圆心距＜大圆半径﹣小圆半径．

解答：

解：

根据两圆圆心坐标可知，圆心距=|a﹣0|=|a|，

因为两圆内含时，圆心距＜5﹣3，

即|a|＜2，解得﹣2＜a＜2．

故答案为﹣2＜a＜2．

点评：

本题主要考查了圆与圆的位置关系，注意圆和圆内含的条件；当两圆圆心同在x轴上时，圆心距等于两点横坐标差的绝对值．

二．解答题（共5小题）

2．（2013•武汉模拟）如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC＞AC，⊙O为△ABC的外接圆，以点C为圆心，BC长为半径作弧交CA的延长线于点D，交⊙O于点E，连接BE、DE．

（l）求∠DEB的度数；

（2）若直线DE交⊙0于点F，判断点F在半圆AB上的位置，并证明你的结论．

考点：

圆周角定理；点与圆的位置关系．296838

分析：

（1）首先连接CE、BD，由圆周角定理可得：

∠BDE=

∠ECB，∠DBE=

∠ECD，则可求得∠BDE+∠DBE=45°，继而求得∠DEB的度数；

（2）由

（1）知∠DEB=135°，即可得∠BEF=45°，则可知弧FB=

弧AB；即F为弧AB中点．

解答：

解：

（1）连接CE、BD，

∵∠BDE与∠ECB所对的弧都为弧EB，

∴∠BDE=

∠ECB，

同理：

∠DBE=

∠ECD，

∴∠BDE+∠DBE=

∠DCB，

∵∠ACB=90°，

∴∠BDE+∠DBE=45°，

∴∠DEB=180°﹣（∠BDE+∠DBE）=135°；

（2）F为弧AB中点．

理由：

连接BF，由

（1）知∠DEB=135°，

∴∠ABF=45°，

∴

=

，

即F为弧AB中点．

点评：

此题考查了圆周角定理以及弧与圆心角的关系．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．

3．（2011•黄石）已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，点O1在⊙O2上，C为⊙O2上一点（不与A，B，O1重合），直线CB与⊙O1交于另一点D．

（1）如图

（1），若AD是⊙O1的直径，AC是⊙O2的直径，求证：

AC=CD；

（2）如图

（2），若C是⊙O1外一点，求证：

O1C丄AD；

（3）如图（3），若C是⊙O1内的一点，判断

（2）中的结论是否成立？

考点：

相交两圆的性质；圆周角定理．296838

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）连接O1O2，连接C01，利用直径所对圆周角等于90度，以及垂直平分线的性质得出即可；

（2）根据已知得出四边形AEDB内接于⊙O1，得出∠ABC=∠E，再利用

=

，得出∠E=∠AO1C，进而得出CO1∥ED即可求出；

（3）根据已知得出∠B=∠EO1C，又∠E=∠B，即可得出∠EO1C=∠E，得出CO1∥ED，即可求出．

解答：

（1）证明：

连接O1O2，连接C01

∵AC为⊙O2直径

∴∠AO1C=90°

即CO1⊥AD，

∵AO1=DO1

∴DC=AC（垂直平分线的性质）；

（2）证明：

连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，

∵四边形AEDB内接于⊙O1，

∴∠E+∠ABD=180°，

∵∠ABC+∠ABD=180°，

∴∠ABC=∠E，

又∵

=

，∴∠ABC=∠AO1C，

∴∠E=∠AO1C，

∴CO1∥ED，

又AE为⊙O1的直径，∴ED⊥AD，

∴O1C⊥AD，

（3）

（2）中的结论仍然成立．

证明：

连接AO1，连接AB，延长AO1交⊙O1于点E，连接ED，

∵∠B+∠AO1C=180°，∠EO1C+∠AO1C═180°，

∴∠B=∠EO1C，

又∵∠E=∠B，

∴∠EO1C=∠E，

∴CO1∥ED，又ED⊥AD，

∴CO1⊥AD．

点评：

此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质和圆内接四边形的性质，根据圆内接四边形的性质得出对应角之间的关系是解决问题的关键．

4．（2010•聊城）如图，已知Rt△ABC，∠ABC=90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD．

（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长；

（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与⊙O相切．

考点：

切线的判定；勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．296838

专题：

代数几何综合题；压轴题；数形结合．

分析：

（1）根据勾股定理易求AB的长；根据△ABD∽△ACB得比例线段可求BC的长．

（2）连接OD，证明DE⊥OD．

解答：

（1）解：

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC．

在RT△ADB中，∵AD=3，BD=4，

∴由勾股定理得AB=5．

∵∠ABC=90°，BD⊥AC，

∴△ABD∽△ACB，

∴

=

，

即

=

，

∴BC=

；

（2）证明：

连接OD，

∵OD=OB，

∴∠ODB=∠OBD；

又∵E是BC的中点，BD⊥AC，

∴DE=BE，

∴∠EDB=∠EBD．

∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD=90°，

即∠ODE=90°，

∴DE⊥OD．

∴ED与⊙O相切．

点评：

①直角三角形斜边上的高分得的两个三角形与原三角形相似；

②证过圆上一点的直线是切线，常作的辅助线是连接圆心和该点，证直线和半径垂直．

5．已知：

如图，⊙O1与⊙O2外切于点P，过点P的直线AB交⊙O1于点A，交⊙O2于点B，连接O1O2．

求证：

O1A∥O2B．

考点：

相切两圆的性质．296838

专题：

证明题．

分析：

由圆O1中两半径O1P=O1A，利用等边对等角得到一对角相等，由圆O2中两半径O2B=O2P，利用等边对等角得到一对角相等，由一对对应角相等，利用等量代换可得出一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行可得证．

解答：

证明：

∵O1P=O1A（圆的半径相等），

∴∠1=∠2（等边对等角），

∵O2B=O2P（圆的半径相等），

∴∠3=∠4（等边对等角），

∵∠2=∠3（对顶角相等），

∴∠1=∠4（等量代换），

∴O1A∥O2B（内错角相等，两直线平行）．

点评：

此题考查了相切两圆的性质，涉及的知识有：

等腰三角形的性质，对顶角相等，以及平行线的判定，当两圆外切时，两圆心的连线必然过切点．

6．（2004•宿迁）如图1，已知⊙O1、⊙O2内切于点P，⊙O1的弦AB交⊙O2于C、D两点，连接PA、PC、PD、PB，设PB与⊙O2交于点E．

（Ⅰ）求证：

PA•PE=PC•PD；

（Ⅱ）若将题中“⊙O1、⊙O2内切于点P”改为“⊙O1、⊙O2外切于点P”，其它条件不变，如图2，那么（Ⅰ）中的结论是否成立？

请说明理由．

考点：

圆与圆的位置关系；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．296838

专题：

几何综合题；压轴题．

分析：

（1）本题要证的实际是△ADP和△CEP相似．连接CE，已知了∠CEP=∠ADP（圆周角定理），只需再找出一组相等的对应角即可．过P作两圆的公切线，那么根据弦切角∠BPG在不同圆中对应的不同的圆周角可得出A=∠ECP，由此可证得两三角形相似．即可得出要证的结论；

（2）结论仍成立，证法和

（1）完全一样．

（本题中也可通过证△ADP∽△CEP，来得出所求的结论．证法同上面的类似）．

解答：

证明：

（1）证法一：

过点P作⊙O1、⊙O2的公切线FG，连接CE．

在⊙O1中，∠GPB=∠A，

在⊙O2中，∠GPB=∠ECP，

∴∠A=∠ECP．

又∵∠ADP=∠CEP，

∴△ADP∽△CEP．

∴

．

即PA•PE=PD•PC；

证法二：

过点P作⊙O1、⊙O2的公切线FG，

连接DE．

在⊙O1中，∠GPB=∠A，

在⊙O2中，∠GPB=∠EDP，

又∵四边形CDEP为⊙O2的内接四边形，

∴∠ACP=∠DEP．

∴△ACP∽△DEP．

∴

．

即PA•PE=PD•PC；

（II）结论仍然成立．

证法一：

过点P作⊙O1、⊙O2的内公切线FG，

连接CE．

在⊙O1中，∠FPB=∠A，

在⊙O2中，∠GPE=∠PCE，

而∠GPE=∠FPB，

∴∠A=∠PCE．

又∵∠ADP=∠CEP，

∴△ADP∽△CEP．

∴

．

即PA•PE=PD•PC；

证法二：

过点P作⊙O1、⊙O2的内公切线FG，

连接DE．

在⊙O1中，∠FPB=∠A，

在⊙O2中，∠GPE=∠PDE，

而∠GPE=∠FPB，

∴∠A=∠PDE．

又∵∠ACP=∠DEP，

∴△ACP∽△DEP．

∴

．

即PA•PE=PD•PC．

点评：

本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系，弦切角定理等知识点．

通过作两圆的公切线来证与所求线段相关的三角形相似是解题的关键．