湖北省荆州市沙市第五中学高中数学 第三章 第二节 一元二次不等式及其解法学案 新人教A版必修5.docx

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高一数学必修五第三章第二节：

一元二次不等式及其解法

导学案

学习目标:

理解一元二次不等式的概念及其与二次函数、一元二次方程的关系。

初步树立“数形结合次函数、一元二次方程的关系。

学法指导：

发现、讨论法；数形结合。

”的观念。

掌握一元二次不等式的解法及步骤。

学习重点、难点：

一元二次不等式、二次函数、一元二次方程的关系；一元二次不等式的解法及其步骤。

知识链接：

一元二次不等式的概念

[提出问题]

观察下列不等式：

（1）x2>0；

（2）－x2－2x≤0；（3）x2－5x＋6>0.

问题1：

以上给出的3个不等式，它们含有几个未知数？

未知数的最高次数是多少？

提示：

它们只含有一个未知数，未知数的最高次数都是2.

问题2：

上述三个不等式在表达形式上有何共同特点？

提示：

形如ax2＋bx＋c>0（或≤0），其中a，b，c为常数，且a≠0.

[导入新知]

1．一元二次不等式

我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式，即形如ax2＋bx＋c＞0（≥0）或ax2＋bx＋c＜0（≤0）（其中a≠0）的不等式叫做一元二次不等式．

2．一元二次不等式的解与解集

使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集.

[化解疑难]

1．定义的简单应用：

判断一个不等式是否为一元二次不等式，应严格按照定义去判断，即未知数只有1个，未知数的最高次数是2，且最高次的系数不能为0.

2．解集是解的集合，故一元二次不等式的解集一定要写成集合或区间的形式.

一元二次不等式的解法

[提出问题]

已知：

一元二次函数y＝x2－2x，一元二次方程x2－2x＝0，一元二次不等式x2－2x＞0.

问题1：

试求二次函数与x轴交点坐标

提示：

（0,0）、（2,0）

问题2：

一元二次方程根是什么？

提示：

x1＝0，x2＝2.

问题3：

问题1中的坐标与问题2中的根有何内在联系？

提示：

交点的横坐标为方程的根．

问题4：

观察二次函数图象，x满足什么条件，图象在x轴上方？

提示：

x＞2或x＜0.

问题5：

能否利用问题4得出不等式x2－2x＞0，x2－2x＜0的解集？

提示：

能，不等式的解集为{x|x＞2或x＜0}，{x|0＜x＜2}．

[导入新知]

一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表

判别式Δ＝b2－4ac

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a>0）的根

有两相异实根x1，x2，（x1＜x2）

有两相等实根x1＝x2＝－

没有实数根

二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象

ax2＋bx＋c>0（a>0）的解集

或x>x2}

R

ax2＋bx＋c<0（a>0）的解集

∅

∅

[化解疑难]

一元二次方程的根对应于二次函数图象与x轴的交点，一元二次不等式的解对应于二次函数图象在x轴上方（下方），或在x轴上的点，由此得出二次函数图象的开口方向及与x轴的交点情况确定的一元二次不等式的图象解法，这样就形成了二次函数与一元二次方程相结合的解一元二次不等式的方法．

一元二次不等式的解法

[例1]　解下列不等式：

（1）2x2＋7x＋3＞0；

（2）x2－4x－5≤0；

（3）－4x2＋18x－

≥0；

（4）－

x2＋3x－5＞0；

（5）－2x2＋3x－2＜0.

[解]　

（1）因为Δ＝72－4×2×3＝25＞0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－

.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等式的解集为{x|x＞－

，或x＜－3}．

（2）原不等式可化为（x－5）（x＋1）≤0，所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．

（3）原不等式可化为

2≤0，所以原不等式的解集为

.

（4）原不等式可化为x2－6x＋10＜0，Δ＝（－6）2－40＝－4＜0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅.

（5）原不等式可化为2x2－3x＋2＞0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.

[类题通法]

解一元二次不等式的一般步骤

（1）

通过对不等式变形，使二次项系数大于零；

（2）计算对应方程的判别式；

（3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；

（4）根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．

[活学活用]

1．解下列不等式：

（1）x2－5x－6>0；

（2）－x2＋7x>6.

（3）（2－x）（x＋3）<0；（4）4（2x2－2x＋1）>x（4－x）．

解：

（1）方程x2－5x－6＝0的两根为x1＝－1，

x2＝6.

结合二次函数y＝x2－5x－6的图象知，原不等式的解集为{x|x<－1或x>6}．

（2）原不等式可化为x2－7x＋6<0.

解方程x2－7x＋6＝0得，x1＝1，x2＝6.

结合二次函数y＝x2－7x＋6的图象知，原不等式的解集为

{x|1

（3）原不等式可化为（x－2）（x＋3）>0.

方程（x－2）（x＋3）＝0两根为2和－3.

结合二次函数y＝（x－2）（x＋3）的图象知，原不等式的解集为{x|x<－3或x>2}．

（4）由原不等式得8x2－8x＋4>4x－x2.

∴

原不等式等价于9x2－12x＋4>0.

解方程9x2－12x＋4＝0，得x1＝x2＝

.

结合二次函数y＝9x2－12x＋4的图象知，原不等式的解集为{x|x≠

}.

解含参数的一元二次不等式

[例2]　解关于x的不等式x2＋（1－a）x－a＜0.

[解]　方程x2＋（1－a）x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a，函数y＝x2＋（1－a）x－a的图象开口向上，则当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；

当a＝－1时，原不等式解集为∅；

当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．

[类题通法]

解含参数的一元二次不等式时：

（1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论；

（2）若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论；

（3）若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．

[活学活用]

2．解关于x的不等式：

ax2－（a－1）x－1＜0（a∈R）．

解：

原不等式可化为：

（ax＋1）（x－1）＜0，

当a＝0时，x＜1，

当a＞0时

（x－1）＜0

∴－

＜x＜1.

当a＝－1时，x≠1，

当－1＜a＜0时，

（x－1）＞0，

∴x＞－

或x＜1.

当a＜－1时，－

＜1，

∴x＞1或x＜－

，

综上原不等式的解集是：

当a＝0时，{x|x＜1}；

当a＞0时，

；

当a＝－1时，{x|x≠1}；

当－1＜a＜0时，

.

当a＜－1时，

，

一元二次不等式与相应函数、方程的关系

[例3]　已知关于x的不等式x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求关于x的不等式bx2＋ax＋1＞0的解集．

[解]　∵x2＋ax＋b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，

∴1,2是x2＋ax＋b＝0的两根．

由韦达定理有

得

代入所求不等式，得2x2－3x＋1＞0.

由2x2－3x＋1＞0⇔（2x－1）（x－1）＞0⇔x＜

或x＞1.

∴bx2＋ax＋1＞0的解集为

∪（1，＋∞）．

[类题通法]

1．一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a

≠0）的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根，也是函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标．

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＞0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2＋bx＋c＜0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．

[活学活用]

3．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－

和2.

（1）求a、b的值；

（2）解不等式ax2＋bx－1＞0.

解：

（1）∵方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－

和2，

由根与系数的关系，得

解得a＝－2，b＝3.

（2）由

（1）知，ax2＋bx－1＞0可变为－2x2＋3x－1＞0，

即2x2－3x＋1＜0，解得

＜x＜1.

∴不等式ax2＋bx－1＞0的解集为{x|

＜x＜1}．

[达标检测]

1．不等式x（2－x）＞0的解集为（　　）

A．{x|x＞0}　　　　B．{x|x＜2}

C．{x|x＞2或x＜0}D．{x|0＜x＜2}

解析：

选D　原不等式化为x（x－2）＜0，故0＜x＜2.

2．已知集合M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6＞0}，

则M∩N为（　　）

A．{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}

B．{x|－4＜x≤－2或3≤x＜7}

C．{x|x≤－2或x＞3}

D．{x|x＜－2或x≥3}

解析：

选A　∵M＝{x|x2－3x－28≤0}

＝{x|－4≤x≤7}，

N＝{x|x2－x－6＞0}＝{x|x＜－2或x＞3}，

∴M∩N＝{x|－4≤x＜－2或3＜x≤7}．

3．二次函数y＝x2－4x＋3在y＜0时x的取值范围是________．

解析：

由y＜0得x2－4x＋3＜0，

∴1＜x＜3

答案：

（1,3）

4．若不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为

，则实数a＝________，实数b＝________.

解析：

由题意可知－

，2是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根．

由根与系数的关系得

解得a＝－2，b＝3.

答案：

－2　3

5．解下列不等式：

（1）x（7－x）≥12；

（2）x2＞2（x－1）．

解：

（1）原不等式可化为x2－7x＋12≤0，因为方程x2－7x＋12＝0的两根为x1＝3，x2＝4，

所以原不等式的解集为{x|3≤x≤4}．

（2）原不等式可以化为x2－2x＋2＞0，

因为判别式Δ＝4－8＝－4＜0，方程x2－2x＋2＝0无实根，而抛物线y＝x2－2x＋2的图象开口向上，

所以原不等式的解集为R.

[第二课时]

1．如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方程之间的关系？

2．判别式Δ的值对一元二次不等式的解集有何影响？

[例1]　解下列不等式

（1）

<0；

（2）

≤2.

[解]　

（1）由

<0，得

>0，

此不等

式等价于（x＋2）（x－1）>0，

∴原不等式的解集为{x|x<－2或x>1}．

（2）法一：

移项得

－2≤0，

左边通分并化简有

≤0，即

≥0，

它的同解不等式为

∴x<2或x≥5.

∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．

法二：

原不等式可化为

≥0，

此不等式等价于

①

或

②

解①得x≥5，解②得x<2，

∴原不等式的解集为{x|x<2或x≥5}．

[类题通法]

1．对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．

2．对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分（不要去分母），使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．

[活学活用]

1．解下列不等式：

（1）

≥0；　　

（2）

>1.

解：

（1）原不等式等价于

即

⇒－2≤x<3.

∴原不等式的解集为{x|－2≤x<3}．

（

2）原不等式可化为

－1>0，即

<0.

等价于（3x－2）（4x－3）<0.

∴

.

∴原不等式的解集为{x|

}.

[例2]　关于x的不等式（1＋m）x2＋mx＋m＜x2＋1对x∈R恒成立，求实数m的取值范围．

[解]　原不等式等价于mx2＋mx＋m－1＜0，对x∈R恒成立，

当m＝0时，0·x2＋0·x－

1＜0对x∈R恒成立．

当m≠0时，由题意，得

⇔

⇔

⇔m＜0.

综上，m的取值范围为m≤0.

[类题通法]

不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0，它的解集为R的条件为

一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为

一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅的条件为

[活学活用]

2．若关于x的不等式ax2＋2x＋2＞0在R上恒成立，求实数a的取值范围．

解：

当a＝0时，原不等式可化为2x＋2＞0，其解集不为R，故a＝0不满足题意，舍去；

当a≠0时，要使原不等式的解集为R，只需

解得a＞

.

综上，所求实数a的取值范围为

.

一元二次不等式的实际应用

[例3]　某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x（x≠0）个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．

（1）写出税收y（万元）与x的函数关系式；

（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．

[解]　

（1）降低税率后的税率为（10－x）%，农产品的收购量为a（1＋2x%）万担，收购总金额为200a（1＋2x%）．

依题意得，y＝200a（1＋2x%）（10－x）%

＝

a（100＋2x）（10－x）（0＜x＜10）．

（2）原计划税收为200a·10%＝20a（万元）．

依题意得，

a（100＋2x）（10－x）≥20a×83.2%，

化简得x2＋40x－84≤0，

∴－42≤

x≤2.

又∵0＜x＜10，

∴0＜x≤2.

∴x的取值范围是{x|0＜x≤2}．

[类题通法]

用一元二次不等式解决实际问题的操作步骤是：

（1）理解题意，搞清量与量之间的关系；

（2）建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题；

（3）解这个一元二次不等式，得到实际问题的解．

[活学活用]

3．某校园内有一块长为800m，宽为600m的长方形地面，现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉（花卉带的宽度相同），中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围．

解：

设花卉带的宽度为xm，则中间草坪的长为（800－2x）m，宽为（600－2x）m．根据题意可得（800－2x）（600－2

x）≥

×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即（x－600）（x－100）≥0，所以0＜x≤100或x≥600，x≥600不符合题意，舍去．

故所求花卉带宽度的范围为（0,100]m.

[典例]　已知f（x）＝x2＋2（a－2）x＋4，

如果对一切x∈R，f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围；

[解]　由题意可知，只有当二次函数f（x）＝x2＋2（a－2）x＋4的图象与直角坐标系中的

x轴无交点时，才满足题意，

则其相应方程x2＋2（a－2）＋4＝0此时应满足Δ＜0，即4（a－2）2－16＜0，解得0＜a＜4.

故a的取值范围是{a|0＜a＜4}．

【探究一】　解决此类问题要注意三个“二次”之间的相互联系，并能在一定条件下相互转换，若一元二次不等式的解集为R或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．

【探究二】　若x2的系数为参数，应参考本节例

2及变式的解法．

【探究三】　对于x∈[a，b]，f（x）＜0（或＞0）恒成立，应利用函数图象．如：

是否存在实数a，使得对任意x∈[－3,1]，f（x）＜0恒成立．若存在求出a的取值范围；若不存在说明理由．

[解]　若对任意，x∈[－3,1]，f（x）＜0恒成立，则满足题意的函数f（x）＝x2＋2（a－2）x＋4的图象如图所示．

由图象可知，此时a应该满足

即

解得

这样的实数a是不存在的，所以不存在实数a满足：

对任意x∈[－3,1]，f（x）＜0恒成立．

【探究四】　对此类问题，要弄清楚哪个是参数，哪个是自变量．如：

已知函数y＝x2＋2（a－2）x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，试求x的取值范围．

解：

原函数可化为g（a）＝2xa＋x2－4x＋4，是关于a的一元一次函数．

要使对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立，只需

满足

即

因为x2－2x＋4＜0的解集是空集，

所以不存在实数x，

使函数y＝x2＋2（a－2）x＋4，对任意a∈[－3,1]，y＜0恒成立．

[达标检测]

1．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝{x|

≤0}，则A∩B＝（　　）

A．{x|－1≤x＜0}　　　B．{x|0＜x≤1}

C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}

解析：

选B　∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤2}，

∴A∩B＝{x|0＜x≤1}．

2．已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集为空集，则a的取值范围是（　　）

A．－4≤a≤4B．－4＜a＜4

C．a≤－4或a≥4D．a＜－4或a＞4

解析：

选A　依题意应有Δ＝a2－16≤0，

解得－4≤a≤4，故选A.

3．不等式

≤3的解集为________．

解析：

≤3⇔

－3≤0⇔

≥0⇔x（2x－1）≥0且x≠0⇔x<0或x≥

.

答案：

4．若函数f（x）＝log2（x2－2ax－a）的定义域为R，则a的取值范围为________．

解析：

已知函数定义域为R，即

x2－2ax－a＞0

对任意x∈R恒成立

．

∴Δ＝（－2a）2＋4a＜0.

解得－1＜a＜0.

答案：

（－1,0）

5．你能用一根长为100m的绳子围成一个面积大于600m2的矩形吗？

解：

设围成的矩形一边的长为xm，则另一边的长为（50－x）m，且0＜x＜50.

由题意，得围成矩形的面积S＝x（50－x）＞600，

即x2－50x＋600＜0，解得20＜x＜30.

所以，当矩形一边的长在（20,30）的范围内取值时，能围成一个面积大于600m2的矩形．