博弈论基础作业及答案.docx
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博弈论基础作业及答案
博弈论基础作业
一、名词解释
纳什均衡占优战略均衡纯战略混合战略子博弈精炼纳什均衡
贝叶斯纳什均衡精炼贝叶斯纳什均衡共同知识
见PPT
二、问答题
1.举出囚徒困境和智猪博弈的现实例子并进行分析。
囚徒困境的例子:
军备竞赛;中小学生减负;几个大企业之间的争相杀价等等;
以中小学生减负为例:
在当前的高考制度下,给定其他学校对学生进行减负,一个学校最好不减负,因为这样做,可以带来比其他学校更高的升学率。
给定其他学校不减负,这个学校的最佳应对也是不减负。
否则自己的升学率就比其他学校低。
因此,不论其他学校如何选择,这个学校的最佳选择都是不减负。
每个学校都这样想,所以每个学校的最佳选择都是不减负,因此学生的负担越来越重。
请用同样的方法分析其他例子。
智猪博弈的例子:
大企业开发新产品;小企业模仿;股市中,大户搜集分析信息,散户跟随大户的操作策略
以股市为例:
给定散户搜集资料进行分析,大户的最佳选择是跟随。
而给定散户跟随,大户的最佳选择是自己搜集资料进行分析。
但是不论大户是选择分析还是跟随,散户的最佳选择都是跟随。
因此如果大户和散户是聪明的,并且大户知道散户也是聪明的,那么大户就会预见到散户会跟随,而给定散户跟随,大户只有自己分析。
请用同样的方法分析其他例子。
2.请用博弈论来说明“破釜沉舟”和“穷寇勿追”的道理。
破釜沉舟是一个承诺行动。
目的是要断绝自己的退路,让自己无路可退,让自己决一死战变得可以置信。
也就是说与敌人对决时,只有决一死战,这样才可以取得胜利。
否则,如果不破釜沉舟,那么遇到困难时,就很有可能退却,也就无法取得胜利。
穷寇勿追就是要给对方一个退路,由于有退路,对方就不会殊死抵抗。
否则,对方退无可退,只有坚决抵抗一条路,因而必然决一死战。
自己也会付出更大的代价。
3.当求职者向企业声明自己能力强时,企业未必相信。
但如果求职者拿出自己的各种获奖证书时,却能在一定程度上传递自己能力强的信息。
这是为什么?
由于口头声明几乎没有成本,因此即便是能力差的求职者也会向企业声明自己能力强。
当然能力强的人也会声明自己的能力强。
也就是说不同类型的求职者为了赢得职位会做出同样的声明。
这样口头声明就不能有效的传递信息,因此企业不会轻易相信。
而求职者拿出获奖证书就成了一个信号博弈。
由于获得证书是要付出代价的,但代价却引人而异。
能力强的个人可以相对轻易获得证书,而能力弱的个人却很难获得证书,以至于能力弱的人认为化巨大的代价获得证书,从而获得企业的职位是不划算的,因此干脆就不要获奖证书。
因此获奖证书就成为个人能力的信号。
4.五个海盗抢得100颗钻石,他们为分赃发生了争议,最后达成协议,由抓阄确定出分赃顺序,然后按照民主程序进行分赃。
首先由1号海盗提出分赃方案,五人共同举手表决。
若赞成的占一半以上(不包括一半的情况),就按1号提出的方案分赃,否则1号将被扔到海里喂鲨鱼。
接着由2号提出方案,四人共同举手表决。
若赞成的占一半以上(不包括一半的情况),就按2号提出的方案分赃,否则2号将被扔到海里喂鲨鱼,依此类推。
如果你是1号海盗,你该提什么样的方案?
说明理由。
假设
(1)五个强盗都很聪明,而且大家知道大家很聪明,大家知道大家知道大家很聪明,如此等等。
(2)每个海盗都很贪婪,希望获得尽可能多的钻石,但是又不想为了钻石丢掉性命。
(3)给定一个方案,只有该方案大于他的备选方案所获的钻石时,海盗才选择赞成。
第一个海盗的提议应该是:
五个海盗分别获得的钻石数目为97,0,1,0,2,或者97,0,1,2,0。
具体理由自己思考,方法是倒推法。
三、计算题
1.试计算表1中的战略式博弈的重复剔除劣战略均衡。
表1一个战略式表述博弈
B
L
M
R
A
U
1,2
3,1
2,4
M
5,6
7,1
2,6
D
3,1
2,0
7,8
对B而言,战略M严格劣于R;(因为1<4,1<6,0<8),因此剔除B的战略M;构成新的博弈如下
B
L
R
A
U
1,2
2,4
M
5,6
2,6
D
3,1
7,8
在新的博弈中,
对于A而言,战略U严格劣于D(因为1<3,2<7),因此剔除A的战略U,构成新的博弈如下:
B
L
R
A
M
5,6
2,6
D
3,1
7,8
对于新的博弈中,已经没有严格的劣战略,因此没有严格的劣战略可以剔除。
所以该博弈不是重复剔除严格劣战略可解的。
但是存在弱劣战略。
对于B而言,战略L弱劣于R(因为6=6,1<8),因此剔除B的弱劣战略L,构成新的博弈如下:
B
R
A
M
2,6
D
7,8
在新的博弈中,对于A而言,战略M严格劣于D(因为2<7),因此剔除A的战略M,构成新的博弈如下:
B
R
A
D
7,8
因此,重复剔除(弱)劣战略均衡为(D,R)
(ps:
如果同学们用划线的方法求纳什均衡,就可以发现纯战略nash均衡有两个:
(M,L)和(D,R)但采用剔除弱劣战略的方法,把其中一个纳什均衡剔除掉了)
2.试给出下述战略式表述博弈的所有纳什均衡。
2
L
R
1
U
2,2
3,3
D
4,4
1,2
给定1选择U,2的最佳选择是R(因为2<3),在相应位置划线
给定1选择D,2的最佳选择是L(因为4>2),在相应位置划线
给定2选择L,1的最佳选择是D(理由自己写),在相应位置划线
给定2选择R,1的最佳选择是U(理由自己写),在相应位置划线
找两个数字下都划线的,显然有两个纯战略纳什均衡:
和
据Wilson的奇数定理,可能有一个混合战略均衡。
设1选
的概率为
,那么选D的概率为
设2选
的概率为
,那么选R的概率为
,
如果存在混合战略,那么2选战略L和R的期望收益应该应该相等,因此应有
自己求解(2分)
同样,1选战略U和D的期望收益应该应该相等
得混合均衡:
?
3.市场里有两个企业1和2。
每个企业的成本都为0。
市场的逆需求函数为P=16-Q。
其中P是市场价格,Q为市场总产量。
(1)求古诺(Cournot)均衡产量和利润。
(2)求斯坦克尔伯格(Stackelberg)均衡产量和利润。
(1)设两个企业的产量分别为
,
,有
,因此利润函数分别为:
利润最大化的一阶条件分别为:
因此企业1和企业2的反应函数分别为:
联立,得到
。
自己求解
(2)设企业1先行,企业2跟进。
两个企业的产量分别为
,
,因此利润函数分别为:
由逆向归纳法,在第二阶段,企业2在已知企业1的产量的情况下,最优化自己的产量,从而得到企业2的反应函数:
因此企业2的反应函数为:
在第一阶段,企业1考虑到企业2的反应,从而自己的利润函数为:
(2分)
要使企业1的利润最大,应满足一阶条件:
得到
。
所以
。
(PS:
古诺模型是完全信息静态博弈,求的是纳什均衡;斯坦伯格模型是完全信息动态博弈,求的是子博弈精炼纳什均衡)
4.
(1)试给出图1中的完全信息动态博弈的子博弈精炼均衡和均衡结果。
(2)倘若2告诉1:
2的战略是
,问此时1的最优战略是什么?
(3)在
(2)中,1和2的战略组合构成一个纳什均衡吗?
均衡结果是什么?
(4)(3)中的纳什均衡不是子博弈精炼的,原因是什么?
1
ab
22
cdej
(1,2)(2,1)1(6,3)
fg
(3,2)
li
(4,6)(0,2)
答:
(1)
1
ab
22
cdej
(1,2)(2,1)1(6,3)
(2分)fg
(3,2)
li
(4,6)(0,2)
由逆向归纳法,子博弈精炼均衡为
,均衡结果为(4,6)。
(2)若2的战略为
,则1的最优战略为
。
(3)给定2的战略为
,1的最优战略为
;反之,给定1的战略
,战略
是2的一个最优战略。
所以它们构成一个纳什均衡,均衡结果为(6,3)。
(4)因为2的战略
中含有不可置信的威胁
,使1在
和
之间不敢选
。
当博弈进行到2在
与
之间进行选择的时候,2必会选
,给定如此,1选
而不是
,此时2会选
,这就是子博弈精炼均衡。
5、试解出下述不完美信息动态博弈的精炼贝叶斯均衡。
1R
(1,2)
L
2
lrlr
(2,4)(0,1)(3,1)(7,2)
当“2”看见“1”未选R时,设他认为“1”选L的概率为P,“1”选
的概率为1-P,则“2”选
的期望支付为:
“2”选
的期望支付为
当
,即
时,“2”选
,而给定“2”选
,“1”选L收益为2,选
的收益为3,选R的收益为1,因此“1”会选
。
而给定“1”选
,“2”认为
(注意:
P是“1”选L的概率),与
矛盾。
故
不会有均衡;
当
,即
时,“2”选
,给定“2”选
,“1”选L收益为0,选
的收益为7,选R的收益为1,因此“1”会选
。
而给定“1”选
,“2”认为
,与
吻合。
于是,得到均衡战略:
,即“1”在第一阶段选择
,“2”虽然看不到“1”的选择,但“2”认为“1”选择L的概率为0,所以“2”在第二阶段选择
,这样的战略构成了一个贝叶斯精炼纳什均衡。
均衡结果为(7,2)。