高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修.docx
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高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修
2019-2020年高中数学专题09解密含参函数的单调性特色训练新人教A版选修
一、选择题
1.【湖北省重点高中联考协作体xx年秋季高三期中考】若函数在区间单调递增,则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】C
]∴。
∴。
选C。
点睛:
函数的单调性与导函数的关系
(1)若在内,则在上单调递增(减).
(2)在上单调递增(减)()在上恒成立,且在的任意子区间内都不恒等于0.
(3)若函数在区间内存在单调递增(减)区间,则在上有解.
2.【山东省桓台第二中学xx届高三9月月考】“”是“函数在区间内单调递减”的()
A.必要不充分条件B.充分不必要条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当时,,令,当函数在区间内单调递减时,只需在区间恒成立,故即可,所以选B
3.【山东省桓台第二中学xx届高三9月月考】若函数在区间单调递增,则的取值范围是().
A.B.C.D.
【答案】B
4.【河北省鸡泽县第一中学xx学年高一上学期第二次月考】若二次函数f(x)=x2+ax+4在区间(-∞,3)单调递减,则a的取值范围是( )
A.(-6,+∞)B.[-6,+∞)C.(-∞,-6)D.(-∞,-6]
【答案】D
【解析】二次函数的单调区间和函数的对称轴有关系,此函数的对称轴是,函数在上是减函数,故要求故
故结果为D.
二、填空题
5.【xx学年高中数学(苏教版)选修1-1阶段质量检测】若函数f(x)=2x2-lnx在其定义域的一个子区间(k-1,k+1)内不是单调函数,则实数k的取值范围是________.
【答案】
【解析】∵f′(x)=4x-=,x>0,
∴当0时,f′(x)>0,f(x)为增函数,依题意得
∴1≤k<.
答案:
6.【xx学年高中数学(苏教版)选修1-1阶段质量检测】已知函数f(x)=-x3+ax2-x+18在(-∞,+∞)上是单调函数,则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】由题意得f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞,+∞)上恒成立,
因此Δ=4a2-12≤0⇒-≤a≤,所以实数a的取值范围是.
答案:
7.【xx学年高中数学(苏教版)选修1-1阶段质量检测】若函数在(1,+∞)上是增函数,则实数k的取值范围是________.
【答案】[-2,+∞)
8.【河南省天一大联考xx届高三上学期阶段性测试】若函数在上单调递增,则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】在上恒成立,所以最大值
令,则,当时
点睛:
函数单调性问题,往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题,即转化为方程或不等式解的问题(有解,恒成立,无解等),而不等式有解或恒成立问题,又可通过适当的变量分离转化为对应函数最值问题.
三、解答题
9.【甘肃省会宁县第一中学xx届高三上学期第三次月考】设为实数,函数
(1)求的单调区间与极值;
(2)求证:
当且时,
【答案】
(1)见解析;
(2)见解析
试题解析:
(1)解:
由
知,.
令,得.于是,当变化时,和的变化情况如下表:
0
+
单调递减
单调递增
故的单调递减区间是,单调递增区间是.在处取得极小值,极小值为.
(2)证明:
设
,于是
,由
(1)知,对任意,都有,所以在R内单调递增,于是,当时,对任意,都有,而,从而对任意,都有,即故
10.已知函数,且.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)若函数有最值,写出的取值范围.(只需写出结论)
【答案】
(1);
(2)详见解析;(3)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)求导,利用导数的几何意义进行求解;(Ⅱ)求导,利用分类讨论思想讨论导函数的符号变换,进而得到函数的单调区间;(Ⅲ)根据前一问直接给出答案即可.
(Ⅱ)因为,所以.
当时,定义域为
.
且
故的单调递减区间为
……5分
当时,定义域为.当变化时,,
:
x
—
0
+
0
—
单调减
极小值
单调增
极大值
单调减
故的单调递减区间为,,
单调递增区间为.
综上所述,
当时,的单调递减区间为
;
当时,故的单调递减区间为,,
单调递增区间为.
(Ⅲ)
11.【河南省郑州市第一中学xx届高三上学期期中】已知函数
.
(1)求函数的单调区间;
(2)若恒成立,试确定实数的取值范围;
(3)证明:
.
【答案】
(1)见解析;
(2);(3)见解析.
试题解析:
(1)定义域为,
若,,在上单调递增
若,
,
所以,当时,,当时,
综上:
若,在上单调递增;
若,在上单调递增,在上单调递减
点睛:
(1)导数综合题中对于含有字母参数的问题,一般用到分类讨论的方法,解题时要注意分类要不重不漏;
(2)对于恒成立的问题,直接转化为求函数的最值即可;(3)对于导数中,数列不等式的证明,解题时常常用到前面的结论,需要根据题目的特点构造合适的不等式,然后转化成数列的问题解决,解题时往往用到数列的求和.
12.【吉林省吉化一中、前郭五中等xx学年高二上学期期中】已知函数
.
(1)证明:
函数在区间上是减函数;
(2)当时,证明:
函数只有一个零点.
【答案】
(1)证明见解析;
(2)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)只需证明f(x)的导函数恒成立,且不恒等于0.注意定义域和参数的范围。
(2)当时,,其定义域是,通过求导分析函数的单调性及极值可知函数f(x)的图像与x轴相切于(1,0)点,其余点均在x轴下方,所以只有一个零点。
试题解析:
(1)显然函数的定义域为.
∴
.
∵,,∴,,∴,
所以函数在上是减函数.
【点睛】
当在某个区间D上恒成立时,f(x)在区间D上单调递增,当在某个区间D上恒成立时,f(x)在区间D上单调递减。
求函数零点问题,一般利用导数分析函数单调性与极值等图像特征,再根据零点存在性定理分析函数零点个数。
13.已知函数.
(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数的单调区间;
(Ⅲ)如果,在上恒成立,求的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)当时,的单调递增区间为;当时,的单调递增区间为,单调递减区间为;(Ⅲ)
【解析】试题分析:
(Ⅰ)求出函数的导数,分别计算f
(1),f′
(1)的值,求出切线方程即可;
(Ⅱ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间即可;(Ⅲ)如果在上恒成立,即在恒成立,根据函数的单调性求出a的范围即可
②当时,,得,
在区间上,,
在区间上,,
所以的单调递增区间为,
单调递减区间为;
(Ⅲ)如果在上恒成立,
即在恒成立,
令,,
,
令,解得:
,
令,解得:
,
故在递增,在递减,
故,
故.
点睛:
本题考查了利用导数研究曲线上某点处的切线方程,考查了利用导数研究函数的单调性,训练了利用分离变量法求参数的取值范围,构造函数并用导数求其最值是解答(Ⅲ)的关键.
14.已知,
(1)写出的定义域.
(2)求的单调区间.
【答案】
(1)
(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)根据定义域求法即得
(2)求单调区间可通过解导函数大于零和小于零的不等式得到单调区间,但要注意分a大于零和小于零的情况
②当时,在上;在上
的递增区间为;递减区间为
15.【山东省桓台第二中学xx届高三9月月考】设
,.
(1)令,求的单调区间;
(2)已知在处取得极大值,求实数的取值范围.
【答案】
(1)见解析;
(2).
【解析】试题分析:
(1)求函数的单调区间主要是先求出函数的导函数,根据导函数大于零和小于零分别解出所对应的增减区间,但要含参问题时则要注意讨论,由,根据a的不同取值尽享讨论即可得出单调区间
(2)已知在处取得极大值,故.,然后根据第一问单调性的讨论验证函数是否在1处取得极大值即可得出正确a的取值范围
(2)由
(1)知,.
①当a时,单调递增.
所以当时,,单调递减.当时,,单调递增.
所以在处取得极小值,不合题意.
②当时,,由
(1)知在内单调递增,
可得当时,,时,,
所以在内单调递减,在内单调递增,所以在处取得极小值,不合题意.
16.【四川省绵阳市xx届高三第一次诊断性考试】函数
.
(1)求的单调区间;
(2)若,求证:
.
【答案】(Ⅰ)a≤0时,的单调递减区间是;时,的单调递减区间是,的单调递增区间是.(Ⅱ)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)求出导数,根据对的分类讨论,找到导数正负区间,即可求出;
(2)求出函数的最小值,转化为证≥,构造,求其最小值,即可解决问题.
试题解析:
(Ⅰ)
.
当a≤0时,,则在上单调递减;当时,由解得,由解得.
即在上单调递减;在上单调递增;
综上,a≤0时,的单调递减区间是;时,的单调递减区间是,的单调递增区间是.
点睛:
本题考查函数的单调性极值及恒成立问题,涉及函数不等式的证明,综合性强,难度大,属于难题.处理导数大题时,注意分层得分的原则,力争第一二问答对,第三问争取能写点,一般涉及求函数单调性及极值时,比较容易入手,求导后注意分类讨论,对于恒成立问题一般要分离参数,然后利用函数导数求函数的最大值或最小值,对于含有不等式的函数问题,一般要构造函数,利用函数的单调性来解决,但涉及技巧比较多,需要多加体会.
17.【广东省兴宁市沐彬中学xx届高三上中段】若,
(1)当,求在点处的切线方程;
(2)讨论的单调性。
【答案】
(1);
(2)见解析
【解析】试题分析:
(1)先求定义域,当时,求出,得到切线斜率,求出切点坐标,然后求解曲线在点处的切线方程.
(1)
.对分类讨论:
当时,当时利用导数研究函数的单调性即可得出.
试题解析:
定义域为
(1),
,
切线方程为,即
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的切线、单调性,其中分类讨论思想方法、推理能力与计算能力是考查的重点
18.【xx-xx学年高中数学(苏教版)选修1-1课时跟踪训练】已知函数f(x)=2ax-,x∈(0,1].若f(x)在(0,1]上是增函数,求实数a的取值范围.
【答案】[-1,+∞)
【解析】试题分析:
若f(x)在(0,1]上单调递增,则,即a≥-在x∈(0,1]上恒成立,令g(x)=-,只需a≥g(x)max即可.
试题解析:
由已知得f′(x)=2a+,
∵f(x)在(0,1]上单调递增,
∴f′(x)≥0,即a≥-在x∈(0,1]上恒成立.
令g(x)=-,而g(x)=-在(0,1]上单调递增,
∴g(x)max=g
(1)=-1,∴a≥-1.
当a=-1时,f′(x)=-2+.
对x∈(0,1]也有f′(x)≥0.
∴a=-1时,f(x)在(0,1]上为增函数.
∴综上,f(x)在(0,1]上为增函数,实数a的取值范围是[-1,+∞).
点睛:
利用函数的导数研究函数的单调性有两种题型,一种是求单调区间,只需令导数大于0求增区间,令导数小于0求减区间;另一种是已知函数的单调性求参数,若已知函数单增,只需函数导数在区间上恒大于等于0即可,若已知函数单减,只需函数导数小于等于0即可.注意等号!
19.【xx-xx学年高中数学(苏教版)选修1-1课时跟踪训练】已知函数f(x)=x3+x2+ax.讨论f(x)的单调性.
【答案】见解析
【解析】试题分析:
函数求导,根据导数大于0得增区间,导数小于0得减区间.
f′(x)<0,f(x)是减函数;
当x∈(-1+,+∞)时,
f′(x)>0,f(x)是增函数.
20.已知向量
,若函数在区间上是增函数,求的取值范围.
【答案】
【解析】试题分析:
本题可以先用数量积的运算计算出,在对的导数判断函数的单调性转化为在区间上恒成立,利用分离参数的思想即在区间上是恒成求出的最大值即可.
点睛:
导数是判断函数的单调性或者解决单调性的逆向问题很好的工具,考查恒成立问题,正确分离参数是关键,也是常用的一种手段.通过分离参数可转化为或恒成立,即或即可,利用导数知识结合单调性求出或即得解.
21.【四川省成都市龙泉第二中学xx届高三10月月考】已知,函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个不同的零点,求实数的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,求证:
【答案】
(1)在是增函数,是减函数;
(2);(3)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)先求导,再分类讨论,分别令可得增区间,令可得得减区间;
(2)讨论两种情况,分别利用导数判断函数的单调性,以及结合函数的极值及简图即可求出的范围;(3)由,只要证明:
就可以得出结论,构造函数:
,利用导数研究函数的单调性即可证明.
试题解析:
(1)f(x)的定义域为(0,+∞),其导数f'(x)=﹣a.
①当a≤0时,f'(x)>0,函数在(0,+∞)上是增函数;
②当a>0时,在区间(0,)上,f'(x)>0;在区间(,+∞)上,f'(x)<0.
∴f(x)在(0,)是增函数,在(,+∞)是减函数.
令F(a)=3﹣2lna﹣,则F'(x)=﹣=>0,∴F(a)在(0,1)上单调递增,∴F(a)<F
(1)=3﹣e2<0,即f()<0,
∴a的取值范围是(0,1).
(3)由
(2)可知函数f(x)在(0,)是增函数,在(,+∞)是减函数.分析:
∵0,∴.只要证明:
f()>0就可以得出结论.
下面给出证明:
构造函数:
g(x)=f(﹣x)﹣f(x)=ln(﹣x)﹣a(﹣x)﹣(lnx﹣ax)(0<x≤),则g'(x)=+2a=
,
函数g(x)在区间(0,]上为减函数.0<x1,则g(x1)>g()=0,又f(x1)=0,
于是f()=ln()﹣a()+1﹣f(x1)=g(x1)>0.又f(x2)=0,
由
(1)可知,即.
【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的零点、证明不等式,属于难题.利用导数研究函数的单调性的步骤:
①确定函数的定义域;②对求导;③令,在定义域内解不等式得的范围就是递增区间;令,在定义域内解不等式得的范围就是递减区间.
22.【河北省定州中学xx学年高二(承智班)上学期第一次月考】已知函数
,其中为自然对数的底数.
(1)讨论函数在区间上的单调性;
(2)已知,若对任意,有,求实数的取值范围.
【答案】
(1)当或时,在上单调递增,当时,在上单调递增,在上单调递减;
(2).
【解析】试题分析:
(1)求出,讨论三种情况,,,分别令可得增区间,可得减区间;
(2)对任意,有等价于,分别利用导数研究函数的单调性,从而求出的最大值与的最小值,解不等式即可求得实数的取值范围.
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性进而求函数的最值、全称量词与存在量词的应用.属于难题.解决这类问题的关键是理解题意、正确把问题转化为最值和解不等式问题,全称量词与存在量词的应用共分四种情况:
(1)只需;
(2),只需;(3),只需;(4),,.
2019-2020年高中数学专题09解密空间向量的运算技巧特色训练新人教A版选修
一、选择题
1.【吉林省吉化一中、前郭五中等xx学年高二上学期期中】已知,,,若且,则点的坐标为()
A.B.或C.D.或
【答案】B
2.【吉林省吉化一中、前郭五中等xx学年高二上学期期中】已知空间上的两点,,以为体对角线构造一个正方体,则该正方体的体积为()
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】∵,
∴
设正方体的棱长为,由题意可得,解得
∴正方体的体积为,故选D
3.【重庆市第一中学xx届高三上学期期中】已知直角坐标系中点,向量,,则点的坐标为()
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】∵向量,,
∴,又
∴
∴点的坐标为
故选:
C
4.【贵州省兴义市第八中学xx学年高二上学期期中】已知四棱锥中,,,,则点到底面的距离为()
A.B.C.D.
【答案】D
5.【北京市第四中学(房山分校)xx学年高二上学期期中】若,,且,则().
A.,B.,C.,D.,
【答案】A
【解析】∵,,,
∴存在实数,使得,
可得
,
解得,,.
故选:
.
6.以下四组向量中,互相平行的有()组.
(),.(),.
(),.(),.
A.一B.二C.三D.四
【答案】B
7.下列各组向量平行的是().
A.,B.,
C.,D.,
【答案】A
【解析】项,,,
,
即.
故选A.
8.【北京海淀北方交大附xx学年高二上学期期中】若为平行四边形,且,,,则顶点的坐标为().
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】设,
∵
.
,
联立①②,
解出:
,,.
故选.
9.【福建省泉州市南安第一中学xx学年高一下学期第二次阶段考】如上图,向量,,的起点与终点均在正方形网格的格点上,则向量用基底,表示为( )
A.+B.2-C.-2+D.2+
【答案】C
【解析】以向量的起点为原点,向量所在直线为x轴建立平面直角坐标系。
设正方形的边长为1,则
。
设,则
,
∴,解得,所以。
选C。
点睛:
由平面向量基本定理可知,在确定了平面的基底后,平面内的任一向量都可以用这组基底唯一表示,但并没有给出分解的方法。
常用的方法有两种:
(1)根据向量的线性运算,将已知向量向着基底转化;
(2)先确定向量和基底的坐标,根据待定系数法建立方程组,通过代数方法求解。
10.如图所示,已知,,三点不共线,为平面内一定点,为平面外任一点,则下列能表示向量的为().
A.B.
C.D.
【答案】D
11.【甘肃省临夏中学xx学年高一下学期第一次月考】点M(3,-3,1)关于xOz平面的对称点是( )
A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)
C.(3,-3,-1)D.(3,3,1)
【答案】D
【解析】由于点M(3,-3,1)关于xOz平面对称,所以该点的x,z坐标不变,即点M(3,-3,1)关于xOz平面的对称点是(3,3,1),应选答案D。
12.若,,且,则的值是()
A.0B.1C.-2D.2
【答案】C
【解析】,,.
若,则.
即,解得.
故选C.
13.【江西省新余市xx学年高二下学期期末】已知向量
,则与的夹角为()
A.0B.C.D.
【答案】C
【解析】由题设,故,应选答案C。
二、填空题
14.【吉林省吉化一中、前郭五中等xx学年高二上学期期中】空间直角坐标系中,点关于原点对称的点为,则点的坐标为__________.
【答案】
【解析】由中点坐标公式可知,点点关于原点的对称点的坐标为,故答案为.
15.【四川省绵阳南山中学xx学年高二上学期期中】点关于坐标平面的对称点的坐标是________.
【答案】
16.【北京海淀中关村中学xx高二上学期期中】已知,平面与平面的法向量分别为,,且,,则__________.
【答案】3
【解析】∵,且平面与平面的法向量分别为,,
∴
,
解得:
.
17.如图所示的长方体中,,,,则的中点的坐标为__________,___________.
【答案】
18.【江西省景德镇市xx学年高一下学期期中】点在坐标平面xOz内的投影点坐标为______________;
【答案】
【解析】设所求的点为Q(x,y,z),
P、Q两点的横坐标和竖坐标相等,而纵坐标为0,
即x=2,y=0,z=3,得Q坐标为()
三、解答题
19.【北京西城44中xx学年高二上学期期中】若向量,,,求,以及的值.
【答案】
【解析】试题分析:
根据向量加法的坐标运算得,根据模长运算公式可得结果;根据数量积运算公式可得,根据向量夹角公式可得的值.
20.【北京海淀中关村中学xx高二上学期期中】已知向量,.
(1)计算和.
(2)求.
【答案】
(1);.
(2).
【解析】试题分析:
(1)由题意结合空间向量的运算法则可得.结合模长公式有
.
(2)首先求得向量夹角余弦值为,据此可知两向量的夹角.
试题解析:
(1)
.
.