武汉第17届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案.docx

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武汉第17届全国中学生物理竞赛决赛试题及答案

第十七届全国中学生物理竞赛

决赛试题

一、（30分）近来一种新型的定点起重设备“平稳吊”被普遍应用于几十到几百千克工件的频繁吊运，其结构的示用意如图决17-1所示。

平稳吊要紧由传动、杆系、回转座和立柱组成。

杆系是由ABD、DEF、BC、CE四杆铰接组成的四连杆机构，DECB在任何情形下都是一个平行四边形。

杆系的A处是一水平的转轴，通过电机可操纵转轴，使之固定的竖直槽内的不同位置，从而调剂挂在绞接于F处吊钩上的重物的高度。

杆ABD可绕转轴A在竖直平面内无摩擦地转动。

杆系的C点是能在滑腻的水平槽上滑动的铰链，杆BC和EC都可绕C点在竖直平面内转动。

绕铰链转动的摩擦均忽略不计。

下面用l1表示AD的长度，l2表示AB的长度，l3表示DF的长度，l4表示BC的长度。

（1）若将各杆都视为轻质（无自重）刚体，且无图中配重物时，试论证l1、l2、l3、l4应知足什么关系才能使平稳吊的吊钩（包括所吊的重物）位于同一水平面上的不同位置时平稳吊都能处于平稳状态。

（2）若考虑各杆的自重，为使平稳吊的吊钩（包括所吊的重物）位于同一水平面上不同位置时平稳吊都能处于平稳状态，必需在杆ABD的另一端P处加上配重物，P点距A轴的距离为lP。

设配重物受到的重力大小为GP，杆的AD段、DF段、BC段、CE段受到的重力的大小别离为G1、G3、G4和G5，不计杆的AP段所受的重力。

问当杆长l1、l2、l3、l4和lP已知，且取l1=l3、l2=l4时配重的大小GP为多少？

二、（共30分）太阳风是从太阳大气外层（称为日冕）不断向星际空间发射的稳固的、由相同数量的质子和电子组成的带电粒子流，它使太阳每一年减少的质量相关于太阳质量MS可忽略不计。

观测表明，太阳风的速度的大小v随着与太阳中心的距离r的增加而增大。

现提出一简单的模型来讲明太阳风的速度转变的机制：

假定日冕中的大量电子可视为理想气体；日冕中的电子气是等温（温度为T）的、各向同性的，以球对称的速度v（r）（太阳风的速度）向外膨胀；太阳风中质子的定向运动速度比电子的小得多，太阳风的速度实际上是电子定向运动的速度，太阳风可说明为日冕中的电子气向外的等温膨胀。

记太阳风的速度v随着与太阳中心的距离r转变的转变率为

。

若不考虑质子和电子间的彼此碰撞，试求

随r转变的关系式

。

三、（共25分）波兰数学家谢尔宾斯基1916年研究了一个有趣的几何图形。

他将如图决17-2所示的一块黑色的等边三角形ABC的每一个边长平分为二，再把平分点连起来，此三角形被分成四个相等的等边三角形，然后将中间的等边三角形挖掉，取得如图决17-3的图形；接着再将剩下的黑色的三个等边三角形按相同的方式处置，通过第二次分割就取得图决17-4的图形。

经三次分割后，又取得图决17-5的图形。

这是带有自相似特点的图形，如此的图形又称为谢尔宾斯基镂垫。

它的自相似性确实是将其中一个小单元（例如图决17-5中△BJK）适当放大后，就取得图决17-3的图形。

若是那个分割进程继续下去，直至无穷，谢尔宾斯基镂垫中的黑色部份将被不断地镂空。

数学家对这种几何图形的自相似性进行了研究，制造和进展出了一门称为“分形几何学”的新学科。

近三十连年来，物理学家将分形几何学的研究功效和方式用于有关的物理领域，取得了成心义的进展。

咱们此刻就在那个背景下研究按谢尔宾斯基镂垫图形的各边组成的电阻网络的等效电阻问题：

设按如图决17-2所示的三角形ABC的边长L0的电阻均为r；经一次分割取得如图决17-3所示的图形，其中每一个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的二分之一；经二次分割取得如图决17-4所示的图形，其中每一个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的四分之一；三次分割取得如图决17-5所示的图形，其中每一个小三角形边长的电阻是原三角形ABC的边长的电阻r的八分之一。

（1）试求经三次分割后，三角形ABC任意两个极点间的等效电阻。

（2）试求按此规律作了n次分割后，三角形ABC任意两个极点间的等效电阻。

（3）由第2问可知，对边长均为L0、边长电阻均为r的电阻三角形ABC，现用取得谢尔宾斯基镂垫的方式进行分割，分割的次数越多，△ABC中每一个小三角形的边长越短，参与计算等效电阻的小三角形的边长越多，分割后的△ABC两极点间的等效电阻与其中的小三角形的边长有关。

为了从“分形几何学”的角度讨论那个问题，咱们先介绍二端电阻网络的“指数”的概念。

考虑一长、宽、高别离为a、b、c的均匀长方形导体，如图决17-6所示。

若电流沿平行于导体长度a的方向流进导体，则该导体的垂直于电流方向的两个端面间的电阻可表示为：

式中

为导体的电阻率。

若维持b、c不变，使另一边a的长度转变，并用L表示这一可改变的长度，如此组成的一维导体的电阻与L成正比，其电阻可表示为：

式中1被称为一维导体的指数。

若维持

的长度不变，但使

边和

边的长度相等且能够改变，并用L表示这一可改变的长度，即

，如此组成的二维导体的电阻与可变的长度无关，可表示为：

式中0被称为二维导体的指数。

若维持导体的三条边a、b、c的长度都相等且都可改变，并用L表示可变的长度，即a=b=c=L，如此组成的三维导体的电阻与可变长度的一次方成反比，可表为

式中－1被称为三维导体的指数。

能够将上述结论推行到一样情形，若二端电阻网络的等效电阻与可变长度L的关系为：

式中比例系数k是与L和s都无关的恒量，则称s为此二端电阻网络的指数。

从谢尔宾斯基镂垫图形看，未经分割的三角形的边长为L0，经多次分割，每一个最小三角形的边长随分割次数而变，可视为可变长度L。

求出经

次分割后的谢尔宾斯基镂垫图形A、B两点的等效电阻与可变长度L的关系，并计算出相应的指数。

四、（25分）两个光学元件共轴放置，位置固定不动，每一个光学元件都可能是薄透镜或平面反射镜。

一小物垂直于主轴。

已知当小物位于两元件之间的任何位置时，由这光学系统成的像是有限多个，且两个最后的像大小相同。

试通过对各类可能情形的分析，论证什么样的光学系统能知足上面的要求，什么样的光学系统不能知足上面的要求。

五、（共30分）

（1）质量不为零的ω介子静止时衰变成三个质量相同的π介子，即ω→3π。

试讨论每次衰变产生的三个π介子的动能T1、T2、T3可能取的全数值。

通常表示每一组动能值（T1，T2，T3）的方式如下：

作一个等边三角形A1A2A3，取其高Q为三个π介子的动能之和Q=T1＋T2＋T3。

在三角形内取一点P，令P点到极点

的对边的距离为

，则每一点对应一组动能值（T1，T2，T3）。

衰变时能够实现的全数（T1，T2，T3）的可能取值，能够用P点的可能存在的区域来表示。

那个区域称为运动学许诺区。

试在△A1A2A3中找出ω→3π的运动学许诺区（设衰变后π介子的速度比光速小得多）。

（2）正电子偶素是由一个电子与一个正电子组成的束缚态粒子，记为Ps。

它在静止时能够衰变成三个γ光子，即Ps→3γ。

试在△A1A2A3中找出三个γ光子的运动学许诺区域。