丢番图方程整数解方法.docx
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丢番图方程整数解方法
求不定方程整数解的常用方法
不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要有理数，整数或正整数等）的方程或方程组。
不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。
我国对不定方程的研究已延续了数千年，
“百钱白鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。
一般常用的求不定方程整数解的方法包括：
⑴分离整数法
此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数,则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观塞出龔的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.
例1求不定方程耳-y=0的整数解
x+2
解已知方程可化为
x+5x+2+3x+23.3
V===F=1+
x+2x+2x+2x+2x+2
因为y是整数，所以一」一也是整数.
x+2
由此
x+2二一1,3，一3,即
x二一1,一3,1,-3,
相应的＞,=4,020.
所以方程的整数解为（-1,4）,（-3,0）,（1,2）,（-5,0）.
（2）辗转相除法
此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：
第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式（便于利用同余、奇偶分析的形式）；
第二步，缩小未知数的圉，就是利用限定条件将未知数限定在某一圉，便于下一步讨论；
第三步，用辗转相除法解不定方程.
例2求不定方程37x+107y=25的整数解.
解因为（37,107）=1|25,所以原方程有整数解.
用辗转相除法求特解：
107=37x2+33,37=33x1+4,33=4x8+1
从最后一个式子向上逆推得到
37x（-26）+107x9=1
所以
37x（-26x25）+107x（9x25）=25
则特解为
斗）=-26x25=-650
\>'（,=9x25=225通解为
x=-650-107r=-8-l07（/+6）
y=225+37/=3+37（/+6）
或改写为
x=-8-107/
.y=3+37t
（3）不等式估值法
先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值围.
例3求方程丄+丄+丄=1适合a>>>z的正整数解.
Z
解因为
x>y>z
所以
111
xyz
所以
1A11一111
—〈F151F—
zxyzzzz
即
2
所以
l（z<3
所以乙=2或?
=3.
当乙=2时有
111
—+—=—xy2
所以
丄〈―丄
y%yyy
所以
i（ia
y2y
所以2〈yS4
所以y=3或y=4,相应地x=6或4;
当z=3时有
112
—I——=—xy3
所以
丄〈丄+丄丄丄
y%yyy
所以
所以yS3,y=3;相应土也x=3・
所以g,z）=（632）,（442）,（333）.
（4）逐渐减小系数法
此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到岀现一个未知量的系数为±1的不定方程为止，直接解出这样的不定方程（或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.
例4求不定方程37x+107y=25的整数解.
解因为（37,107）=1|25,所以原方程有整数解.
有37（107,用y来表示心得
=2?
-10冬=]_3、+」2+乜
37°“37
则令
ill4<37,用m来表示y,得
令!
!
L=te乙得加=4r.将上述结果一一带回，得原方程的通解为
4
x=-8-107r
y+3=37/
注①解一元二次不定方程通常先判定方程有无解.若有解,可先求ax^by=c的一个特解，从而写出通解.当不定方程系数不大时，有时可以通过观察法求得其解，即引入变量，逐渐减小系数，直到容易求得其特解为止.
②对于二元一次不定方程ax+by=c来说有整数解的充要条件是（a,b）\c.
x=x^-bty=儿+〃
（5）分离常数项的方法
对于未知数的系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数的系数的倍数的和或差的不定方程，可采用分解常数项的方法去求解方程.
例5求不定方程3x+5y=143的整数解.
解原方程等价于
3x+5y=143o3x+5y=140+3o3（x-l）+5（y-28）=0
因为
（3,5）=1
所以
x—1=5/
eZ
y—28=3/
所以原方程的通解为（X=1_5\reZ.
V=28+3/
（6）奇偶性分析法
从讨论未知数的奇偶性入手，一方面可缩小未知数的取值围，另一方面乂可用加
或2/2+l（//eZ）代入方程，使方程变形为便于讨论的等价形式.
例6求方程疋+b=328的正整数解.
解显然不妨设
x〉y〉O
因为328是偶数，所以八y的奇偶性相同，从而x±y是偶数.
令
x+y=2urx-y=2vl
则©、V,u乙且旳〉"］〉0・
所以
x=u}+Vpy=«!
_片
代入原方程得
+X=164
同理，令
uA+Vj=2“2皿一V）=2v2（u2>v2e且w2）v2）0）
于是，有
u；+v；=82
■■
再令
U2+v2=2“3，“2_V2=2v3
得
+£=41
此时，心、”3必有一奇一偶，且
取”3=123,4,5,得相应的
居=40,37,32,25,16
所以，只能是«3=5,v3=4.
从而
x=1&y=2
结合方程的对称性知方程有两组解（18,2）.（248}
（7）换元法
利用不定方程未知数之间的关系（如常见的倍数关系），通过代换消去未知数或倍数，使方程简化，从而达到求解的目的.
例7求方程丄+丄的正整数解.
xy1
解显见，x〉7,y〉7・为此，可设x=7+=7+其中〃八川为正整数・
所以原方程丄+丄=丄可化为
xy7
111
整理得
7+Hl7+777
7（7+〃?
）+7（74-«）=（7+m^7+n）,即mn=49.
所以
=49,®==7；加3==49
相应地
Xj=56」=&兀2=14宀=14；兀3=&儿=56
所以方程正整数解为（56,8）.（14,14）,（&56>
（8）构造法
构造法是一种有效的解题方法，并且构造法对学生的创造性思维的培养有很重要的意义，成功的构造是学生心智活动的一种探求过程，是综合思维能力的一种体现，也是对整个解题过程的一种洞察力、预感力的一种反映•构造体现的是一种转化策略，在处理不定方程问题时可根据题设的特点，构造出符合要求的特解或者构造一个求解的递推式等.
例8已知三整数b、c•之和为13且2=2,求“的最大值和最小值，并求出此ab
时相应的b与c的值.
解由题意得f+/'+C=1\消去D得（13-^-c^^
b，=cic
整理得到关于C•的一元二次方程
c2+（a-26）c+（a-13）'=0.
因为
△=（a-26）2-4（a-13）2>0,解得0<«因心0,若“=1,则有疋-25c+144=0,解得C=16或c=9,符合题意，此时
a=1
方=3;
c=9
a=1
Vb=7或＜
c=16
若“=17时，则有疋_%+16=0,无实数解，故心17;
若&=16时，则有c2-10c+9=0,解得c=l或c=9,符合题意，此时
＜方=-4或初=_12;
c=1c=9
综上所述，"的最大值和最小值分别为16和1,相应的b与c的值分别为
b=-4
c=16
[/?
=-4v.或＜c=1
（9）配方法
把一个式子写成完全平方或完全平方之和的形式，这种方法叫做配方法•配方法是式子恒等变形的重要手段之一，是解决不少数学问题的一个重要方法•在初中阶段，我们已经学过用配方法解一元二次方程，用配方法推到一元二次方程的求根公式，用配方法把二次函数化为标准形式等等，是数学中很常用的方法.
例9若X2+y2+-=2x+y\^xy+yx的值.
4
解由题意
x2-2x+y2-y+—=0
4
即
（I\2
（x-1）2+y——=0
<2丿
所以
[1
x=^y=-
13
所以xv+/=l+-=-
「22
（10）韦达定理
韦达定理是反映一元二次方程根与系数关系的重要定理，广泛应用于初等代数、三角函数及解析儿何中，应用此法解题时，先根据已知条件或结论，再通过恒等变形
或换元等方法，构造出形如a+b.形式的式子，最后用韦达定理.
例10已知/八g都是质数，且使得关于x的二次方程x2-（8^-10^>+5/^=0至少有一个正整数根，求所有的质数对（〃4）.
解设方程的两根分别为E、x2（x}山根与系数关系得
Xj+x2=8/?
一10g
<
X\X?
=5pq
因为°、§都是质数，且方程的一根为正整数，可知方程的另一根也是正整数.所以
Xx=1,5,阳,5〃,5§
<
X2=5pq、pq、5q、5p,q、p
所以xx+x2=5pq+\,pq+5t5q+p,5p+q.
1当+x2=5pq+\时，即5/m+I=8〃-10§,因为八q均是质数，所以
5pq+1）10/?
）8/?
-10q,故此时无解.
2当Xi+x2=5pq+5时，即pq+5=8p_10q,所以（p+10）-（t/-8）=-85,因为p、q都是质数，且〃+10〉§-&所以
“+10=17,85
解得符合条件的质数对为0"）=（7,3）.
③当xi+x2=5q+p时，即5q+p=8p-\0q,所以7p=15q,满足条件的质数对.
@X]+耳=5”+。
时，即5/?
+^=8/?
-10q,所以3p=1lg,于是
（p，q）=（7,3）或（",q）=（11,3>
综上所述，满足条件的质数对为（/“）=（7,3）或（/“）=（11,3）.
（11）整除性分析法
用整除性解决问题，要求学生对数的整除性有比较到位的把握.
例11在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设k为整数，当直线
y=x-3或y=kx+k的交点为整数时，k的值可以取（）
A.2个B.4个C.6个D.8个
解当"1时，直线＞，=—3与y=x+l平行，所以两直线没有交点；
当R=0时，直线＞，=—3与尸0（11哄轴）交点为整数；
Y=X—3当"1、"0时，直线y=x^y=kx+k的交点为方程组.,，的解，解得y=kx+k
■-3—k
X=
k—
—4k
y=
•k_\
因为X、y均为整数，
所以k-1只能取±1,±2,±4
解得
k=2,0,3,—1,5,3.
综上，答案为C.
（12）利用求根公式
在解不定方程时，若因数分解法、约数分析均不能奏效，我们不妨将其中一个未知数看成参数，然后利用一元二次方程的求根公式去讨论.
例12已知k为整数，若关于兀的二次方程^+（2^+3）^+1=0有有理根，求k值.
解因为"0,所以kx2+（2k+3）x+\=0的根为
_-（2k+3）±J4“+弘+9_-（2k+3）±J（2k++5
X==
2k2k
由原方程的根是有理根，所以（2£+2『+5必是完全平方式.可设（2£+2『+5=〃,,则加2_（2&+2『=5,即
（加+2上+2X^-2上一2）=lx5,
因为加、&均是整数，所以
m-2k—2=5
解得k=-2或0,因为RH0,所以k的值是-2.
（13）判别式法
一元一-次方程根的判别式是中学阶段重要的基础知识，也是一种广泛应用的数学解题方法.该法根据一元二次方程的判别式△=，-4仇・的值来判定方程是否有实数根，再结合根与系数的关系判定根的正负.熟练掌握该法，不仅可以巩固基础知识，还可以提高解题能力和基础知识的综合运用能力.
例13求方程丄+丄+-L=2的整数解.
xyxy^4
解已知方程可化为
（4一3x）y2+4xy-4=0
因为x、y均为整数，所以
A=16x2-48x+64>0,且为完全平方数.
于是，令
16F—4&Y+64=（4"尸,其中"为正整数
所以
x2-3x+（4-n2）=0
因为X、"均为整数
所以
△=9-4（4-〃2卜0,且为完全平方数，
即有，4h2-7为完全平方数.
于是，再令
4w2-7=肿,其中m为正整数
所以
（2n+m^n-m）=7
因为2n+“?
与2”-m奇偶性相同，且2/z+m）2n-m
所以
2n+in=7,2“—m=\
由Jtn=2.
相应的x2-3x=0,解得/=3或％=0涪去），所以x=3
把x=3代入已知方程中得y=2或y=|（舍去）所以y=2所以（x,y）=（3,2）
（14）因式分解法
因式分解也是中学阶段重要的基础知识之一•它应用广泛，在多项式简化、计算、方程求根等问题中都有涉及•因式分解比较复杂，再解题时，根据所给题U的特点，灵活运用，将方程分解成若干个方程组来求解•这种方法的U的是增加方程的个数，这样就有可能消去某些未知数，或确定未知数的质因数，进而求出其解.利用因式分解法求不定方程ax+by=cxy（abcH0）整数解的基本思路:
将ax+by=cxy（abcH0）转化为
G-a\cy-b）="b后,若ab可分解为ab=°心=…=aibie乙则解的一般形式为
q+a
x~bc+b^再取舍得其整数解.
y=—
c
231
例14方程二-二=丄＜、方都是正整数，求该方程的正整数解.
ab4
解已知方程可化为
8/?
—12d=ab
所以
（ab+12o）-（8b+96）=-96
即
（g_8X〃+12）=—96
因为“、b都是正整数
所以
b〉0,b+12〉12
这样
/?
+12=16或24或32或48或96
所以
b=4或12或20或36或84相应地
"=2或4或5或6或7
所以方程的正整数解为：
（2,4）,（4,12）,（5,20）,（6,36）,（7,84）.
丢番图（Diophantus）：
古代希腊人，代数学的鼻祖，早在公元3世纪就开始研究不定方程，因此常称整系数的不定方程为丢番图方程。
口鸡白•钱：
我国古代数学家丘建在《算经》一书中提岀的数学问题：
“鸡翁一值钱五,鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。
百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各儿何？
”解：
设母鸡X只，公鸡y只，小鸡（100-x-y）只，
所以3x+5y+（100-x-y）/3=100
且X,y为整数。
化简：
X+7y/4=25
公鸡五文一只，所以公鸡数量要至少小于20.
有四种情况符合要求：
辗转相除法，乂名欧儿里德算法，是求两个正整数的最大公因子的算法。
设两数为&、b（a>b）,求&和b最大公约数（d,b）的步骤如下：
用&除以b,得&宁b=qrl（OWrl）。
若rl二0,则（a,b）=b；若rlHO,则再用b除以rl,得bF
rl=qr2（0^r2）.若r2=0,则（a,b）=rl：
若r2#=0,则继续用rl除以r2,
如此下去，直到能整除为止。
其最后一个余数为0的被除数的除数即为（a,b）。
例如:
a=25,b=15,a/b=l余10,b/10二1余5,10/5=2余0,最后一个余数为0的被除数的除数就是5,5就是所求最大公约数。
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