一元一次方程应用题类型全概括.docx
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一元一次方程应用题类型全概括
应用题类型1：
鸡兔同笼
鸡兔同笼问题即问题中存在两个未知数、两个等量关系的问题。
这时我们往往利用简单的等量关系设未知数，复杂的等量关系列方程。
在鸡兔同笼问题中，等量关系为：
鸡的数量×2+兔的数量×4=总脚数（兔的数量=总数量-鸡的数量）
典型例题：
集贸市场有一些鸡和兔，总共有头56个，脚160只，则集贸市场鸡和兔各有多少只？
变式1：
购物、奖金
典型例题：
课本83页第6题：
把1400元奖学金按照两种奖项发给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，获得一等奖的学生有多少人？
跟踪练习1：
两种布料共138m，花了540元。
其中蓝布料每米3元，黑布料每米5元，两种布料各买了多少米？
跟踪练习2：
某文艺团体组织了一场义演为“希望工程”募捐，共售出1000张门票，已知成人票每张8元，学生票每张5元，共得票款6950元，成人票和学生票各几张？
变式2：
球赛积分
球赛分篮球赛与足球赛两种，前者一般没有平局，胜得2分，负得一分或不得分；后者有胜平负三种情况，各得3、1、0分，以足球赛为问题背景时，因为多了一种情况，所以需要给出关于胜平负三种情况间的条件。
这类问题，球队比赛总场数相当于鸡兔头的数量，球队所得总分相当于鸡兔腿的数量，胜负得分的分值相当于每种动物各有几条腿。
一一对应后，球赛积分就变成了鸡兔同笼问题。
以篮球赛为例，等量关系如下：
胜场数×胜场得分＋（总场数－胜场数）×负场得分＝总得分
典型例题：
在全国足球甲级A组的前11场比赛中，某队保持连续不败，共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了多少场？
跟踪练习：
中国男篮CBA职业联赛的积分办法是胜一场积2分，负一场积1分，某球队参加了12场比赛，总积分恰是所胜场数的4倍，则该球队共胜多少场？
变式3：
竞赛题积分
竞赛题积分与球赛积分问题非常类似，唯一不同之处就是球赛不论胜负不会得负分，但竞赛题做错一般是要倒扣分，即得负分的，弄明白了这点，竞赛题积分就转化为了球赛积分，也就是鸡兔同笼问题了。
典型例题：
一份数学试卷有25道选择题，规定做对一题得4分，一题不做或做错扣1分，结果某学生得分为75分，则他做对多少道题？
跟踪练习1：
某校初一举办数学竞赛，有80人报名参加，竞赛结果总平均成绩为63分，及格学校平均成绩为72分，不及格学生平均成绩为48分，求这次竞赛的及格率。
跟踪练习2：
某运输队要运1000件玻璃器皿。
按规定，完好无损完成运输任务，每件付运输费1.5元，如果损坏，不但不能得到运费，还要付赔偿费每件2元，货物运完后，共得到运费1493元，求运输中共损坏玻璃器皿多少件?
附加题1：
某县为鼓励失地农民自主创业，在2010年对60位自主创业的失地农民进行了奖励，共计奖励了10万元.奖励标准是:
失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问:
该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人?
附加题2：
某蔬菜公司收购到某种蔬菜104吨，准备加工后上市销售。
该公司加工该蔬菜的能力是：
每天可以精加工4吨或粗加工8吨。
现计划用16天正好完成加工任务，则该公司应安排几天精加工，几天粗加工？
应用题类型2、3：
配套、调配问题
配套问题：
根据配套比例，转化为等量关系。
典型例题：
某车间22名工人生产螺钉和螺母,每人每天平均生产1200个螺钉或2000个螺母,一个螺钉配两个螺母,为了使每天的产品刚好配套,应该安排工人生产?
跟踪练习1：
某队有55人，每人每天平均挖土2.5方或运土3方，为合理安排劳力，使挖出的土及时运走，应如何分配挖土和运土人数？
跟踪练习2：
用铝片做听装饮料瓶,每张铝片可制作瓶身16个或制作瓶底43个,一个瓶身与两个瓶底配成一套,现有150张铝片,用多少张铝片制瓶身,多少张铝片制瓶底可以正好制成配套的饮料瓶?
跟踪练习3：
某车间有工人85人，平均每人每天可加工大齿轮16个或小齿轮10人，又知二个大齿轮和三个小齿轮配套一套，问应如何安排劳力使生产的产品刚好成套？
跟踪练习4：
一套仪器由一个A部件和三个B部件构成。
用1m3钢材可做40个A部件或240个B部件。
现要用6m3钢材制作这种仪器，应用多少钢材做A部件，多少钢材做B部件，恰好配成这种仪器多少套？
调配问题：
等量关系一般由甲乙两方调配后的数量关系来决定，按调配来源的不同，调配问题可以分为两大类：
1、外部调配：
从外部调来资源分配到甲乙两方。
典型例题：
甲车队有15辆汽车，乙车队有28辆汽车，现调来10辆汽车分给两个车队，使甲车队车数比乙车队车数的一半多2辆，应分配到甲乙两车队各多少辆车？
跟踪练习：
在一次美化校园中，先安排32人去拔草，17人去植树，后又增派20人去支援他们，结果拔草的人数是植树人数的2倍，问支援拔草和植树的人分别有多少人？
2、内部调配：
注意一方加的同时另一方要减去相同的数量，即此消彼长。
典型例题：
甲煤矿有煤432吨。
乙煤矿有煤96吨，为了使甲煤矿存煤数是乙煤矿的2倍。
应从甲煤矿运多少吨煤到乙煤矿？
跟踪练习1：
学校组织植树活动，已知在甲处植树的有27人，在乙处植树的有18人.如果要使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，需要从乙队调多少人到甲队？
拓展练习：
甲仓库有煤200吨,乙仓库有煤80吨，如果甲仓库每天运出15吨，乙仓库每天运进25吨，问多少天后两仓库存煤相等?
应用题类型4：
行程问题（加程）
基本公式：
速度×时间=路程
1、加程：
加程一般是甲乙两方共同走同一段路程，所用等量关系为：
甲的行程+乙的行程=总路程
展开即：
甲速度×甲所用时间+乙速度×乙所用时间=总路程
V甲t甲+V乙t乙=S
较典型的问题如：
相遇问题
典型例题：
普通飞机和喷气式飞机从相距600千米的两个机场相向起飞,30分钟后相遇。
如果喷气式飞机每小时飞900千米,求普通飞机的速度。
跟踪练习1：
A、B两地相距80米，甲从A地出发，每秒走1米，乙从B地出发每秒走1.5米，如甲先走5秒，求乙出发后多少秒与甲相遇？
跟踪练习2：
两辆汽车从相距298km的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车速度的2倍还快20km/h，半小时后两车相遇，两车的速度各是多少？
跟踪练习3：
运动场的跑道一圈长400m，小健练习骑自行车，平均每分钟骑350m。
小康练习跑步，平均每分跑250米，两人从同一处同时反向出发，经过多少时间首次相遇？
又经过多少时间再次相遇？
变式1：
工程问题：
等量关系：
甲工作量+乙工作量=总工作量
展开即：
甲工作效率×甲的时间+乙工作效率×乙的时间=总工作量
（注：
工程问题的工作效率以完成工作共需要的时间的倒数来表示。
）
引题：
一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天。
1、如果由这两个工程队从两端同时施工,要多少天可以铺好这条管线？
2、乙队单独做3天后,再由甲、乙两队合做，几天可以完成?
典型例题：
整理一批图书，由一个人做要40h完成。
现计划由一部分人先做4h，然后增加2人与他们一起做8h，完成这项工作。
假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
跟踪练习1：
课本106页4题：
某中学的学生自己动手整修操场，如果让七年级学生单独工作，需要7.5h完成；如果让八年级学生单独工作，需要5h完成。
如果让七、八年级学生一起工作1h，再由八年级学生单独完成剩余部分，共需多少时间完成？
跟踪练习2：
课本106页5题：
整修一批数据，由一人做需要80h完成。
现在计划先有一些人做2h，再增加5人做8h，完成这项工作的
，怎样安排参与整理数据的具体人数？
应用题类型5：
行程问题（等程）
2、等程：
等程即用不同的速度、不同的时间走同一段路程，因此一般用路程相等作为等量关系，即：
V甲t甲=V乙t乙
较典型的问题是航行问题。
（顺风逆风、上山下山、上坡下坡）
等量关系：
顺水路程＝逆水路程
展开即：
顺水速度×顺水时间＝逆水速度×逆水时间
（注：
顺水速=静水速+水流速度；逆水速=静水速－水流速度）
典型例题：
一艘轮船，航行于甲、乙两地之间，顺水用3小时，逆水比顺水多用30分钟。
已知轮船在静水中的速度是每小时26千米，求水流的速度？
跟踪练习1：
一艘船在两个码头之间航行，水流速度是3千米每小时，顺水航行需要2小时，逆水航行需要3小时，求两码头的之间的距离？
跟踪练习2：
小明上山的速度是每小时3.5千米，下山的速度是每小时5千米，若小明上山比下山多用了3小时，求小明下山走了几小时，这段山路共有多少千米？
变式1：
追及问题
追及问题分两大类，第一类是两个物体在同一地点不同时间同向出发后在某一地点相遇，这一类是典型的等程问题。
等量关系：
S甲=S乙展开即：
V甲t甲=V乙t乙
典型例题：
一部队从军部出发行军，每小时走40千米，3.5小时后一通讯兵传达一军部命令骑摩托车从军部出发追赶，4小时后追上，则通讯兵每小时比部队多行多少千米？
第二类是两个物体从不同地点同时同向出发最后在同一地点相遇。
这一类就不是简单的等程了，需要被追的一方（比如甲）加上开始相距的路程才能相等：
等量关系：
S甲+S0=S乙展开即：
V甲t甲+S0=V乙t乙
典型例题：
一猎狗发现在它前方240米处有一以80米/分的速度逃跑的兔子，猎狗迅速以120米/分速度追击，要多久才能追到？
跟踪练习1：
甲、乙两人从同地出发前往某地。
甲步行，每小时走4公里，甲走了16公里后，乙骑自行车以每小时12公里的速度追赶甲，问乙出发后，几小时能追上甲？
跟踪练习2：
环形路上的追及：
甲乙两人沿一条环行小道练习竞走，两人同时从同一点出发，同向而走，乙的速度是80米/分，他发现每隔15分钟甲从后面追上他一次，已知小道长300米，求甲的速度。
变式2：
施工问题
与工程问题中甲乙两方合作完成一件工程不同，此处的施工问题指的是不同的施工队以不同的工作效率、不同的工作时间，或同一施工队以计划、实际两种不同的方案完成同一个工程的问题背景。
因为甲乙两方的工作量相同，所以这种问题的等量关系与上面的航行问题非常类似：
甲的工作效率×甲的工作时间＝乙的工作效率×乙的工作时间
（或计划工作效率×计划工作时间＝实际工作效率×实际工作时间）
典型例题：
为改善生态环境，避免水土流失，某村积极植树造林，原计划每天植树60棵，实际每天植树80棵，结果比预计时间提前4天完成植树任务，则计划植树多少棵？
跟踪练习1：
小明原计划骑车以12千米/时的速度由A地去B地,便可在规定时间到达,但因故将原计划出发时间推迟了20分钟,只好以15千米/时的速度前进,结果比规定时间早4分钟到达B地,求A、B两地的距离.
变式3：
盈亏问题
盈亏问题即以两种不同的方案分同一批物品，等量关系往往是：
人均数1×人数＋剩余数量＝人均数2×人数－缺少数量
典型例题：
把一些图书分给某班学生，如果每人4本，则剩余12本，如果每人分5本，则还缺30本，问该班有多少学生？
跟踪练习1：
某中学组织同学们春游，如果每辆车座45人，有15人没座位，如果每辆车座60人，那么空出一辆车，其余车刚好座满，问有几辆车，有多少同学？
附加题：
一座桥长1千米，一列火车从车头上桥到车尾离开共用时120秒。
整个列车完全在桥上的时间为80秒。
求火车长与火车的速度。
应用题类型6：
增长率问题
基本公式：
初始数据×（1＋增长率）＝最终数据
或：
初始数据×增长率＝增加量
引题：
小丽期末考试数学考了99分，
1.比期中考试的成绩提高了10％，小丽期中考试数学考了多少分？
2.比期中考试的成绩降低了10％，小丽期中考试数学考了多少分？
变式1：
利润问题
在利润问题中，初始数据是进价，增长率就是利润率，也叫盈利率，增长后的数据就是售价。
基本公式：
①利润=售价－进价②利润率（盈利率）=
×100％
常用的等量关系：
进价×（1＋利润率）＝售价
商品利润率问题也是用增长率的基本公式作为等量关系，不过其中的最终数据——售价，往往要考虑到进价、折扣或让利后能表示得出。
典型例题：
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25％，另一件亏损25％，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
跟踪练习1：
某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同。
其中，每个小书包的盈利率为30％，每个大书包的盈利率为20％，试求两种书包的进价。
跟踪练习2：
某商店有两种进价不同的计算机都卖了64元，其中一个赢利60%，另一个亏本20%，在这次买卖中这家商店（）
（A）不赔不赚（B）赚了8元（C）赔了8元（D）赚了32元
跟踪练习3：
为了搞活经济，商场将一种商品按标价的9折出售，仍可获利10％，若商品标价33元，那么该商品进价为多少元？
跟踪练习4：
某商品售价为900元一件,为了适应市场竞争,商场按九折降价并让利40元销售,仍可获利10%,求这种商品进价为多少元?
跟踪练习5：
一件商品按成本价提高100％后，八折销售，售价为320元，这件商品的成本价是多少？
每件可赢利多少？
跟踪练习6：
某商品因换季准备打折出售,如果按标价的七五折出售将赔25元,若按标价的九折出售将赚20元,问这种商品的标价是多少元?
变式2：
银行储蓄
银行储蓄中的利率就是增长率，不过实际问题中，利率还要乘以期数（有时还要扣除利息税），问题就变复杂了。
其等量关系为：
本金×（1＋利率×期数）=本息和或本金×利率×期数=利息
典型例题：
赵先生购买了100000元的某公司4年期债券，4年后得到本息和为106400元，这种债券的年利率是多少？
附加题：
1、现对某商品降价20％促销，为了使销售总金额不变，销售量要比按原价销售时增加百分之几？
2.一种产品,每件成本价为400元,销售价为510元,为了进一步扩大市场,决定降低售价的同时降低生产成本,预计每件售价降低4%,销售量将提高10%,要使销售利润保持不变,该产品每件的成本应降低多少元?
3、“丰收1号”油菜籽的平均每公顷产量为2400kg，含油率为40%，“丰收2号”油菜籽比“丰收1号”的平均每公顶产量提高了300kg，含油率提高了10个百分点。
某村去年种植“丰收1号”油菜，今年改种“丰收2号”油菜，跃然种植面积比去年减少3hm²，但是所产油菜籽的总产油量比去年提高3750kg.这个村去年和今年种植油菜的面积各是多少公顷？
应用题类型7：
图表信息问题
典型例题：
某次男篮联赛常规赛最终积分榜如下表：
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
1、从这张表格中，你能得到什么信息？
2、胜一场得几分？
负一场得几分？
3、有没有某队的胜场总积分能等于负场总积分？
小结：
1.生活中数据信息的传递形式是多样的.
2.解决有关表格问题，首先根据表格中给出的有关信息，找出数量间的关系，再运用数学知识解决有关问题.
3.利用方程不仅可以求得实际问题的具体数值,还可以进行推理判断.
4.运用方程解决实际问题，要检验方程的解是否符合实际意义.
日
一
二
三
四
五
六
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
跟踪练习1：
如右图所示，这是2000年某月的一个月历：
任意圈出一竖排相邻的三个数。
问题
（1）：
若三个数的和为51，你能求出这三个数吗？
问题
（2）：
所圈出的三个数的和可能为21吗？
为什么？
可能为52吗？
为什么？
跟踪练习2：
下表是某市出租车行程与价格的关系
行程（千米）
1
2
3
4
5
6
7
…
价格（元）
3
3
3
4.5
6
7.5
9
…
（1）你能从这张表中得到行程与价格的关系吗？
（2）若某人乘出租车行驶了m千米（m＞3），列式表示司机应收取的钱数。
（3）某人乘出租车从甲地到乙地，付给司机30元，那么甲地距乙地多远？
*（4）某人有40元，他最多可以乘坐多少千米？
跟踪练习3：
长风乐园的门票价格规定如下表所列。
某校七年级
（1）、
（2）两班共104人去游长风乐园。
（1）班人数不到50人，
（2）班人数超过50人，不足100人。
购票人数
1~50人
51~100人
100人以上
每人门票价
13元
11元
9元
问题：
（1）经估算，如果两班都各自以本班级为单位分别购票，则一共应付1240元，问两班各有多少学生？
（2）怎样买票更划算？
*（3）若没有“
（1）班人数不到50人，
（2）班人数超过50人。
”的限制条件，如何求两班各有多少学生？
应用题第8讲：
收费问题
1、出租车式收费：
等量关系为：
起步价＋（总路程－起步路程）×单价＝总费用
解决这类问题，用总路程乘单价的时候一定要先减去已经收过费的起步路程。
典型例题：
本市出租车的计费方法是3千米以内（包括3千米）8元，3千米之外每千米1.8元（不足1千米按1千米计）。
（1）小明乘出租车去离家6千米的外婆家，要付多少元出租车费？
（2）妈妈给小明19.7元，他最多能乘多少千米？
跟踪练习1：
我市市内公用电话的计费方法是前3分钟之内（包括3分钟）为0.2元，以后每分钟0.1元。
妈妈给小红1.2元去给本市的奶奶通话，小红最多可以与奶奶聊多少分钟？
跟踪练习2：
民航规定：
乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5％购买行李票。
一名旅客带了35千克行李乘机，机票连同行李费共付了1323元，求该旅客的机票票价。
月使
用费
主叫限定
时间/min
主叫超时
费/（元/min）
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
跟踪练习3：
下表给出的是两种移动电话的计费方式：
你将如何根据通话时间选择消费方式？
2、全球通与神州行：
全球通有月租，但单价较低；神州行无月租，单价较高。
两种收费方式往往出现在同一问题中，需要根据通话时间作出合理的选择。
基本公式：
全球通费用＝月租＋通话时间×全球通单价
神州行费用＝通话时间×神州行单价
等量关系：
月租＋通话时间×全球通单价＝通话时间×神州行单价
典型例题：
全球通手机卡收费每分钟0.20元,月租每月20元;神州行手机卡没有月租费,每分钟0.4元,
（1）当一个月通话时间多少分钟时,使用这两种手机的费用相同?
（2）针对这两种手机卡,从经济角度考虑,你应如何选择?
跟踪练习：
小明爸爸上个月的电话费用37.5元,其中月租费是12.5元,每打一次市话不超过3分钟收费0.2元.爸爸上月没有打过长途或其他电话,且每次都不超过3分钟,那么小明爸爸上个月累计通话时间至多为多少分钟？
3、水电收费：
与出租车收费相比，区别在于不超过标准数量的部分也是按量交纳，而不是一个固定的数目；超过标准数量的部分单价则一般有所提高。
等量关系（超出标准数量时）：
标准数量×单价1＋（总数－标准数量）×单价2＝总价
典型例题：
为了节约能源，某单位以如下规定收取电费：
用电不超过140度，按每度0.43元收费；如果超过140度，超过部分按每度0.57元收费。
若某用户三月份电费平均每度0.5元，问该用户三月份应交电费多少元？
4、薄利多销型收费：
即买的越多越便宜
购买香蕉
数（千克）
不超过
2千克
20千克以上
但不超过50千克
50千克以上
每千克价格
4元
3元
2．4元
典型例题：
我班筹备元旦联欢会需购买香蕉若干千克，据了解某水果批发市场香蕉的价格如下表：
（1）若你负责购买香蕉，老师给你72元，你最多能买多少千克香蕉？
（2）邻班班长也带了60元准备购买香蕉，聪明的你会对他说些什么话？
住院医疗费（元）
报销率（%）
不超过500元的部分
0
超过500～1000元的部分
60
超过1000～3000元的部分
80
……
5、分段计费：
参加保险公司的医疗保险，住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如右表.某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是多少元？
跟踪练习：
出版图书获得的稿费的纳税计算办法是：
稿费不高于800元的不纳税；稿费高于800元又不高于4000元的应缴纳超过800元的那一部分稿费的14%的税；稿费高于4000元的应缴纳全部稿费的11%的税。
若某人获得一笔稿费后，缴纳个人所得税420元，则他的稿费为多少元？
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过300元
不优惠
超过300元且不超过400元
售价打八折
超过400元
售价打七折
附加题1：
某超市经销A、B两种商品.在“五·一”期间，该商场对A、B两种商品进行如右表所示的优惠促销活动：
促销活动期间小颖去该超市购买A种商品，小华去该超市购买B种商品，分别付款210元与268.8元.促销活动期间小明决定一次去购买小颖和小华购买的同样多的商品，他需付款多少元？
附加题2：
某同学在A、B两家超市发现他看中的随身听的单价相同,书包的单价也相同,随身听和书包的单价之和为452元,且随身听的单价比书包的单价的4倍少8元.
（1）求该同学看中的随身听和书包的单价各是多少?
（2）某一载该同学上街,恰好赶上商家促销,超市A所有的商品打八折销售,超市B全场购物满100元返购物券20元（不足100元不返购物券,购物券全场通用）但他只带了400元钱,如果他只在一家超市购买看中的两样物品,你能说明他可以选择哪一家购买吗?
若两家都可以选择,在哪一家购买更省钱?
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