历年数模试题摘录.docx

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历年数模试题摘录

a题逢山开路

  要在一山区修建公路,首先测得一些地点的高程,数据见表1（平面区域0≤x≤5600,0≤y≤4800,表中数据为坐标点的高程,单位:

米）.数据显示:

在y=3200处有一东西走向的山峰;从坐标（2400,2400）到（4800,0）有一西北---东南走向的山谷;在（2000,2800）附近有一山口湖,其最高水位略高于1350米,雨季在山谷中形成一溪流.经调查知,雨量最大时溪流水面宽度w与（溪流最深处）的x坐标的关系可近似表示为

w（x）=（（x-24003/4）/2）+5（2400≤x≤4000）.

公路从山脚（0,800）处开始,经居民点（4000,2000）至矿区（2000,4000）.已知路段工程成本及对路段坡度α（上升高程与水平距离之比）的限制如表2.

  1）试给出一种线路设计方案,包括原理、方法及比较精确的线路位置（含桥梁、隧道）,并估算该方案的总成本.

  2）如果居民点改为3600≤x≤4000,2000≤y≤2400的居民区,公路只须经过居民区即可,那么你的方案有什么改变.

表一↑北

_______________________________________________________________________________

4800┃1350137013901400141096094088080069057043029021015

4400┃1370139014101430144011401110105095082069054038030021

4000┃13801410143014501470132012801200108094078062046037035

3600┃142014301450148015001550151014301300120098085075055050

3200┃14301450146015001550160015501600160016001550150015001550155

2800┃950119013701500120011001550160015501380107090010501150120

2400┃910109012701500120011001350145012001150101088010001050110

2000┃8801060123013901500150014009001100106095087090093095

1600┃83098011801320145014201400130070090085084038078075

1200┃74088010801130125012801230104090050070078075065055

800┃65076088097010201050102083080070030050055048035

400┃51062073080085087085078072065050020030035032

  0┃73047055060067069067062058045040030010015025

____┃_________________________________________________________________________

y/x┃040080012001600200024002800320036004000440048005200560

-------------------------------------------------------------------------------

表二

__________________________________________________________________________

┃┃┃工程种类┃一般路段┃桥梁┃隧道  ________┃_________┃______┃______________________________________工程成本（元/米）┃300┃2000┃1500（长度≤300米）;┃┃┃3000（长度>;300米）;_________┃_________┃______┃______________________________________┃┃┃对坡度α的限制┃α<0.125┃α=0┃α<0.100_________________________________________________________________________

1994年全国大学生数学建模竞赛

  b题  锁具装箱  

  某厂生产一种弹子锁具,每个锁具的钥匙有5个槽,每个槽的高度从{1,2,3,4,5,6}6个数（单位略）中任取一数.由于工艺及其它原因,制造锁具时对5个槽的高度还有两个限制:

至少有3个不同的数;相邻两槽高度之差不能为5.满足以上条件制造出来的所有互不相同的锁具称为一批.  出来的所有互不相同的锁具称为一批.      从顾客的利益出发,自然希望在每批锁具中"一把钥匙开一把锁".但是在当前工艺条件下,对于同一批中两个锁具是否能够互开,有以下试验结果:

若二者相对应的5个槽的高度中有4个相同,另一个的高度差为1,则可能互开;在其它情形下,不可能互开.      原来,销售部门在一批锁具中随意地取每60个装一箱出售.团体顾客往往购买几箱到几十箱,他们抱怨购得的锁具会出现互相开的情形.现聘聘请你为顾问,回答并解决以下问题:

  1）每一批锁具有多少个,装多少箱.

  2）为销售部门提供一种方案,包括如何装箱（仍是60个锁具一箱）,如何给箱子以标志,出售时如何利用这些标志,使团体顾客不再或减少抱怨.

  3）采取你提出的方案,团体顾客的购买量不超过多少箱,就可以保证一定不会出现互

  4）按照原来的装箱办法,如何定量地衡量团体顾客抱怨互开的程度（试对购买一、二箱者给出具体结果）.

2004-10-2813:

35yutian

历年数模竞赛试题选

1995年全国大学生数学建模竞赛

a题一个飞行管理模型

  在约10,000米高空的某边长160公里的正方形区域内,经常有若干架飞机作水平飞行。

区域内每架飞机的位置和速度均由计算机记录其数据，以便进行飞行管理。

当一架欲进入该区域的飞机到达区域边缘,记录其数据后，要立即计算并判断是否会与区域内的飞机发生碰撞。

如果会碰撞，则应计算如何调整各架（包括新进入的）飞机飞行方向角，以避免碰撞。

现假定条件如下:

  1）不碰撞的标准为任意两架飞机的距离大于8公里;

  2）飞机飞行方向角调整的幅度不应超过30度;

  3）所有飞机飞行速度均为每小时800公里;

  4）进入该区域的飞机在到达区域边缘时,与区域内飞机的距离应在60公里以上;

  5）最多需考虑6架飞机;

  6）不必考虑飞机离开此区域后的状况。

请你对这个避免碰撞的飞行管理问题建立数学模型，列出计算步骤，对以下数据进行计算（方向角误差不超过0.01度），要求飞机飞行方向角调整的幅度尽量小。

设该区域4个顶点的座标为（0,0），（160,0），（160,160），（0,160）。

记录数据为:

飞机编号横座标x纵座标y方向角（度）

1150140243

28585236

3150155220.5

414550159

5130150230

新进入0052

注:

方向角指飞行方向与x轴正向的夹角。

试根据实际应用背景对你的模型进行评价与推广。

b题天车与冶炼炉的作业调度

    某钢铁厂冶炼车间的厂房布局是，地面沿一直线依次安置着7个工作点辅料供应处p；a组3座转炉（冶炼成品钢）a1,a2,a3；b组2座冶炼炉（冶炼半成品钢，简称半钢）b1,b2；原料供应处q。

这些设备的上方贯通着一条运送物料的天车轨道，上面布置着若干天车t1，t2，...，tn炉了作业服务。

布局示意如下。

|---------t1----t2----------------------------tn--------------|

pa1a2a3b1b2q

    天车与冶炼炉的作业过程与工序为：

天车从q处吊起原料一罐（吊罐时间ty）运至b1或b2处放下（放罐时间ti），并将上一炉的原料空罐吊起（吊空时间to）返回q处放下（放空罐时间tk）。

b组炉的原料罐放下后即可在辅助作业下开始冶炼（冶炼时间tb），由天车吊起半钢罐（吊罐时间td）运至a1或a2、a3处将半钢倒入转炉（倒入时间te），并将空罐返回b1或b2处放下（放空罐时间tc）。

再由天车从p处吊起辅料一槽（吊起时间tg）运至a1或a2、a3处加入转炉（加入时间tf），并将空槽返回p处放下（放空槽时间th）。

a组炉在半钢和辅料加入后即可开始冶炼（冶炼时间ta），冶炼后成品钢人输出不用天车（输出时间记人ta）。

天车通过相邻两个工作点人运行时间都相同，记为tx。

由于各台天车在同一轨道上运行，因此其顺序位置t1,t2,...,tn不可交换。

在同一时间同一座炉子上只能允许一台天车作业；但p、q两处可以允许多台天车同时作业。

在p，a1，...，q每两个相邻工作点之间最多能容纳2台天车同时停放。

天车与冶炼炉作业调度的要求为：

（1）成品钢产量尽量高；

（2）各台天车的作业率（天车作业时间所占比例）尽量均衡（考虑到设备人员安全等因素，一般天车作业率不超过70％）；

    （3）绝不允许天车相撞等事故；

    （4）调度规则尽量简明，以利于现场人员使用。

现设定：

ta=48，tb=27，ti=3，to=2，tc=2，td=3，te=5，tf=2，tg=2，th=1，ty=3，tk=2（单位：

分钟），tx=15秒；a组炉平均每炉产量wa=120吨。

在不超过5台天车的条件下，设计一种满足上述要求的

天车与冶炼炉的作业调度方案：

（1）各台天车负责那些作业（列出《工序清单》）；

（2）在所给方案的一个周期内，每一时刻天车和冶炼炉处于什么状态（画出《天车—炉子作业运行图》）；

      （3）一份供现场人员使用的《调度规则说明书》；

      （4）在所给方案下计算各台天车的作业率。

并按每天冶炼炉数估计该车间成品钢的年产量（扣除设备维修日，每台转炉作业日每年按300天计算）。

实际生产中，ta,tb,...,tk都是随机的（上面设定的数值可视为平均值），讨论你的调度方案如何适用于实际生产过程。

试提出该车间提高钢产量到年产300万吨以上的建议。

2004-10-2813:

36yutian

历年数模竞赛试题选

一九九六年全国大学生数学建模竞赛

A题:

最优捕鱼策略

  为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源）的开发必须适度。

一种合理、简化的策略是，在实现可持续收获的前提下，追求最大产量或最佳效益。

  考虑对某种鱼（鲳鱼）的最优捕捞策略：

  假设这种鱼分４个年龄组：

称１龄鱼，……，４龄鱼。

各年龄组每条鱼的平均重量分别为5.07,11.55,17.86,22.99（克）；各年龄组鱼的自然死亡率均为0.8（１/年）；这种鱼为季节性集中产卵繁殖，平均每条４龄鱼的产卵量为1.109×105（个）；３龄鱼的产卵量为这个数的一半，２龄鱼和１龄鱼不产卵，产卵和孵化期为每年的最后４个月；卵孵化并成活为１龄鱼，成活率（１龄鱼条数与产卵总是n之比）为1.22×1011/（1.22×1011+n）.

  渔业管理部门规定，每年只允许在产卵卵化期前的８个月内进行捕捞作业。

如果每年投入的捕捞能力（如渔船数、下网次数等）固定不变，这时单位时间捕捞量将与各年龄组鱼群条数成正比。

比例系数不妨称捕捞强度系数。

通常使用１３mm网眼的拉网，这种网只能捕捞３龄鱼和４龄鱼，其两个捕捞强度系数之比为0.42:

1。

渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。

  １）建立数学模型分析如何可持续捕获（即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群不变），并且在此前提下得到最高的年收获量（捕捞总重量）。

  ２）某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务５年，合同要求鱼群的生产能力不能受到太大的破坏。

已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为：

122,29.7,10.1,3.29（×109条），如果仍用固定努力量的捕捞方式，该公司采取怎样的策略才能使总收获量最高。

B题:

节水洗衣机

  我国淡水资源有限，节约用水人人有责。

洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。

假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：

加水-漂水-脱水-加水-漂水-脱水-…-加水-漂水-脱水（称“加水-漂水-脱水”为运行一轮）。

请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加多少水等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。

选用合理的数据进行计算。

对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。

A题:

定价问题

为了获得更大的效益，企业应如何对商品定价。

表面看定得越高越赚钱，可是购买者太少会影响总收入。

反过来定得太低时单位商品的利润太低也会使总收入降低。

请你给出确定一个商品价格时所应考虑的各种因素并讨论其间的关系（最好不要建立产销平衡假设）。

另外，一个离市区50公里的滑雪场只有冬天才能营业，因此价格比较高，游客在柜台交款的价格是滑雪每人每天120元（由于离市区较远，来的游客主要是滑一天的）。

为了更多地招揽顾客，雪场又想设计几种其他收费方式：

1）销售20次卡。

顾客一次性购买后，使用时每人每次打一个孔，打满20个孔的卡就作废了，没用完也不再退款；

2）年卡。

在一年期间内只要滑雪场开放，可随时来滑雪。

不计次数和时间，不再收取其他费用，只限固定一人使用，雪场为其提供各种方便条件，购买时需交纳一定费用。

每年的雪季长大约是4个月；

3）俱乐部组团可享受优惠价格。

滑雪场对每个俱乐部指定其中一人为经纪人，该俱乐部组织人员来滑雪时，滑雪场与经纪人结算，然后经纪人再向俱乐部人员收取一定费用。

显然，经纪人是会有一定收入的，但滑雪者所交的费用又要比在柜台交时的少；

4）自带雪具者由于只用雪场的缆车与雪道，应该享受较低价格。

请针对以上的各种情况，分别设计各种交款方式的价格并做效益分析。

按雪季中平日来客人600人/天，周末来客人2000人/天来估计（不特殊考虑新年和春节）。

B题:

最佳保温层厚度

目前，城市居民楼很多都是简单的平屋顶，假设屋顶由里向外的结构是0.1（cm）涂料，1.5（cm）水泥砂浆20（cm）楼板，2（cm）水泥砂浆，珍珠岩保温层，2（cm）水泥砂浆，1（cm）三毡四油防水材料。

北方地区这样的屋顶，夏季太阳日照下的表面温度最高可以达到摄氏75度，冬季为摄氏零下40度。

为了保持室内有较好的舒适温度，又不造成浪费，

（1）保温层厚度应该多厚为好？

（2）如果更换保温层成其它保温材料，你认为那种好，其厚度是多少？

C题:

物资分配问题

某一灾区有N名受灾群众，现有一批救灾物资要发放给这些受灾者。

物资共有M种，每种物资的数量有限；各受灾者的灾情不同，对每种物资的急需程度和需求量不同。

（1）你作为一名物资分配者，请制定分配原则并给出合理的分配方法。

（2）试给出一个符合题意的数值算例。

2004大学生数模竞赛试题2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

（请先阅读 “对论文格式的统一要求”）

 B题 电力市场的输电阻塞管理

我国电力系统的市场化改革正在积极、稳步地进行。

2003年3月国家电力监管委员会成立，2003年6月该委员会发文列出了组建东北区域电力市场和进行华东区域电力市场试点的时间表，标志着电力市场化改革已经进入实质性阶段。

可以预计，随着我国用电紧张的缓解，电力市场化将进入新一轮的发展，这给有关产业和研究部门带来了可预期的机遇和挑战。

电力从生产到使用的四大环节——发电、输电、配电和用电是瞬间完成的。

我国电力市场初期是发电侧电力市场，采取交易与调度一体化的模式。

电网公司在组织交易、调度和配送时，必须遵循电网“安全第一”的原则，同时要制订一个电力市场交易规则，按照购电费用最小的经济目标来运作。

市场交易-调度中心根据负荷预报和交易规则制订满足电网安全运行的调度计划――各发电机组的出力（发电功率）分配方案；在执行调度计划的过程中，还需实时调度承担AGC（自动发电控制）辅助服务的机组出力，以跟踪电网中实时变化的负荷。

设某电网有若干台发电机组和若干条主要线路，每条线路上的有功潮流（输电功率和方向）取决于电网结构和各发电机组的出力。

电网每条线路上的有功潮流的绝对值有一安全限值，限值还具有一定的相对安全裕度（即在应急情况下潮流绝对值可以超过限值的百分比的上限）。

如果各机组出力分配方案使某条线路上的有功潮流的绝对值超出限值，称为输电阻塞。

当发生输电阻塞时，需要研究如何制订既安全又经济的调度计划。

电力市场交易规则：

1. 以15分钟为一个时段组织交易，每台机组在当前时段开始时刻前给出下一个时段的报价。

各机组将可用出力由低到高分成至多10段报价，每个段的长度称为段容量，每个段容量报一个价（称为段价），段价按段序数单调不减。

在最低技术出力以下的报价一般为负值，表示愿意付费维持发电以避免停机带来更大的损失。

2. 在当前时段内，市场交易-调度中心根据下一个时段的负荷预报,每台机组的报价、当前出力和出力改变速率，按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分（见下面注释），直到它们之和等于预报的负荷，这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案（初始交易结果）。

最后一个被选入的段价（最高段价）称为该时段的清算价，该时段全部机组的所有出力均按清算价结算。

注释：

（a）每个时段的负荷预报和机组出力分配计划的参照时刻均为该时段结束时刻。

（b）机组当前出力是对机组在当前时段结束时刻实际出力的预测值。

（c）假设每台机组单位时间内能增加或减少的出力相同，该出力值称为该机组的爬坡速率。

由于机组爬坡速率的约束，可能导致选取它的某个段容量的部分。

（d）为了使得各机组计划出力之和等于预报的负荷需求，清算价对应的段容量可能只选取部分。

市场交易-调度中心在当前时段内要完成的具体操作过程如下：

1、监控当前时段各机组出力分配方案的执行，调度AGC辅助服务，在此基础上给出各机组的当前出力值。

2、作出下一个时段的负荷需求预报。

3、根据电力市场交易规则得到下一个时段各机组出力分配预案。

4、计算当执行各机组出力分配预案时电网各主要线路上的有功潮流，判断是否会出现输电阻塞。

如果不出现，接受各机组出力分配预案；否则，按照如下原则实施阻塞管理：

输电阻塞管理原则：

（1）调整各机组出力分配方案使得输电阻塞消除。

（2）如果

（1）做不到，还可以使用线路的安全裕度输电，以避免拉闸限电（强制减少负荷需求），但要使每条线路上潮流的绝对值超过限值的百分比尽量小。

（3）如果无论怎样分配机组出力都无法使每条线路上的潮流绝对值超过限值的百分比小于相对安全裕度，则必须在用电侧拉闸限电。

（4）当改变根据电力市场交易规则得到的各机组出力分配预案时，一些通过竞价取得发电权的发电容量（称序内容量）不能出力；而一些在竞价中未取得发电权的发电容量（称序外容量）要在低于对应报价的清算价上出力。

因此，发电商和网方将产生经济利益冲突。

网方应该为因输电阻塞而不能执行初始交易结果付出代价，网方在结算时应该适当地给发电商以经济补偿，由此引起的费用称之为阻塞费用。

网方在电网安全运行的保证下应当同时考虑尽量减少阻塞费用。

你需要做的工作如下：

1.某电网有8台发电机组，6条主要线路，表1和表2中的方案0给出了各机组的当前出力和各线路上对应的有功潮流值，方案1~32给出了围绕方案0的一些实验数据，试用这些数据确定各线路上有功潮流关于各发电机组出力的近似表达式。

2.设计一种简明、合理的阻塞费用计算规则，除考虑上述电力市场规则外，还需注意：

在输电阻塞发生时公平地对待序内容量不能出力的部分和报价高于清算价的序外容量出力的部分。

3.假设下一个时段预报的负荷需求是982.4MW，表3、表4和表5分别给出了各机组的段容量、段价和爬坡速率的数据，试按照电力市场规则给出下一个时段各机组的出力分配预案。

4.按照表6给出的潮流限值，检查得到的出力分配预案是否会引起输电阻塞，并在发生输电阻塞时，根据安全且经济的原则，调整各机组出力分配方案，并给出与该方案相应的阻塞费用。

5.假设下一个时段预报的负荷需求是1052.8MW，重复3~4的工作。

表1各机组出力方案 （单位：

兆瓦，记作MW）

方案\机组123 4 5 678

0120731808012512581.190

1133.02731808012512581.190

2129.63731808012512581.190

3158.77731808012512581.190

4145.32731808012512581.190

512078.5961808012512581.190

612075.451808012512581.190

712090.4871808012512581.190

812083.8481808012512581.190

912073231.398012512581.190

1012073198.488012512581.190

1112073212.648012512581.190

1212073190.558012512581.190

131207318075.85712512581.190

141207318065.95812512581.190

151207318087.25812512581.190

161207318097.82412512581.190

171207318080150.7112581.190

181207318080141.