中考三角形的边与角真题解析.docx
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中考三角形的边与角真题解析
2019中考三角形的边与角真题解析
一、选择题
1.(2019•武汉)如图,AB是⊙O的直径,M、N是
(异于A.B)上两点,C是上一动点,∠ACB的角平分线交⊙O于点D,∠BAC的平分线交CD于点E.当点C从点M运动到点N时,则C.E两点的运动路径长的比是()
A.
B.
C.
D.
【分析】如图,连接EB.设OA=r.易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上,运动轨迹是
,点C的运动轨迹是
,由题意∠MON=2∠GDF,设∠GDF=α,则∠MON=2α,利用弧长公式计算即可解决问题.
解:
如图,连接EB.设OA=r.
∵AB是直径,
∴∠ACB=90°,
∵E是△ACB的内心,
∴∠AEB=135°,
∵∠ACD=∠BCD,
∴
=
,
∴AD=DB=
r,
∴∠ADB=90°,
易知点E在以D为圆心DA为半径的圆上,运动轨迹是
,点C的运动轨迹是
,
∵∠MON=2∠GDF,设∠GDF=α,则∠MON=2α
∴=
=
.
【答案】A
【点评】本题考查弧长公式,圆周角定理,三角形的内心等知识,解题的关键是理解题意,正确寻找点的运动轨迹,属于中考选择题中的压轴题.
2.(2019•泰州)如图所示的网格由边长相同的小正方形组成,点A.B.C.D.E.F、G在小正方形的顶点上,则△ABC的重心是()
A.点DB.点EC.点FD.点G
【分析】根据三角形三条中线相交于一点,这一点叫做它的重心,据此解答即可.
解:
根据题意可知,直线CD经过△ABC的AB边上的中线,直线AD经过△ABC的BC边上的中线,
∴点D是△ABC重心.
【答案】A
【点评】本题主要考查了三角形的重心的定义,属于基础题意,比较简单.
3.(2019•衡阳)下列命题是假命题的是()
A.n边形(n≥3)的外角和是360°
B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等
C.相等的角是对顶角
D.矩形的对角线互相平分且相等
【分析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可.
解:
A.n边形(n≥3)的外角和是360°,是真命题;
B.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等,是真命题;C.相等的角不一定是对顶角,是假命题;
D.矩形的对角线互相平分且相等,是真命题。
【答案】C
【点评】本题考查了命题与定理:
判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.
4.(2019•浙江金华•3分)若长度分别为a,3,5的三条线段能组成一个三角形,则a的值可以是()
A.1B.2C.3D.8
【分析】三角形三边的关系:
两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,由此得出a的取值范围,从而可得答案.
解:
∵三角形三边长分别为:
a,3,5,
∴a的取值范围为:
2<a<8,
∴a的所有可能取值为:
3,4,5,6,7.故答案为:
C.
【答案】C
5.(2019▪毕节)在下列长度的三条线段中,不能组成三角形的是()
A.2cm,3cm,4cmB.3cm,6cm,76cm
C.2cm,2cm,6cmD.5cm,6cm,7cm
【分析】根据三角形任意两边的和大于第三边,进行分析判断.
解:
A.2+3>4,能组成三角形;
B.3+6>7,能组成三角形;
C.2+2<6,不能组成三角形;
D.5+6>7,能够组成三角形.
【答案】C
【点评】本题考查了能够组成三角形三边的条件.注意:
用两条较短的线段相加,如果大于最长那条就能够组成三角形.
6.(2019•宁波)已知直线m∥n,将一块含45°角的直角三角板ABC按如图方式放置,其中
斜边BC与直线n交于点D.若∠1=25°,则∠2的度数为()
A.60°B.65°C.70°D.75°
【分析】先求出∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°,再根据平行线的性质可知
∠2=∠AED=70°.
解:
设AB与直线n交于点E,则∠AED=∠1+∠B=25°+45°=70°.又直线m∥n,
∴∠2=∠AED=70°.
【答案】C
【点评】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质,解题的关键是借助平行线和三角形内外角转化角.
7.(2019,巴中)下列命题是真命题的是()
A.对角线相等的四边形是矩形B.对角线互相垂直的四边形是矩形
C.对角线互相垂直的矩形是正方形D.四边相等的平行四边形是正方形
【分析】根据矩形的判定方法对A.B矩形判断;根据正方形的判定方法对C.D矩形判断.
【解答】解:
A.对角线相等的平行四边形是矩形,所以A选项错误;
对角线相等的平行四边形是矩形,所以B选项错误;C.对角线互相垂直的矩形是正方形,所以C选项正确;D.四边相等的菱形是正方形,所以D选项错误.
【答案】C
【点评】本题考查了命题与定理:
命题的“真”“假”是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
8.(2019,枣庄)将一副直角三角板按如图所示的位置放置,使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上,则∠α的度数是()
A.45°B.60°C.75°D.85°
【分析】先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°,再利用∠α=∠D+∠DGB可得答案.
解:
如图,
∵∠ACD=90°、∠F=45°,
∴∠CGF=∠DGB=45°,
则∠α=∠D+∠DGB=30°+45°=75°
【答案】C
【点评】本题主要考查三角形的外角的性质,解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质.
9.(2019•绍兴)如图,墙上钉着三根木条a,b,C,量得∠1=70°,∠2=100°,那么木条a,b所在直线所夹的锐角是()
A.5°B.10°C.30°D.70°
【分析】根据对顶角相等求出∠3,根据三角形内角和定理计算,得到答案.
解:
∵∠3=∠2=100°,
∴木条a,b所在直线所夹的锐角=180°﹣100°﹣70°=10°,
【答案】B
【点评】本题考查的是三角形内角和定理、对顶角的性质,掌握三角形内角和等于180°
是解题的关键.
10.(2019•衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的。
借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角。
这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成,两根棒在O点相连并可绕O转动,C点固定,OC=CD=DE,点D,E可在槽中滑动,若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是()
A.60°B.65°C.75°D.80°
【分析】由等腰三角形性质得∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,设∠O=∠ODC=x,由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x,∠CDE=180°-4x,根据平角性质列出方程,解之即可的求得x值,再由∠CDE=180°-4x=80°即可求得答案.
解:
∵OC=CD=DE,
∴∠O=∠ODC,∠DCE=∠DEC,设∠O=∠ODC=x,
∴∠DCE=∠DEC=2x,
∴∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x,
∵∠BDE=75°,
∴∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°,即x+180°-4x+75°=180°,
解得:
x=25°,
∠CDE=180°-4x=80°.
【答案】D
11.(2019天水)如图,等边△OAB的边长为2,则点B的坐标为()
A.(1,1)B.(1,
)
C.(
,1)D.(
,
)
【分析】过点B作BH⊥AO于H点,∵△OAB是等边三角形,所以可求出OH和BH长.
解:
过点B作BH⊥AO于H点,
∵△OAB是等边三角形,
∴OH=1,BH=
.
∴点B的坐标为(1,
).
【答案】B
【点评】本题主要考查了等边三角形的性质,以坐标系为背景,综合考查了勾股定理和坐
标与图形的性质.
12.(2019•德州市)下列命题是真命题的是()
A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B.平分弦的直径垂直于弦
C.对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
【分析】A.根据全等三角形的判定方法,判断即可.B.根据垂径定理的推理对B进行判断;C.根据平行四边形的判定进行判断;D.根据平行线的判定进行判断.
解:
A.由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等,故A错误,是假命题;平分弦(非直径)的直径垂直于弦,故B错误,是假命题;
一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形,故C正确,是真命题;
两条平行线被第三条直线所截,内错角相等,故D错误,是假命题.
【答案】C
【点评】本题考查了命题与定理:
判断一件事情的语句,叫做命题.许多命题都是由题设和结论两部分组成,题设是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,有些命题的正确性是用推理证实的,这样的真命题叫做定理.
13.(2019天水)一把直尺和一块三角板ABC(含30°、60°角)如图所示摆放,直尺一边与三角板的两直角边分别交于点D和点E,另一边与三角板的两直角边分别交于点F和点A,且∠CED=50°,那么∠BFA的大小为()
A.145°B.140°C.135°D.130°
【分析】先利用三角形外角性质得到∠FDE=∠C+∠CED=140°,然后根据平行线的性质得到∠BFA的度数.
解:
∠FDE=∠C+∠CED=90°+50°=140°,
∵DE∥AF,
∴∠BFA=∠FDE=140°.
【答案】B
【点评】本题考查了平行线的性质:
两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.
14.(2019•湘西州)下列命题是真命题的是()
A.同旁内角相等,两直线平行
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形
C.相等的两个角是对顶角
D.圆内接四边形对角相等
【分析】由平行线的判定方法得出A是假命题;由平行四边形的判定定理得出B是真命题;由对顶角的定义得出C是假命题;由圆内接四边形的性质得出D是假命题;即可得出答案.
解:
A.同旁内角相等,两直线平行;假命题;
B.对角线互相平分的四边形是平行四边形;真命题;
C.相等的两个角是对顶角;假命题;
D.圆内接四边形对角相等;假命题;
【答案】B
【点评】本题考查了命题与定理、平行线的判定、平行四边形的判定、对顶角的定义、圆内接四边形的性质;要熟练掌握.
二、填空题
1.(2019•泰州)命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是(填“真命题”或“假命题”).
【分析】根据三角形内角和定理判断即可.
解:
三角形的三个内角中至少有两个锐角,是真命题;故答案为:
真命题
【点评】本题考查了命题与定理:
判断事物的语句叫命题;正确的命题称为真命题,错误的命题称为假命题;经过推理论证的真命题称为定理.
2.(2019•十堰)如图,已知菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,E为BC的中点,若
OE=3,则菱形的周长为.
【分析】根据菱形的对角线互相平分可得BO=DO,然后求出OE是△BCD的中位线,再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出CD,然后根据菱形的周长公式计算即可得解.
解:
∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,BO=DO,
∵点E是BC的中点,
∴OE是△BCD的中位线,
∴CD=2OE=2×3=6,
∴菱形ABCD的周长=4×6=24;
【答案】24.
【点评】本题考查了菱形的性质以及三角形中位线定理;熟记菱形性质与三角形中位线定理是解题的关键.
3.(2019•金华)如图,在量角器的圆心O处下挂一铅锤,制作了一个简易测倾仪。
量角器的O刻度线AB对准楼顶时,铅垂线对应的读数是50°,则此时观察楼顶的仰角度数是.
【分析】根据题意可得∠AOC=50°,由三角形内角和定理得∠OAC=40°,∠OAC即为观察楼顶的仰角度数.
如图,
依题意可得:
∠AOC=50°,
∴∠OAC=40°,
即观察楼顶的仰角度数为40°.
【答案】40°
三、解答题
1.(2019•长沙)根据相似多边形的定义,我们把四个角分别相等,四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形.相似四边形对应边的比叫做相似比.
(1)某同学在探究相似四边形的判定时,得到如下三个命题,请判断它们是否正确(直接在横线上填写“真”或“假”).
①四条边成比例的两个凸四边形相似;(命题)
②三个角分别相等的两个凸四边形相似;(命题)
③两个大小不同的正方形相似.(命题)
(2)如图1,在四边形ABCD和四边形A1B1C1D1中,∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠
B1C1D1,
=
=
.求证:
四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
(3)如图2,四边形ABCD中,AB∥CD,AC与BD相交于点O,过点O作EF∥AB分别交AD,BC于点E,F.记四边形ABFE的面积为S1,四边形EFCD的面积为S2,若四边形ABFE与四边形EFCD相似,求
的值.
【分析】
(1)根据相似多边形的定义即可判断.
(2)根据相似多边形的定义证明四边成比例,四个角相等即可.
(3)四边形ABFE与四边形EFCD相似,证明相似比是1即可解决问题,即证明DE=AE
即可.
(1)解:
①四条边成比例的两个凸四边形相似,是假命题,角不一定相等.
②三个角分别相等的两个凸四边形相似,是假命题,边不一定成比例.
③两个大小不同的正方形相似.是真命题.故答案为假,假,真.
(2)证明:
如图1中,连接BD,B1D1.
∵∠BCD=∠B1C1D1,且
=
,
∴△BCD∽△B1C1D1,
∴∠CDB=∠C1D1B1,∠C1B1D1=∠CBD,
∵
=
=
∴
=
∵∠ABC=∠A1B1C1,
∴∠ABD=∠A1B1D1,
∴△ABD∽△A1B1D1,
∴
=
,∠A=∠A1,∠ADB=∠A1D1B1,
∴
=
=
=
,∠ADC=∠A1D1C1,∠A=∠A1,
∠ABC=∠A1B1C1,∠BCD=∠B1C1D1,
∴四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似.
(3)如图2中,
∵四边形ABCD与四边形EFCD相似.
∴
=
,
∵EF=OE+OF,
∴
=
,
∵EF∥AB∥CD,
∴
=
,
=
=
,
∴
+
=
+
,
∴
=
,
∵AD=DE+AE,
∴
=
,
∴2AE=DE+AE,
∴AE=DE,
∴
=1.
【点评】本题属于相似形综合题,考查了相似三角形的判定和性质,相似多边形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考压轴题.
2.(2019•武汉)如图,点A.B.C.D在一条直线上,CE与BF交于点G,∠A=∠1,CE∥DF,
求证:
∠E=∠F.
【分析】根据平行线的性质可得∠ACE=∠D,又∠A=∠1,利用三角形内角和定理及等式的性质即可得出∠E=∠F.
解:
∵CE∥DF,
∴∠ACE=∠D,
∵∠A=∠1,
∴180°﹣∠ACE﹣∠A=180°﹣∠D﹣∠1,
又∵∠E=180°﹣∠ACE﹣∠A,∠F=180°﹣∠D﹣∠1,
∴∠E=∠F.
【点评】本题考查了平行线的性质:
两直线平行,同位角相等;两直线平行,同旁内角互补;两直线平行,内错角相等.也考查了三角形内角和定理.
3.(2019•孝感)如图,点I是△ABC的内心,BI的延长线与△ABC的外接圆⊙O交于点D,与AC交于点E,延长CD.BA相交于点F,∠ADF的平分线交AF于点G.
(1)求证:
DG∥CA;
(2)求证:
AD=ID;
(3)若DE=4,BE=5,求BI的长.
【分析】
(1)根据三角形内心的性质得∠2=∠7,再利用圆内接四边形的性质得∠ADF
=∠ABC,则∠1=∠2,从而得到∠1=∠3,则可判断DG∥AC;
(2)根据三角形内心的性质得∠5=∠6,然后证明∠4=∠DAI得到DA=DI;
(3)证明△DAE∽△DBA,利用相似比得到AD=6,则DI=6,然后计算BD﹣DI即可.
(1)证明:
∵点I是△ABC的内心,
∴∠2=∠7,
∵DG平分∠ADF,
∴∠1=
∠ADF,
∵∠ADF=∠ABC,
∴∠1=∠2,
∵∠3=∠2,
∴∠1=∠3,
∴DG∥AC;
(2)证明:
∵点I是△ABC的内心,
∴∠5=∠6,
∵∠4=∠7+∠5=∠3+∠6,即∠4=∠DAI,
∴DA=DI;
(3)解:
∵∠3=∠7,∠ADE=∠BAD,
∴△DAE∽△DBA,
∴AD:
DB=DE:
DA,即AD:
9=4:
AD,
∴AD=6,
∴DI=6,
∴BI=BD﹣DI=9﹣6=3.
【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心:
三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角.也考查了圆周角定理和三角形的外心.