最新人教版初中数学八年级上册第12章全等三角形教案.docx

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最新人教版初中数学八年级上册第12章全等三角形教案

12.1　全等三角形

【教学目标】

1.了解全等形和全等三角形的概念，能够找出全等三角形的对应元素，掌握全等三角形的性质.

2.在图形变换以及实际操作的过程中发展学生的空间观念，培养学生的几何直觉，在运用全等三角形性质的过程中感受数学活动的乐趣.

【重点难点】

重点：

全等三角形的概念、性质及对应元素的确定.

难点：

全等三角形对应元素的识别.

┃教学过程设计┃

教学过程

设计意图

一、创设情境，导入新课

欣赏一组图片，提出问题1.

图

（1）　　　图

（2）　　　图（3）　　　图（4）

问题1：

你能从图中找出形状和大小都相同的图形吗？

其中一个图形是由另一个图形如何变化而来？

它们能够完全重合吗？

你能再举出一些类似的例子吗？

学生讨论分析，教师引导.

举例：

学生手中含30度角的三角板；含45度角的三角板；学生手中的小量角器；由同一张底片洗出的尺寸相同的照片；两本数学书等.

用贴近学生生活的图案激发学生探究的兴趣，体验数学来源于生活.

二、师生互动，探究新知

1.由图

（1）

（2）（4）形成全等形的概念：

形状相同、大小相同的图形放在一起能够完全重合，能够完全重合的两个图形叫做全等形.

2.由图（3）（4）形成全等三角形的概念，多媒体投影相关概念及全等三角形的符号表示.

3.多媒体演示三种全等变换（平移、翻折、旋转）并提出问题：

平移、翻折、旋转前后的两个三角形全等吗？

4.学生小组活动：

多媒体投影要求：

①请你用事先准备好的三角形纸板通过平移、翻折、旋转等操作得到你认为美丽的图形；②在练习本上画出这些图形，标上字母，并在小组内交流；③指出这些图形中的对应顶点、对应边、对应角.

5.多媒体展示学生可能得到的图形（如图）.

合作交流：

寻找对应元素有什么方法和规律吗？

学生思考交流后，师生共同归纳、板书.

问题2：

全等三角形的对应边、对应角有什么数量关系？

板书：

全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.

1.通过动画演示全等变换的过程及学生动手实践，让学生形成直观感觉，培养学生动态研究几何图形的意识，在操作实践的过程中建立对应的概念，体会重合即全等，重合即对应这个本质规律；2.熟悉本章常见图形，为今后全等三角形的证明和计算奠定基础；3.培养学生的观察能力、概括能力和初步辨析图形的能力.

三、运用新知，解决问题

如图，△EFG≌△NMH，EF＝2.1cm，EH＝1.1cm，NH＝3.3cm.

（1）试写出这两个三角形的对应边、对应角；

（2）求线段NM及HG的长度；

（3）观察图形中对应线段的数量或位置关系，试提出一个正确的结论并证明.

进一步巩固全等三角形及其对应元素的概念，使学生在动脑、动手实践的过程中理解全等三角形的性质.

四、课堂小结，提炼观点

本节课学了哪些主要内容？

你有哪些收获？

怎样寻找全等三角形的对应边、对应角？

五、布置作业，巩固提升

教材第33、34页第1、2、5、6题.

┃教学过程设计┃

【板书设计】

全等三角形

1.全等三角形的有关概念　例题

2.全等三角形的性质　反思小结

3.寻找对应元素的方法　作业

【教学反思】

1.本节课充分应用多媒体进行教学，促使学生从感性认识上升为理性认识.

2.课堂上重视学生的主体参与，学生是学习的主体，因此本节课从概念的形成、发展、应用等每个环节，都力求通过学生的动手实践、动脑思考、自主参与、合作探究来完成.

12.2　三角形全等的判定

第1课时三角形全等的判定

【教学目标】

1.经历探索三角形全等条件的过程，体会利用操作、归纳获得数学结论的过程，在探索过程中，培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识.

2.会应用“边边边”判定两个三角形全等，能用尺规作一个角等于已知角.

【重点难点】

重点：

探索三角形全等的条件，会应用“边边边”判定两个三角形全等.

难点：

探索三角形全等的条件，用尺规作一个角等于已知角.

┃教学过程设计┃

教学过程

设计意图

一、创设情景，导入新课

问题：

为了庆祝国庆节，老师要求同学们回家制作三角形彩旗，那么，老师应提供多少个数据，才能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等呢？

一定要知道所有的边长和所有的角度吗？

通过问题情境的创设，引入本课课题，激发学生的好奇心和求知欲，使他们体会探索的过程是为了解决问题的实际需要，对学生提出的解决问题的不同策略，要给予肯定和鼓励.

二、师生互动，探究新知

教师引导学生从“条件尽可能的少”出发，逐步增加条件分类进行操作验证：

探究1：

满足一个或两个条件对应相等时，画出的两个三角形全等吗？

1.只给一个条件（一组对应边相等或一组对应角相等），画出的两个三角形一定全等吗？

2.给出两个条件画三角形时，有几种可能的情况，每种情况下作出的三角形一定全等吗？

学生分组讨论、探索、归纳，给出的两个条件可能是：

一边一内角、两内角、两边.

分别按下列条件做一做.

①三角形一内角为30°，一条边为3cm.

②三角形两内角分别为30°和50°.

③三角形两条边分别为4cm，6cm.

在多媒体展示出各种结果.

教师分析并归纳结论：

只满足两个条件画出的三角形不一定全等.

探究2：

给出三个条件画三角形，会有几种可能的情况？

学生思考后师生归纳：

有四种可能，即三角、三边、两边一角、两角一边分别相等.

做一做：

先任意画一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，B′C′＝BC，C′A′＝CA，把画好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

教师演示作法，学生按要求尺规作图，动手操作，通过比较得出结论.

板书：

三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）.

思考本课起始提出的问题：

老师应提供多少个数据，能保证同学们制作出来的三角形彩旗全等？

学生讨论交流得出结论，教师分析补充.

从最少的条件开始，教师适时引导学生有条理、有依据地思考问题，两个三角形满足的条件组合时提醒学生按照一定的顺序、规律进行，不重不漏，让学生在讨论的过程中体验分类的思想，培养学生的合情推理能力和清晰条理的语言表达能力.

通过全过程的画图、操作，增强学生的数学体验，更利于理解SSS.

三、运用新知，解决问题

例1　两个全等的三角形纸板从重合状态下向右平移一段距离，可得下图，若已知AB＝DE，BE＝CF，DF＝AC，△ABC和△DEF全等吗？

说明理由.

思路点拨：

教师引导学生根据“边边边”观察两个三角形已经具备哪些全等的条件，还缺少什么条件，缺少的条件可以由哪个已知条件得出.注意：

BE和CF不是要证明的两三角形的边，因此BE＝CF不能作为全等的条件.

变式：

1.根据已知条件，你还能得到哪些正确的结论？

2.学生小组活动：

试仿照例题，利用你手中的三角形纸板，通过平移、翻折、旋转，得到你认为重要或典型的图形，把它画下来，给出已知条件和求证，和你的同学交流互做.

3.教师选择学生编制的优秀题目在班内展示，全班学生共做.

例2　已知：

∠BAC.

求作：

∠B′A′C′，使∠B′A′C′＝∠BAC.

思路点拨：

引导学生将∠BAC放入三角形中，问题变为画一个三角形与该三角形全等，为方便作图，再将三角形变为等腰三角形，得到作法.

通过学生动手操作，引导学生体会全等变换中的变与不变，进一步体会全等图形中对应元素相等.学生自己画图、编制题目，可以很好地调动学生学习的积极性、进取心.

进一步体会SSS的应用，掌握基本的尺规作图方法，提高学生的作图能力.

四、课堂小结，提炼观点

本节课学了哪些主要内容？

你有哪些收获？

了解学生对本节课知识的掌握情况，为调整教学方法、教学行为和课外辅导提供依据.

五、布置作业，巩固提升

教材第43、44页第1、9题.

【板书设计】

三角形全等的判定

（1）

边边边公理：

例1：

例1变式图形　例2

证明：

反思小结：

作业：

【教学反思】

1.本节课的设计体现了以探索三角形全等的条件为中心，遵循学生的认知规律，注重学生在独立思考基础上的合作交流，将教师的“引”与学生的“探”融为一个和谐的整体，让学生亲身经历操作、观察、归纳、交流等确定三角形全等的条件的过程.

2.在课堂上要给予学生充分的时间去思考、动手实践.教师在课堂中照顾到每一名学生，让全体学生都动起来.在把他们的结论互相比较之前，留给学生足够的时间，使大部分学生都能完成画图的活动.

3.例题教学也要让学生充分参与.调动学生动手操作，在全等变换下构图，在观察图形中编题，可以极大地激发学生的学习热情，深化、灵活和拓宽学生的思维.

12.2　三角形全等的判定

第2课时三角形全等的判定

（2）

【教学目标】

1.经历探索三角形全等的判定方法的过程，培养学生观察分析图形的能力和动手能力.

2.能灵活地运用三角形全等的条件，进行有条理的思考和简单推理，并能利用三角形的全等解决实际问题，体会数学与实际生活的联系.

3.培养学生的动手实践能力和严密的逻辑思维能力，进一步激发学习兴趣，培养良好的思维品质.

【重点难点】

重点：

会用“边角边”证明两个三角形全等，得到线段或角相等.

难点：

指导学生分析问题，寻找判定三角形全等的条件.

┃教学过程设计┃

教学过程

设计意图

一、创设情境，导入新课

问题：

已知任意△ABC，画△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A.

分析：

（1）作∠MB′N＝∠B；

（2）在射线B′M上截取B′A′＝AB，在射线B′N上截取B′C′＝BC；

（3）连接B′C′.

采用学生操作确认的方式及直观演示验证法，让学生理解这一结论.加深学生对“边角边”公理的理解.在作图过程中，可能有的同学有困难，教师在巡视过程中，对有困难的学生及时指导，使学生操作规范.

二、师生互动，探究新知

探究1：

让学生把画好的△A′B′C′剪下放在△ABC上，观察这两个三角形是否能够完全重合.回忆作图过程，分析△ABC和△A′B′C′中相等的条件，与同伴交流.

分析：

满足的条件：

∠MB′N＝∠B，B′A′＝AB，B′C′＝BC.

得到的结论：

△ABC≌△A′B′C′.

学生总结.

板书：

两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）.

符号语言：

学生自主写出，教师巡视指导.

学生通过预习教材，知道了SAS公理，却不知该公理是怎样得到的，教师应让学生明确，明知正确的结论为什么还要去探究，因为探究的过程是对新知的重新理解的过程，也是个人体验的过程，别人不可能替代，另外探求问题的方法也是我们注意学习的内容，将注意力集中在表层的那一点内容上是不合适的.

三、运用新知，解决问题

例1　如图，有一池塘，要测池塘两端A，B的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA，连接BC并延长到E，使CE＝CB.连接DE，那么量出DE的长就是A，B的距离，为什么？

思路点拨：

（1）证明线段相等、角相等的基本思路是证明三角形全等.

（2）从已知中可以得到几个条件？

还差什么条件？

（3）图中有没有隐含条件？

是什么？

例2　是不是两条边和一个角对应相等，这样的两个三角形一定全等？

你能举例说明吗？

如图，△ABC与△ABD中，AB＝AB，AC＝AD，∠B＝∠B.

那么△ABC与△ABD全等吗？

两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？

分析：

通过学生观察和多媒体动画演示，可知两三角形不全等，所以不能作为判定三角形全等的依据，这里有一个思维跨度，学生不容易接受，只要让学生认可就行.

通过测量池塘两端的距离这样一个实际问题，让学生综合应用了三角形全等的判定和性质，体验了数学来源于实践，又服务于实践的思想，同时使学生进一步熟悉推理论证的模式，进一步完善学生的证明书写.同时通过例题的讲解培养学生的审题、审图的习惯和能力.

此题目的设计主要是让学生了解两边和一边的对角对应相等，不能判定两个三角形全等，并进一步培养学生分析问题的能力.

四、课堂小结，提炼观点

判定三角形全等的方法有哪些？

要注意什么问题？

证明线段、角相等有什么思路？

通过学生之间的交流、探讨活动，培养学生的协作精神，同时也释解心中的疑惑.

五、布置作业，巩固提升

（1）必做题：

习题12.2第2、3题.

（2）选做题：

图1　　　　　　　　图2

如图1，点C在线段AB上，△ACM，△CBN都是等边三角形.求证：

①△ACN≌△MCB；②如图2，若将△CBN绕点C旋转任意角度后，△ACN和△MCB还是全等的吗？

若是，请给予证明.

【板书设计】

三角形全等的判定

（2）

一、判定定理2：

两边及其夹角对应相等的两个三角形全等（简称为“边角边”或“SAS”）.

二、几何符号语言：

三、例题：

【教学反思】

本节课的教学设计把学习中的发现、探究、研究等活动凸显出来，更多地由学生自己来发现问题、提出问题、分析和解决问题.通过学生参与探究，相互交流，突出学生是学习的主人，将课堂还给学生，体现学生的主体地位.抓住学生的好奇心，以疑激学，激起学生的求知欲，让学生主动建构、主动学习.同时，通过深入有效的评价，及时强化和矫正课程与教学的信息，更好地实现课程目的，提高教学质量，促进学生提高自我意识、自我调节、自我完善.

12.2　三角形全等的判定

第3课时三角形全等的判定（3）

【教学目标】

1.熟记角边角公理、角角边推论的内容.

2.能应用角边角公理及其推论证明两个三角形全等.

3.通过观察几何图形，培养学生的识图能力.

【重点难点】

重点：

学会运用角边角公理及其推论证明两个三角形全等.

难点：

ASA公理和AAS推论的综合运用.

┃教学过程设计┃

教学过程

设计意图

一、创设情境，导入新课

师：

观察下列一组图片，同学们，今天先请大家帮个忙，小明踢球时不慎把一块三角形的玻璃打碎为两块，他要去玻璃店买一块大小相同的玻璃，那么：

问题：

（1）要不要两块都带去？

（2）带哪块去呢？

（3）带第②块，带去了三角形的几个元素？

带第①块呢？

问：

恢复后的三角形和原三角形全等，那全等的条件是不是由带去的元素决定的呢？

分析：

图中的第①块玻璃只能确定三角形的一个角，是无法确定整块玻璃的大小和形状的；图中的第②块玻璃能确定三角形的两个角和它们的夹边（ASA），能够确定整块玻璃的大小和形状.

激发学生的求知欲，调动学生几何学习的积极性.

二、师生互动，探究新知

先任意画一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′＝AB，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，把画出的△A′B′C剪下，放到△ABC上，它们全等吗？

学生动手操作，感知问题的规律.

归纳：

两角与它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.

问题1：

课本图11.2－8中，∠A′＝∠A，∠B′＝∠B，那么∠C＝∠A′C′B′吗？

为什么？

学生交流、总结如下：

根据三角形内角和定理，∠A′C′B′＝180°－∠A′－∠B′，∠C＝180°－∠A－∠B，由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，

故∠C＝∠A′C′B′.

问题2：

在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝∠E，BC＝EF（课本图11.2－9），△ABC与△DEF全等吗？

学生运用三角形内角和定理，以及“ASA”可很快证出△ABC≌△DEF.

师生共同归纳规律：

两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成AAS）.

让学生就上述问题交流自己的探索过程.

改变以往“教师讲、学生听”的被动式学习方式.学生是数学学习的主人，充分发挥学生的主体作用，当学生思维受阻时，老师适度启发、引导、激励，可以使学生更大程度地投入到课堂中，同时也激发了学生的思维，大胆猜想，积极主动参与探索知识的发生过程，为下面的继续探索奠定了良好的学习氛围.

三、运用新知，解决问题

例题　如图，D在AB上，E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.

求证：

AD＝AE.

学生自主证明，教师引导.

思路点拨：

先利用三角形全等的判定方法证明两个三角形全等，然后再利用全等三角形的性质是证明线段相等或角相等的基本方法.

通过例题的学习让学生熟悉两角一边这种判定两个三角形全等的方法，使学生进一步理解判定三角形全等的方法的多样性，并让学生学会如何综合利用三角形全等的判定和性质去证明线段相等、角相等等问题.

四、课堂小结，提炼观点

1.知识技能：

角边角公理及其推论证明两个三角形全等的运用.

2.数学思想：

“转化”思想的运用，ASA→AAS.

3.证题技巧：

证明某些线段或角相等可以通过证明三角形全等得到.

一堂课下来，学生不应该只有知识上的收获，更要有数学思想、方法、数学学习上的感悟，所以小结从三个方面引导学生总结.

五、布置作业，巩固提升

教材第44页第4、5、10题.

【板书设计】

三角形全等的判定（3）

一、创设情境

二、探究新知

三、例题

四、学生板演

【教学反思】

1.本节课的设计体现了以教师为主导、学生为主体，以知识为载体、以培养学生的思维能力为重点的教学思想.

2.借助已有的知识和方法主动探索新知识，扩大认知结构，发展能力，完善人格，从而使课堂教学真正地落实到学生的发展上.

3.充分利用教科书提供的素材和活动，鼓励学生经历观察、操作、推理、想象等活动，发展学生的空间观念，体会分析问题、解决问题的方法，积累数学活动经验.

12.2　三角形全等的判定

第4课时三角形全等的判定（4）

【教学目标】

1.已知斜边和直角边会作直角三角形.

2.熟练掌握“斜边、直角边”，利用它判定一般三角形全等的方法判定两个直角三角形全等.

3.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理能力；通过探究与交流，解决一些问题，获得成功的体验，进一步激发探究的积极性.

【重点难点】

重点：

掌握判定两个直角三角形全等的特殊方法——HL.

难点：

熟练选择判定方法，判定两个直角三角形全等.

┃教学过程设计┃

教学过程

设计意图

一、创设情境，导入新课

提问：

1.判定两个三角形全等的条件有哪些？

结论：

SSS、SAS、AAS、ASA

设置情景：

根据这些条件，对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？

今天我们就来探究两个直角三角形全等的条件.

复习旧知，可更快、更准确地解答下面的两个直角三角形全等的条件.

二、师生互动，探究新知

提问：

两个直角三角形，除了直角相等外，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？

（让学生观察课件中的两个直角三角形并思考回答）

分析：

1.再满足一边一锐角对应相等，就可用“AAS”或“ASA”证全等了.

2.再满足两直角边对应相等，就可用“SAS”证全等了.

提问：

那么，如果满足斜边和一条直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？

（学生不能作肯定回答，只能作某种猜测）

现在不要求马上给出结论.看看通过动手探究，你是否能得出结论.直角三角形我们用Rt△表示.

思考：

任意画出一个Rt△ABC，使∠C＝90°，再画一个Rt△A′B′C′，使B′C′＝BC，A′B′＝AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，看看它们是否全等.（课件出示题目，师生一起看题）（学生独立探究，动手作图）

分析：

画法直接由教师给出，而不安排学生画出，是考虑学生画图有一定的难度，况且作图不是本节课的重点.

提问：

（1）Rt△ABC就是所求作的三角形吗？

（2）画好后，把Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，看它们全等吗？

（3）发现了什么结论？

（全等.）

结论（板书）：

斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边，直角边”或“HL”）.

注意：

一是“HL”是仅适用于Rt△的特殊方法；二是应用“HL”时，虽只有两个条件，但必须先有两个三角形是Rt△的条件.

比较判定两个直角三角形全等的条件与判定两个一般三角形全等的条件的异同点，感知直角三角形全等判定也能用已学的判定条件.

激发学生挑战新问题的积极性.

培养学生的分析，作图能力.

让学生表述，培养归纳、表达能力，并能进一步理解“HL”这一条件.

三、运用新知，解决问题

例题　如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC＝BD.求证：

BC＝AD.

结合图形，先分析已知条件和求证.从这些已知条件中，我们能发现什么？

结合所求证的，你又能发现什么？

（留时间让生思考）……

小组展示自己的成果.

教师对学生成果进行分析、引导.

从这道题中可以看到，若已知几个垂直关系，我们可以试着找找Rt△，看看这些Rt△的关系.若能发现全等，那就能得出对应边、对应角相等了.

让学生自己读题、审题，先独自证明，培养学生独自面对困难的勇气和信心.

展示自己的探究成果，获得成功的喜悦.

四、课堂小结，提炼观点

请同学们想一想：

本节课我们学习了哪些知识内容？

你有哪些收获？

五、布置作业，巩固提升

教材第44页第6、7、8题.

【板书设计】

三角形全等的判定（4）

1.直角三角形“HL”判定方法　例题　反思小结

2.三角形全等的几个判定方法　作业

【教学反思】

本节课的教学，主要是让学生在回顾全等三角形判定（除了定义外，已经学了四种方法：

SAS、ASA、AAS、SSS）的基础上，进一步研究特殊的三角形全等的判定方法，让学生充分认识特殊与一般的关系，加深他们对公理的多层次的理解.探索“HL”时，要求学生用文字语言、图形语言、符号语言来表达自己的所思所想，强调从情景中获得数学感悟，注重让学生经历观察、操作、推理的过程.不足的方面：

第一，启发性、激趣性不足，导致学生的学习兴趣不易集中，课堂气氛不能很快达到高潮；第二，在学生的自主探究与合作交流中，时机控制不好，导致部分学生不能有所收获；第三，在评价学生表现时，不够及时，没有让他们获得成功的体验.这些在今后的教学中会争取改进.

12.3　角的平分线的性质

第1课时角的平分线性质

（1）

【教学目标】

1.掌握用尺规作已知角的平分线的方法；理解角的平分线的性质并能初步运用.

2.通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力.

3.充分利用多媒体教学及学生手工操作，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，激发学生学习数学的热情.

【重点难点】

重点：

掌握角平分线的尺规作图，理解角的平分线的性质并能初步运用.

难点：

（1）根据角的平分仪器提炼出角的平分线的尺规画法；

（2）角的平分线的性质的探究.

┃教学过程设计┃

教学过程

设计意图

一、创设情境，导入新课

如图，将一个角的两边对折，再折个直角三角形（以第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得到什么结论？

你能利用所学过的知识，说明你的结论的正确性吗？

体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题.通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论.

二、师生互动，探究新知

问题1：

对这种可以折叠的角能用折叠的方法找到其平分线，对不能折叠的角怎样得到其平分线？

例题　有一个简易平分角的仪器（如图），其中AB＝AD，BC＝DC，将A点放在角的顶点，AB和AD沿角的两边放下，过AC画一条射线AE，AE就是∠BAD的平分线，为什么？

教师重点关注：

（1）学生是否能从简易角平分仪中抽象出两个三角形；

（2）学生能否运用三角形全等的条件证明两个三角形全等，从而说明射线AE是∠B