等比数列前n项和公式的推导与应用.docx

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等比数列前n项和公式的推导与应用

等比数列前n项和公式的推导与应用

说课

师生将共同分析探究等比数列的前n项和公式.公式的推导以教材中的“错位相减法”为最基本的方法，“错位相减法”也是一种算法，其设计的思路是“消除差别”，从而达到化简的目的.

等比数列前n项和公式的推导还有许多方法，可启发、引导学生进行探索.例如，根据等比数列的定义可得

再由分式性质，得

整理得

.

教学中应充分利用信息和多媒体技术，还应给予学生充分的探索空间.

教学重点1.等比数列前n项和公式的推导;

2.等比数列前n项和公式的应用.

教学难点等比数列前n项和公式的推导.

教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等

三维目标

一、知识与技能

1.了解现实生活中存在着大量的等比数列求和的计算问题；

2.探索并掌握等比数列前n项和公式；

3.用方程的思想认识等比数列前n项和公式，利用公式知三求一；

4.体会公式推导过程中的分类讨论和转化化归的思想.

二、过程与方法

1.采用观察、思考、类比、归纳、探究得出结论的方法进行教学；

2.发挥学生的主体作用，作好探究性活动.

三、情感态度与价值观

1.通过生活中有趣的实例，鼓励学生积极思考，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；

2.在探究活动中学会思考，学会解决问题的方法；

3.通过对有关实际问题的解决，体现数学与实际生活的密切联系，激发学生学习的兴趣.

教学过程

导入新课

师国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者.这个故事大家听说过吗？

生知道一些，踊跃发言.

师“请在第一个格子里放上1颗麦粒，第二个格子里放上2颗麦粒，第三个格子里放上4颗麦粒，以此类推.每一个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒的2倍.直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”这就是国际象棋发明者向国王提出的要求.

师假定千粒麦子的质量为40g，按目前世界小麦年度产量约60亿吨计.你认为国王能不能满足他的要求？

生各持己见.动笔，列式，计算.

生能列出式子：

麦粒的总数为

1+2+22+…+263=?

师这是一个什么样的问题？

你们计算出结果了吗？

让我们一起来分析一下.

课件展示：

1+2+22+…+263=?

师我们将各格所放的麦粒数看成是一个数列，那么我们得到的就是一个等比数列.它的首项是1，公比是2，求第1个格子到第64个格子所放的麦粒数总和，就是求这个等比数列的前64项的和.

现在我们来思考一下这个式子的计算方法：

记S=1+2+22+23+…+263，式中有64项，后项与前项的比为公比2，当每一项都乘以2后，中间有62项是对应相等的，作差可以相互抵消.

课件展示：

S=1+2+22+23+…+263,①

2S=2+22+23+…+263+264,②

②-①得

2S-S=264-1.

264-1这个数很大，超过了1.84×1019，假定千粒麦子的质量为40g，那么麦粒的总质量超过了7000亿吨.而目前世界年度小麦产量约60亿吨，因此，国王不能实现他的诺言.

师国王不假思索地给国际象棋发明者一个承诺，导致了一个很不幸的后果的发生，这都是他不具备基本的数学知识所造成的.而避免这个不幸的后果发生的知识，正是我们这节课所要探究的知识.

推进新课

［合作探究］

师在对一般形式推导之前，我们先思考一个特殊的简单情形：

1+q+q2+…+qn=？

师这个式子更突出表现了等比数列的特征，请同学们注意观察.

生观察、独立思考、合作交流、自主探究.

师若将上式左边的每一项乘以公比q，就出现了什么样的结果呢？

生q+q2+…+qn+qn+1.

生每一项就成了它后面相邻的一项.

师对上面的问题的解决有什么帮助吗？

师生共同探索：

如果记Sn=1+q+q2+…+qn,

那么qSn=q+q2+…+qn+qn+1.

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有（1-q）Sn=1-qn.

师提问学生如何处理，适时提醒学生注意q的取值.

生如果q≠1，则有

.

师当然，我们还要考虑一下如果q＝1问题是什么样的结果.

生如果q＝1，那么Sn=n.

师上面我们先思考了一个特殊的简单情形，那么，对于等比数列的一般情形我们怎样思考？

课件展示：

a1+a2+a3+…+an=？

［教师精讲］

师在上面的特殊简单情形解决过程中，蕴含着一个特殊而且重要的处理问题的方法，那就是“错位相减，消除差别”的方法.我们将这种方法简称为“错位相减法”.

师在解决等比数列的一般情形时，我们还可以使用“错位相减法”.

如果记Sn=a1+a2+a3+…+an,

那么qSn=a1q+a2q+a3q+…+anq,

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有（1-q）Sn=a1-anq.

师再次提醒学生注意q的取值.

如果q≠1，则有

.

师上述过程如果我们略加变化一下，还可以得到如下的过程：

如果记Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,

那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,

要想得到Sn，只要将两式相减，就立即有（1-q）Sn=a1-a1qn.

如果q≠1，则有

.

师上述推导过程，只是形式上的不同，其本质没有什么差别，都是用的“错位相减法”.

形式上，前一个出现的是等比数列的五个基本量：

a1,q,an,Sn,n中a1,q,an,Sn四个；后者出现的是a1,q,Sn,n四个，这将为我们今后运用公式求等比数列的前n项的和提供了选择的余地.

值得重视的是：

上述结论都是在“如果q≠1”的前提下得到的.言下之意，就是只有当等比数列的公比q≠1时，我们才能用上述公式.

师现在请同学们想一想，对于等比数列的一般情形，如果q＝1问题是什么样的结果呢？

生独立思考、合作交流.

生如果q＝1，Sn=na1.

师完全正确.

如果q＝1，那么Sn=nan.正确吗？

怎么解释？

生正确.q＝1时，等比数列的各项相等，它的前n项的和等于它的任一项的n倍.

师对了，这就是认清了问题的本质.

师等比数列的前n项和公式的推导还有其他的方法，下面我们一起再来探讨一下：

［合作探究］

思路一：

根据等比数列的定义，我们有：

再由合比定理，则得

即

从而就有（1-q）Sn=a1-anq.

（以下从略）

思路二：

由Sn=a1+a2+a3+…+an得

Sn=a1+a1q+a2q+…+an-1q=a1+q（a1+a2+…+an-1）=a1+q（Sn-an）,

从而得（1-q）Sn=a1-anq.

（以下从略）

师探究中我们们应该发现，Sn-Sn-1=an是一个非常有用的关系，应该引起大家足够的重视.在这个关系式中，n的取值应该满足什么条件？

生n＞1.

师对的，请同学们今后多多关注这个关系式：

Sn-Sn-1=an，n＞1.

师综合上面的探究过程，我们得出：

或者

［例题剖析］

【例题1】求下列等比数列的前8项的和：

（1）

…；

（2）a1=27,a9=

q＜0.

［合作探究］

师生共同分析：

由

（1）所给条件，可得

，

求n＝8时的和，直接用公式即可.

由

（2）所给条件，需要从

中获取求和的条件，才能进一步求n＝8时的和.而a9=a1q8，所以由条件可得q8=

=

，再由q＜0，可得

，将所得的值代入公式就可以了.

生写出解答：

（1）因为

，所以当n＝8时，

.

（2）由a1=27,

，可得

，

又由q＜0，可得

于是当n＝8时，

.

【例题2】某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？

师根据题意，从中发现等比关系，从中抽象出等比数列，并明确这是一个已知Sn=30000求n的问题.

生理解题意，从中发现等比关系，并找出等比数列中的基本量，列式，计算.

解：

根据题意，每年的销售量比上一年增加的百分率相同，所以，从今年起，每年销售量组成一个等比数列{an}，其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000.

于是得到

整理得1.1n=1.6,

两边取对数，得nlg1.1=lg1.6,

用计算器算得

≈

≈5（年）.

答：

大约5年可以使总销售量达到30000台.

练习：

教材第66页，练习第1、2、3题.

课堂小结

本节学习了如下内容：

1.等比数列前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学到了“错位相减法”.

2.等比数列前n项和公式的应用.因为公式涉及到等比数列的基本量中的4个量，一般需要知道其中的3个，才能求出另外一个量.另外应该注意的是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题意所给的条件，适当选择运用哪一个公式.

在使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关重要的一个环节，需要放在第一位来思考.布置作业

课本第69页习题2.5A组第1、2、3题.

板书设计

等比数列前n项和公式的推导与应用

等比数列的前n项和公式

情境问题的推导一般情形的推导例1

练习：

（学生板演）例2

练习：

（学生板演）