全等三角形中结合图形变换的提高题讲解.docx
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全等三角形中结合图形变换的提高题讲解
全等三角形中结合图形变换的提高题
一．请阅读下列材料：
问题：
将一副直角三角板（Rt△ABC和Rt△DEF）如图1所示的方式摆放．其中∠ACB=90°，CA=CB，∠FDE=90°，O是AB的中点，点D与点O重合，DF⊥AC于点M，DE⊥BC于点N．探究线段OM与ON的数量关系．
小聪同学的思路是：
连接OC，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段OM与ON的数量关系；
（2）将这幅直角三角板如图2所示的方式摆放．使点D落在BA的延长线上，DE∥AC，FD的延长线与CA的延长线交于点M，BC的延长线与DE交于点N．点O是AB的中点．连接ON、OM、MN．请你判断线段OM与ON的数量关系和位置关系，并证明你的结论．
二．四边形ABCD是正方形（提示：
正方形四边相等，四个角都是90°）
（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与点B、C重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．
求证：
△ABF≌△DAE；
（2）直接写出
（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系
；
（3）①如图2，若点G是CD边上任意一点（不与点C、D重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，则图中全等三角形是
，线段EF与AF、BF的等量关系是
；
②如图3，若点G是CD延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，线段EF与AF、BF的等量关系是
；
（4）若点G是BC延长线上任意一点，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，请画图、探究线段EF与AF、BF的等量关系．
一．小明、小敏两人一起做数学作业，小敏把题读到如图
（1）所示，CD⊥AB，BE⊥AC时，还没把题读完，就说：
“这题一定是求证∠B=∠C，也太容易了．”她的证法是：
由CD⊥AB，BE⊥AC，得∠ADC=∠AEB=90°，公共角∠DAC=∠BAE，所以△DAC≌△EAB．由全等三角形的对应角相等得∠B=∠C．
小明说：
“小敏你错了，你未弄清本题的条件和结论，即使有CD⊥AB，BE⊥AC，公共角∠DAC=∠BAE，你的推理也是错误的．看我画的图
（2），显然△DAC与△EAB是不全等的．再说本题不是要证明∠B=∠C，而是要证明BE=CD．”
（1）根据小敏所读的题，判断“∠B=∠C”对吗？
她的推理对吗？
若不对，请做出正确的推理．
（2）根据小明说的，要证明BE=CD，必然是小敏丢了题中条件，请你把小敏丢的条件找回来，并根据找出的条件，你做出判断BE=CD的正确推理．
（3）要判断三角形全等，从这个问题中你得到了什么启发？
四定义：
若某个图形可分割为若干个都与他相似的图形，则称这个图形是自相似图形．
探究：
（1）如图甲，已知△ABC中∠C=90°，你能把△ABC分割成2个与它自己相似的小直角三角形吗？
若能，请在图甲中画出分割线，并说明理由．
（2）一般地，“任意三角形都是自相似图形”，只要顺次连接三角形各边中点，则可将原三分割为四个都与它自己相似的小三角形．我们把△DEF（图乙）第一次顺次连接各边中点所进行的分割，称为1阶分割（如图1）；把1阶分割得出的4个三角形再分别顺次连接它的各边中点所进行的分割，称为2阶分割（如图2）…依次规则操作下去．n阶分割后得到的每一个小三角形都是全等三角形（n为正整数），设此时小三角形的面积为Sn．
①若△DEF的面积为1000，当n为何值时，3＜Sn＜4？
（请用计算器进行探索，要求至少写出二次的尝试估算过程）
②当n＞1时，请写出一个反映Sn-1，Sn，Sn+1之间关系的等式（不必证明）
五．请阅读下列材料：
问题：
如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点B、C、E在同一条直线上，M是线段AF的中点，连接DM，MG．探究线段DM与MG数量与位置有何关系．
小聪同学的思路是：
延长DM交GF于H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）直接写出上面问题中线段DM与MG数量与位置有何关系
；
（2）将图1中的正方形CEFG绕点C顺时针旋转，使正方形CEFG对角线CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在
（1）中得到的两个结论是否发生变化？
写出你的猜想并加以证明．
（3）如图3，将正方形CEFG绕点C顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，写出你的猜想．
六在课外小组活动时，小慧拿来一道题（原问题）和小东、小明交流．
原问题：
如图1，已知△ABC，∠ACB=90°，∠ABC=45°，分别以AB、BC为边向外作△ABD与△BCE，且DA=DB，EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，连接DE交AB于点F．探究线段DF与EF的数量关系．
小慧同学的思路是：
过点D作DG⊥AB于G，构造全等三角形，通过推理使问题得解．
小东同学说：
我做过一道类似的题目，不同的是∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60度．
小明同学经过合情推理，提出一个猜想，我们可以把问题推广到一般情况．
请你参考小慧同学的思路，探究并解决这三位同学提出的问题：
（1）写出原问题中DF与EF的数量关系；
（2）如图2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原问题中的其他条件不变，你在
（1）中得到的结论是否发生变化？
请写出你的猜想并加以证明；
3）如图3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC，原问题中的其他条件不变，你在
（1）中得到的结论是否发生变化？
请写出你的猜想并加以证明。
七．阅读下列材料：
问题：
如图1，在菱形ABCD和菱形BEFG中，∠ABC=∠BEF=60°，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC，探究PG与PC的位置关系
小颖同学的思路是：
延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小颖同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）请你写出上面问题中线段PG与PC的位置关系；
（2）将图1中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD的边AB在同一条直线上，原问题申的其他条件不变（如图2）．你在
（1）中得到的结论是否发生变化？
写出你的猜想并加以证明，
八．四边形ABCD是正方形．
（1）如图1，点G是BC边上任意一点（不与B、C两点重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证：
△ABF≌△DAE；
（2）在
（1）中，线段EF与AF、BF的等量关系是
（直接写出结论即可，不需要证明）；
（3）如图2，点G是CD边上任意一点（不与C、D两点重合），连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．那么图中全等三角形是
，线段EF与AF、BF的等量关系是
（直接写出结论即
可，不需要证明）．
九．把两个大小不同的等腰直角三角形三角板按照一定的规则放置：
“在同一平面内将直角顶点叠合”．
（1）图1是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，B、C、D在同一条直线上，连接EC．请找出图中的全等三角形（结论中不含未标识的字母），并说明理由；
（2）图2也是一种放置位置及由它抽象出的几何图形，A、C、D在同一条直线上，连接BD、连接EC并延长与BD交于点F．请找出线段BD和EC的位置关系，并说明理由；
（3）请你：
①画出一个符合放置规则且不同于图1和图2所放位置的几何图形；
②写出你所画几何图形中线段BD和EC的位置和数量关系；
③上面第②题中的结论在按照规则放置所抽象出的几何图形中都存在吗？
十．【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：
如图1，△ABC中，若AB=8，AC=6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：
延长AD到点E，使DE=AD，请根据小明的方法思考：
（1）由已知和作图能得到△ADC≌△EDB的理由是
．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
（2）求得AD的取值范围是
．
A．6＜AD＜8 B．6≤AD≤8 C．1＜AD＜7 D．1≤AD≤7
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
（3）如图2，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF． 求证：
AC=BF．
十一。
阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图
（1），等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=
，由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌
这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数．
（2）请你利用第
（1）题的解答思想方法，解答下面问题：
已知如图
（2），△ABC中，∠CAB=90°，AB=ACE、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：
EF2=BE2+FC2．
十二。
．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）①写出图1中的一对全等三角形；②写出图1中线段DE、AD、BE所具有的等量关系；（不必说明理由）
（2）当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，请说明DE=AD-BE的理由；
（3）当直线MN绕点C旋转到图3的位置时，试问DE、AD、BE又具有怎样的等量关系？
请直接写出这个等量关系（不必说明理由）．
十三。
如图，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，∠DEF=90°，DE=EF=4．
（1）移动△DEF，使边DE与AB重合（如图1），再将△DEF沿AB所在直线向左平移，使点F落在AC上（如图2），求BE的长；
（2）将图2中的△DEF绕点A顺时针旋转，使点F落在BC上，连接AF（如图3）．请找出图中的全等三角形，并说明它们全等的理由．（不再添加辅助线，不再标注其它字母）
十四.复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：
“如下图①，已知在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使得∠QAP=∠BAC，连接BQ、CP，则BQ=CP．”
（1）小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图①的分析，证明了△ABQ≌△ACP，从而证得BQ=CP．请你帮小亮完成证明．
（2）之后，小亮又将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中的条件不变，“BQ=CP”仍然成立吗？
若成立，请你就图②给出证明．若不成立，请说明理由．
十五问题：
如图，在正方形ABCD和正方形BEFG中，点A，B，E在同一条直线上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．试探究PG与PC的位置关系及
PG
PC
的值．小聪同学的思路是：
延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及
PG
PC
的值；（要有具体过程）
（2）若将条件“正方形ABCD和正方形BEFG”改为“矩形ABCD≌矩形BEFG”其它条件不变，画图试探求线段PG与PC的关系．
十六已知：
如图，矩形纸片ABCD的边AD=3，CD=2，点P是边CD上的一个动点（不与点C重合，把这张矩形纸片折叠，使点B落在点P的位置上，折痕交边AD于点M，折痕交边BC于点N．
（1）写出图中的全等三角形．设CP=x，AM=y，写出y与x的函数关系式；
（2）试判断∠BMP是否可能等于90°．如果可能，请求出此时CP的长；如果不可能，请说明理由。
十七。
如图，矩形ABCD沿直线MN折叠，使点D落在点B处，点E、F分别是边AD、BC与MN的交点，Q是MM与对角线BD的交点，P是对角线BD上任意一点，PH⊥BE于H，PG⊥AD于G．
（1）不添加辅助线，找出图中的全等三角形；（至少找出两组，不要求证明）
（2）请你猜想PH、PG、AB它们之间有什么关系？
并证明你的结论．
十八。
两个全等的Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，其中∠A=60°，∠ACB=∠DFE=90°且AC=1．固定△ABC不动，将△DEF作如下操作：
（1）如图1，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的面积会变吗？
若不变请求出其面积；
（2）如图2，当D点移到AB中点时，连接DC、CF、FB，BC与DF相交于点O．除Rt△ABC≌Rt△DEF外，请找出图中其他所有全等三角形，不必写理由；
（3）如图3，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，求：
sin∠α的值．
答案
一全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
分析：
（1）连接OC，证△CON和△CMO全等即可；
（2）连接OC，证△CNM≌△DMN，推出CN=DM=AM，证△NCO≌△MAO即可．
解答：
解：
（1）OM=ON；
（2）OM=ON，OM⊥ON，
证明：
连接OC．
∵AC=BC，O是AB中点，∠ACB=90°，
∴OA=OB，CO⊥AB，∠ACO=∠BCO=45°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠CAB=∠ACO，∠B=∠BCO，
∴OC=OA=OB，
∴∠MAO=∠NCO=135°，
∵DE∥MC，∠FDE=90°，
∴∠DMC=∠FDE=90°，∠DNM=∠NMC．
∵∠CAB=∠DAM=45°，
∴∠MDA=∠DAM=45°．
∴DM=AM，
∵DE∥MC，
∴∠CMN=∠DNM，
∵在△DMN和△CNM中
∠NDM＝∠NCM
∠DNM＝∠CMN
MN＝MN
，
∴△DMN≌△CNM（AAS），
∴CN=DM=AM，
∴DM=NC．
即∠CNO=∠ODM=45°，CN=DM，∠NCO=∠MAO=135°，
∵OC=OA，
∴△AMO≌△CNO（SAS），
∴OM=ON，∠MOA=∠NOC，
∵∠NOC+∠NOA=90°，
∴∠MOA+∠NOA=90°．
∴OM⊥ON．
点评：
本题考查了全等三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，三角形的外角性质等知识点的综合运用，题目综合性比较强，有一定的难度．
二全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
分析：
（1）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可；
（2）根据全等得出AE=BF，代入即可求出答案；
（3）①△ABF≌△DAE，EF=BF-AF，证法与
（1）
（2）类似；②EF=AF+BF，证明过程类似；
（4）根据正方形性质得出AB=AD，∠DAB=90°，根据垂直定义得出∠AED=∠AFB=90°，求出∠ADE=∠BAF，根据AAS证出两三角形全等即可
解答：
（1）证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
∠ADE＝∠BAF
∠AED＝∠AFB
AB＝AD
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
（2）
解：
线段EF与AF、BF的等量关系是EF=AF-BF，
理由是：
∵由
（1）知：
△ABF≌△DAE，
∴BF=AE，
∴EF=AF-AE=AF-BF，
故答案为：
EF=AF-BF；
（3）①解：
△ABF≌△DAE，EF=BF-AF，
理由是：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAE=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
∠ADE＝∠BAF
∠AED＝∠AFB
AB＝AD
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE=BF，
∴EF=AE-AF=BF-AF，
故答案为：
△ABF≌△DAE，EF=BF-AF；
②解：
EF=AF+BF，
理由是：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠DAB=90°，
∴∠DAE+∠BAF=180°-90°=90°，
∵DE⊥AG，BF⊥AG，
∴∠AED=∠AFB=90°，
∴∠EAD+∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠BAF，
∵在△ABF和△DAE中
∠ADE＝∠BAF
∠AED＝∠AFB
AB＝AD
，
∴△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE=BF，
∴EF=AE+AF=AF+BF，
故答案为：
EF=AF+BF；
（4）解：
与以上证法类似：
△ABF≌△DAE（AAS）；
∴AE=BF，
∴EF=AE-AF=AF-BF；
即EF=AF-BF．
点评：
本题考查了全等三角形的性质和判定，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目，证明过程类似
三直角三角形全等的判定．
专题：
阅读型．
分析：
明显小敏的推理不正确，因为在判定三角形全等的过程中没有边的参与．要判定两个三角形全等，必须有边的参与．
解答：
解：
（1）小敏的推理不正确．因为仅凭两个角不能判定两三角形全等．
（2）条件为AB=AC或AE=AD．
证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC；
∴∠ADC=∠AEB=90°；
∵公共角∠DAC=∠BAE，AB=AC；
∴△DAC≌△EAB（AAS）
∴BE=CD（全等三角形的对应边相等）．
（3）要判断两个三角形全等，不可缺少的元素是边，至少要有一组对应边相等．
点评：
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：
AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角
四．相似三角形的判定与性质．
专题：
规律型．
分析：
（1）过直角顶点作斜边的垂线即可得出两个与原直角三角形相似的三角形．由于这两个三角形都与原三角形共用一个锐角，又都有一个直角，因此有两个对应角相等，因此都与原三角形相似．
（2）由图可知，每分割一次得到的图形的小三角形的个数都是前面一个图形中小三角形的个数的4倍，因此当第n个图时，如果设原三角形的面积为S，那么小三角形的面积应该是Sn=
S
4n
，
①按所求的公式进行计算，看n是多少时Sn的值在3和4之间．
②Sn=
S
4n
=
S
22n
，Sn-1=
S
4n−1
=
S
22n−2
，Sn+1=
S
4n+1
=
S
22n+2
，由此可看出Sn2=Sn-1•Sn+1
解答：
解：
（1）正确画出分割线CD
（如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，CD即是满足要求的分割线．）
理由：
∵∠B=∠B，∠CDB=∠ACB=90°
∴△BCD∽△ACB；
（2）①△DEF 经N阶分割所得的小三角形的个数为
1
4n
Sn=
1000
4n
当 n=3时，S3=
1000
S3
≈15.62
当 n=4时，S4=
1000
S4
≈3.91
∴当 n=4时，3＜S4＜4
②∵Sn=
S
4n
=
S
22n
，Sn-1=
S
4n−1
=
S
22n−2
，Sn+1=
S
4n+1
=
S
22n+2
∴S
2
n
=Sn-1×Sn+1，Sn-1=4Sn+1．
点评：
本题考查的是相似形的识别，关键要联系实际，根据相似图形的定义得出．要根据前面几个简单图形得出一般化规律，然后用得出的规律来求解．
五旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
专题：
几何综合题．
分析：
（1）根据两直线平行，内错角相等可得∠DAM=∠HFM，然后利用“角边角”证明△ADM和△FHM全等，根据全等三角形对应边相等可得DM=HM，AD=FH，再求出GD=GH，然后根据等腰直角三角形的性质解答；
（2）延长DM交CF于H，连接GD，GH，同
（1）可得DM=HM，AD=FH，再利用“边角边”证明△CDG和△FHG全等，根据全等三角形对应边相等可得GD=GH，∠CGD=∠FGH，然后根据等腰直角三角形的性质解答；
（3）过点F作FH∥AD交DM的延长线于H，交DC的延长线于N，同
（1）可得DM=HM，AD=FH，根据等角的余角相等求出∠DCG=∠HFG，然后利用“边角边”证明△CDG和△FHG全等，根据全等三角形对应边相等可得GD=GH，然后根据等腰直角三角形的性质解答．
解答：
（1）解：
如图1，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD∥BC∥GF，
∴∠DAM=∠HFM，
∵M是线段AF的中点，
∴AM=FM，
在△ADM和△FHM中，
∠DAM＝∠HFM
AM＝FM
∠AMD＝∠FMH
，
∴△ADM≌△FHM（ASA），
∴DM=HM，AD=FH，
∵GD=CG-CD，GH=GF-FH，AD=CD，CG=GF，
∴GD=GH，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；
（2）如图2，延长DM交CF于H，连接GD，GH，
同
（1）可得DM=HM，AD=FH，
∵CF恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上，
∴∠DCG=90°-45°=45°，
∠HFG=45°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，
CD＝FH
∠DCG＝∠HFG
CG＝FG
，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG；
（3）如图3，过点F作FH∥AD交DM的延长线于H，交DC的延长线于N，
同
（1）可得DM=HM，AD=FH，
易得∠NCE=∠EFN，
∵∠DCG+∠NCE=180°-90°=90°，
∠HFG+∠EFN=90°，
∴∠DCG=∠HFG，
在△CDG和△FHG中，
CD＝FH
∠DCG＝∠HFG
CG＝FG
，
∴△CDG≌△FHG（SAS），
∴GD=GH，∠CGD=∠FGH，
∴∠DGH=∠CGD+∠CGH=∠FGH+∠CGH=∠CGF=90°，
∴△DGH是等腰直角三角形，
∴DM=MG且DM⊥MG．
点评：
本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，在正方形中证明三角形全等，并运用全等的性质解题是中考的热点，本题作辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．
六．全等三角形的判定与性质．
专题：
压轴题；阅读型．
分析：
本题的解题思路是通
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