立体几何证明方法汇总.docx
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立体几何证明方法汇总
①中位线定理
例题：
已知如图：
平行四边形ABCD中，BC=6，正方形ADEF
所在平面与平面ABCD垂直，G,H分别是DF,BE的中点.
（1）求证：
GH//平面CDE;
（2）若CD=2,DB，求四棱锥F-ABCD的体积.
练习：
1、如下图所示：
在直三棱柱
ABC-ABC中，AC=3
BC=4AB=5AA=4，点D是AB的中点。
求证：
AC//平面CDB;
2.如图，ABCD-AiBiCiDi是正四棱柱侧棱长为1,底面边长为2,E是棱BC的中点。
（1）求证：
BDi//平面CQE;
（2）求三棱锥D-D1BC的体积.
3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD_底面ABCD,PD=4,DC=3,E是PC的
中点。
（1）证明：
PA//平面BDE；
（2）求PAD以PA为轴旋转所围成的几何体体积。
例2、如图，在矩形ABCD中，AB=2BC,P,Q分别为线段AB,CD的中点，EP丄平面ABCD.求证：
AQ//
平面CEP；（利用平行四边形）
E
练习：
①如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面,
E、F分别是AB、PD的中点。
求证：
AF//平面PCE;p
2
如图，已知P是矩形ABCD所在平面外一点，PD_平面ABCD,MN分别是ABPC中点。
求证:
MNII平面PAD
④、已知正方体ABCD-A1B1C1D1，0是底ABCD对角线的交点•求证：
Cl°〃面ABlDl.
练习：
如图，四边形ABCD为正方形，EA_平面ABCD,EF//AB,AB=4,AE=2,EF=1.（n）若点M在线段AC
1
上，且满足CMCA,求证：
EM//平面FBC;
4
④面面平行-线面平行
证：
平面ABE//平面CDF
（II）求证：
AE//平面DCF;（利用面面平行-线面平行）
3、如图所示，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD一CD,AB//CD,CD=2AB=2AD.在EC上
找一点M,使得BM//平面ADEF，请确定M点的位置，并给出证明.
4、（2012山东文）如图，几何体E-ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，CB二CD,EC_BD.
（I）求证：
BE=DE；
（n）若/BCD=120,M为线段AE的中点,
求证：
DM//平面BEC.
例题：
如图，已知四棱锥P-ABCD。
若底面ABCD为平行四边形，E为PC的中点，在DE上取点F,过AP和点F的平面与平面BDE的交线为FG，求证：
AP//FG。
证明：
连AC与BD,设交点为0,连0E
练习：
1、如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形,
.BAD=60，N是PB中点，过A、N、D三点的平面交PC于M.求证：
AD//MN;
2、（2012浙江高考）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-AiBiCiDi中，AD//BC，AD丄AB，AB=-、2。
AD=2，BC=4,AAi=2，E是DDi的中点，F是平面B1C1E与直线AAi的交点。
（1）证明：
EF//AiDi；
求证：
平面D1EF//平面BDG.
（1）EG//平面BBDD;
（2）平面BDF//平面BDH
例题:
已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别是CqR和D1A|上的点，点P在正方体外，平面PEF与正方体
①菱形的对角线互相垂直：
求证:
例题。
已知E,F分别是正方形ABCD边AD,AB的中点，EF交AC于M,GC垂直于ABCD所在平面。
EF丄平面GMC.
练习：
1、在三棱锥A-BCD中，AB=AC,BD=DC,求证：
BC_AD
3圆的直径所对的圆周角为直角
例题3、如图AB是圆0的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，PA_平面ABC，
（1）图中共有多少个直角
三角形？
（2）若AH_PC，且AH与PC交于H，求证：
AH_平面PBC.
4利用勾股定理
例4、在长方体ABCD-AiBiCiDi中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱
AAj=2，E是侧棱BB1的中点。
求证：
AE_平面A1D1E；证明：
；ABCD-A1B1C1D1为长方体，
练习：
如图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形，
PA—CD,PA=1,PD八.2，求证：
（1）PA_平面ABCD
（2）求四棱锥P-ABCD的体积.
C
D
⑤间接法，用线面垂直的性质定理（l_b,b=：
£,l_b）
例题：
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，.DAB=60,
AB=2AD,PD_底面ABCD，证明：
PA_BD;
练习1如图，在直三棱柱ABC-A3G中，AC=3，BC=4,AB=5，AA|=4,
点D是AB的中点。
（I）求证：
AC_BG；
练习2：
如图，四边形ABCD为矩形，BC_平面ABE,F为CE上的
练习1如图，棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，_RB
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2、如图，在直三棱柱ABC-ABG中，EF分别是A1B、A1C的中点，点D在BQ上，AQ丄BQ
、。
求证：
（1）EF//平面ABC
（2）平面AFD丄平面BB1C1C.
3、如图，ABCD是正方形，S从平面ABCDBK^SC于K，连结DK，求证
（1）平面SBCL平面KBD
例1:
如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD丄底面ABCD，侧棱PA=PD,O为AD中点.，求证：
P0丄平面ABCD;
BG_平面PAD;
例2:
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是.DAB-60°且边长为a的菱形，侧面PAD是等边三角形，且
平面PAD垂直于底面ABCD.
（1）
若G为AD的中点，求证:
（2）求证：
AD_PB;
练习：
1、如图AB是圆0的直径，C是圆周上异于A、B的任意一点，PA—平面ABC，
（1）图中共有多少个直角
三角形？
（2）若AH—PC，且AH与PC交于H，求证：
平面PAC—平面PBC.（3）AH—平面PBC
P为半圆周上异于A，B两点的任
2、在四棱锥P-ABCD中，平面PAD丄平面ABCD,AB=AD，/BAD=60°,E、F分别是AP、AD的中点.求证：
平面BEF丄平面PAD
3、如图，正方形ABCD所在平面与以AB为直径的半圆0所在平面ABEF互相垂直,
点，求证：
Oi直线AP!
平面PBC②平面PBCL平面APC
5、如图，AB,C，D为空间四点•在△ABC中,
AB=2,AC二BC=\2.等边三角形ADB以AB为轴运动.（I）当
ADB_平面ABC时，求CD；
练习1：
三棱锥P-ABC中，厶PAC和PBC都是边长为.2的等边三角形，AB=2，0、D分别是ABPB
的中点.
（1）求证：
0D//平面PAC
（2）求证：
平面PAB丄平面ABC;
（3）求三棱锥A-PBC的体积.
2、如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB二AR=1,AD=2,E是BC的中点.
（I）求证：
平面A^E_平面D1DE;（II）求三棱锥A1DE的体积.
Bi
Ai
Di
B
D
3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PD垂直于底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，DC〃AB,.BAD=90°,且
AB=2AD=2DC=2PD=4（单位：
cm），E为PA的中点。
（1）如图，若主视方向与AD平行，请
作出该几何体的左视图并求出左视图面积:
（2）证明：
DE//平面PBC;
4、已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形.已知D是这个
几何体的棱AG上的中点。
（I）求出该几何体的体积；（33）
（H）求证：
直线BC,//平面AB,D:
（川）求证：
平面AB,D_平面AA,D.
5、已知某个几何体的三视图如图（主视图的弧线是半圆），根据图中标出的数据，
（I）求这个组合体的体积；（H）若组合体的底部几何体记为ABC^AB1C1D1，其中A1B1BA为正方形.（i）求
证：
A1B_平面AB1C1D；（ii）求证：
P为棱A1B1上一点，求APPC1的最小值.
六:
等体积法求高（距离）：
h
例题（2010广东文数）如图，弧AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为弧AC的中点，点B和点C为线段AD的三
等分点，平面AEC外一点F满足FC_平面BED,FB=.5a
（1）证明：
EB_FD
（2）求点B到平面FED的距离.
练习1:
已知ABC-A1B1C1是正三棱柱，棱长均为,5,E、F分别是ACA1C1的中点,
（1）求证：
平面AB,F//平面BEC
（2）求点A到平面BEC,间的距离
ABCD是菱形，边长为2,.BCD=60，经过AC
作与PD平行的平面交PB与点E,ABCD的两对角线交点为F.（I）求证:
点D到平面PBC的距离.
3、如图4,在四棱锥P-ABCD中，平面PAD_平面ABCD,AB//DC,
△PAD是等边三角形，已知BD=2AD=4,AB=2DC=25.
（1）求证：
BD_平面PAD;
（2）求三棱锥A-PCD的体积.
4.如图，己知BCD中，BCD=90°,BC=CD=1,AB_平面BCD,
ADB=60°,E,F分别是AC,AD上的动点，且圧=圧=，,（0<•<1）ACAD
AC_DE;（n）若EF「3，求
（1）求证：
不论'为何值，总有EF_平面ABC;
1
⑵若=2,求三棱锥A-BEF的体积•
5、（2012广东文数）如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，AB_平面PAD,AB//CD,PD二AD,E是PB中点,
1
F是DC上的点，且DFAB,PH为PAD中AD边上的高。
2
（1）证明：
PH—平面ABCD；
（2）若PH=1,AD=2,FC=1，求三棱锥E-BCF的体积；
（3）证明：
EF_平面PAB•
6、（2012佛山一模）如图，三棱锥P-ABC中，PB_底面ABC,
BCA=90*,PB二BC二CA=4,E为PC的中点，
M为AB的中点，点F在PA上，且AF=2FP.
（1）求证：
BE_平面PAC;
（2）求证：
CM//平面BEF;
（3）求三棱锥F-ABE的体积•
7、如图所示四棱锥P-ABCD中，PA_底面ABCD,四边形ABCD中，AB_AD,BC//AD,PA二AB二BC=2,AD=4,E为PD的中点，F为PC中点•
（1）求四棱锥P-ABCC的体积；
（2）求证：
CD_平面PAC；
（3）在棱PC上是否存在点M（异于点C）,使得BM//平面PAD
若存在，求卩'『的值，若不存在，说明理由。
；
PC
8（惠州市2013）
A1
如图,在三棱柱ABC-AEG中，侧棱AA_底面ABC,
AB_BC,D为AC的中点，AA=AB=2,BC=3.
（1）求证：
AB,//平面BC,D；
（2）求四棱锥B-AAiGD的体积.
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