上海市闵行区高考二模数学文科试题_精品文档.doc
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闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试
数学试卷（文科）
本试卷共有23道题，共4页．满分150分，考试时间120分钟．
一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸上相应编号的空格
内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．不等式的解是．
2．计算．
3．在等差数列中，，，则．
4．已知复数（为虚数单位），则．
5．已知两条直线：
，：
．若的一个法向量恰为
的一个方向向量，则．
开始
输入a，b，c
是
否
结束
b¬c
输出a
是
否
a¬b
b¬c
a¬b
6．函数的最小值为．
7．二项式的展开式的各项系数的和为，所有二项式系数的和为，则的值为．
8．如右图，若输入的，则执行该程序框图所得的结果是．
9．已知大小、形状、颜色完全相同的（）个乒乓球中有个是次品，从中随机抽取个加以检验，若至少抽到个次品的概率是，则至多抽到个次品的概率是（用含的式子表示）．
10．已知实数满足，则的最小值是．
11．设为双曲线虚轴的一个端点，为双曲线上的一个动点，则的最小值为．
12．已知曲线：
与直线相交于点，则的值为．
13．问题“求不等式的解”有如下的思路：
不等式可变为，考察函数可知，函数在上单调递减，且，∴原不等式的解是.
仿照此解法可得到不等式：
的解是．
14．若，，,则… =．
二.选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知向量都是非零向量，“”是“”的[答]（）
（A）充分非必要条件．（B）必要非充分条件．
（C）充要条件．（D）既非充分也非必要条件．
16．将的图像向右平移个单位，即得到的图像,则[答]（）
（A）．（B）．
E
F
G
H
（C）．（D）．
17．如图几何体由前向后方向的正投影面是平面EFGH，
则该几何体的主视图是[答]（）
（C）
（B）
（A）
（D）
18．方程的曲线即为函数的图像，对于函数，有如下结论：
①在上单调递减；②函数不存在零点；③函数的值域是；④若函数和的图像关于原点对称，则由方程确定．其中所有正确的命题序号是[答]（）
（A）①③．（B）①④．（C）①③④．（D）①②③．
三. 解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19.（本题满分12分）
已知（其中，是虚数单位）的模不大于，和，若利用构造一个命题“若，则”，试判断该命题及其逆命题的真假，并说明理由.
20.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．
E
D
B
C
A
P
如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，是的中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线和所成的角（结果
用反三角函数值表示）.
21.（本题满分14分）本题共有2个小题，每小题满分各7分．
如图，两铁路线垂直相交于站A，若已知AB=100千米，甲火车从A站出发，沿AC方向以50千米/小时的速度行驶，同时乙火车从B站出发，沿BA方向以千米/小时的速度行驶，至A站即停止前行（甲车仍继续行驶）（两车的车长忽略不计）.
A
B
C
（1）求甲、乙两车的最近距离（用含的式子表示）；
（2）若甲、乙两车开始行驶到甲，乙两车相距最近时所用时间为
小时，问为何值时最大？
22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第
（1）小题满分4分，第
（2）小题满分6分，第（3）小题满分6分．
已知椭圆的两焦点分别为，是椭圆在第一象限内的一点，并满足，过作倾斜角互补的两条直线分别交椭圆于两点.
（1）求点坐标；
（2）当直线经过点时，求直线的方程；（3）求证直线的斜率为定值.
23.（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．
Bn+1
Bn
B2
B1
An+1
An
A2
A1
O
y
x
如图，在轴的正半轴上依次有点，其中点、，且，在射线上依次有点,点的坐标为（3，3），且.
（1）求（用含的式子表示）；
（2）求点、的坐标（用含的式子表示）；
（3）设四边形面积为，问中是否存在两项，，使得，，成等差数列？
若存在，求出所有这样的两项，若不存在，请说明理由.
闵行区2011学年第二学期高三年级质量调研考试数学试卷
参考答案与评分标准
一、（第1题至第14题）1．；2．；3．23；4．；
5．；6．；7．文16，理4；8．（或）；
9．文，理；10．文，理；11．文，理；12．9；
13．文，理或；14．．
二、（第15题至第18题）15．A；16．C；17．D；18．D．
三、（第19题至第23题）19.解：
由得，（4分）
由得，（8分）
由，即，但，∴命题“若则”是假命题（10分）
E
D
B
C
A
P
而其逆命题“若则”是真命题.（12分）
20.[解]（文）
（1）依题意，平面，底面是矩形，高，,（2分）
∴（4分）
故.（7分）
（2）∵,所以或其补角为异面直线和所成的角，（2分）
又∵平面，∴，又，∴，∴,
于是在中，，，（4分）
，（6分）[来源:
学|科|网Z|X|X|K]
∴异面直线和所成的角是（或）.（7分）
F
E
D
B
C
A
P
x
y
z
（理）
（1）解法一：
分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，依题意，，则各点坐标分别是
，，，，
，∴，，,
又∵平面，
∴平面的法向量为，（2分）
设直线与平面所成的角为，则[来源:
学#科#网]
（6分）
∴直线与平面所成的角为.（7分）
F
E
D
B
C
A
P
H
G
解法二：
∵平面，∴，又,∴平面，取中点，中点，联结，则且，是平行四边形，∴即为直线与平面所成的角.（2分）
在中，，
在中，，（6分）
∴直线与平面所成的角为.（7分）
（2）解法一：
由
（1）解法一的建系得，,，设平面的法向量为，点到平面的距离为，由，得且，取得，∴，（2分）
又，∴,（4分）[来源:
Z。
xx。
k.Com]
∴.（7分）
解法二：
易证即为三棱锥底面上的高，且，（2分）
底面边上的高等于，且，∴（4分）
.（7分）
解法三：
依题意，平面，∴（4分）
.（7分）
21.[解]
（1）设两车距离为，则
（3分）
，∴当时，
即两车的最近距离是千米；（7分）
（2）当两车相距最近时，，（3分）
此时千米/小时.（5分）
即当车速千米/小时，两车相距最近所用时间最大，最大值是小时.（7分）[来源:
学科网ZXXK]
22.[解]
（1）由题可得，，设则，，∴，（1分）∵点在曲线上，则，（2分）解得点的坐标为.（4分）
（2）当直线经过点时，则的斜率为，因两条直线的倾斜角互补，故的斜率为，
由得，[来源:
学.科.网]
即，故，（2分）同理得，（4分）
∴直线的方程为（6分）
（3）依题意，直线的斜率必存在，不妨设的方程为：
.由得
，（2分）设，则
，，同理，
则，同理.（4分）
所以：
的斜率为定值.（6分）
23.[解]
（1），（2分）
（4分）
（2）由
（1）的结论可得
（2分）
的坐标，（3分）
（）且
是以为首项，为公差的等差数列（5分）
的坐标为.（6分）
（3）（文）连接，设四边形的面积为，
则
（2分）
由，，成等差数列，
即，①（4分）
∵，∴是单调递减数列.
当时，，①式右边小于0，矛盾，（6分）
当时，得，易知是唯一解，∴，，成等差数列.
即当时，中不存在，，三项成等差数列.
综上所述，在数列中，有且仅有，，成等差数列.（8分）
（理）连接，设四边形的面积为，则
（2分）
不妨设成等差数列，
又是单调递减数列.是等差中项，即，∴，即
1）当,时，得,是唯一解，∴，，成等差数列（4分）
2）当，时，即，①∵，∴是单调递减数列.当时，，①式右边小于0，矛盾，（6分）
3）当时，不可能成立.
∵，∴数列是递减数列，
当时，，由（）知，
∴（当且仅当时等号成立）
∴对任意（）恒成立，
即当时，中不存在不同的三项恰好成等差数列.
综上所述，在数列中，有且仅有成等差数列.（8分）
8
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