江苏高考数学理大一轮复习检测专题六 导数及其应用1.docx

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江苏高考数学理大一轮复习检测专题六导数及其应用1

专题六　导数及其应用

（1）

一、填空题

考向一　导数的概念及其运算

1.（2018·南通、泰州一模）若曲线y=xlnx在x=1与x=t处的切线互相垂直,则实数t的值为　　　　. 

2.（2017·启东中学高三月考）若曲线y=alnx与曲线y=在它们的公共点P（s,t）处具有公切线,则=　　　　. 

3.（2016·苏州暑假测试）已知函数f（x）=x-1+,若直线l:

y=kx-1与曲线y=f（x）相切,则实数k=　　　　. 

4.（2017·高考冲刺卷）已知曲线f（x）=x+e2x-m在x=0处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为,则实数m的值为　　　　. 

考向二　利用导数研究函数的性质

5.（2018·南京、盐城一模）设函数y=ex+-a的值域为A,若A⊆[0,+∞）,则实数a的取值范围是　　　　. 

6.（2017·南通、泰州、扬州三模）若直线y=2x+b为曲线y=ex+x的一条切线,则实数b的值是　　　　. 

7.（2016·四川卷改）若实数a为函数f（x）=x3-12x的极小值点,则a=　　　　. 

8.（2017·江苏高考冲刺卷）已知函数f（x）的定义域是（0,+∞）,f'（x）是f（x）的导数,且满足f（x）>f'（x）,则不等式ex+2·f（x2-x）>·f

（2）的解集是　　　　. 

9.（2016·全国卷Ⅰ改编）若函数f（x）=x-sin2x+asinx在（-∞,+∞）上单调递增,则实数a的取值范围是　　　　. 

考向三　导数的综合应用

10.（2017·启东中学高三月考）设函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f（x0）<0,则a的取值范围是　　　　. 

11.（2016·南通、扬州、泰州、淮安三调）已知两曲线f（x）=cosx,g（x）=sinx,x∈交于点A.若两曲线在点A处的切线分别与x轴交于B,C两点,则线段BC的长为　　　　. 

12.（2018·镇江一模）已知函数f（x）=x2-kx+4,对任意x∈[1,3],不等式f（x）≥0恒成立,则实数k的最大值为　　　　. 

13.（2017·南京模拟）设函数f（x）与g（x）是定义在同一区间[a,b]上的两个函数,若对任意的x∈[a,b],都有|f（x）-g（x）|≤1,则称f（x）与g（x）在[a,b]上是“比邻函数”.若函数f（x）=lnx与g（x）=在上是“比邻函数”,则实数m的取值范围为　　　　. 

14.（2016·常州期末）已知函数f（x）=若不等式f（x）≥kx对任意的x∈R恒成立,则实数k的取值范围是　　　　. 

二、解答题

15.（2017·北京卷）已知函数f（x）=excosx-x.

（1）求曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程;

（2）求函数f（x）在上的最大值和最小值.

16.（2017·苏州、无锡、常州、镇江二模）已知函数f（x）=（x+1）lnx-ax+a（a为正实数,且为常数）.

（1）若f（x）在（0,+∞）上单调递减,求a的取值范围;

（2）若不等式（x-1）f（x）≥0恒成立,求a的取值范围.

17.（2016·徐州、连云港、宿迁三检）经市场调查,某商品每吨的价格为x（10）;月需求量为y2万吨,y2=-x2-x+1.当该商品的需求量大于供给量时,销售量等于供给量;当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求量.该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积.

（1）若a=,问:

商品的价格为多少时,该商品的月销量额最大?

（2）记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格.若该商品的均衡价格不低于每吨6百元,求实数a的取值范围.

18.（2018·南京期初）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务,每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成,每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置.现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置.设加工甲型装置的工人有x人,他们加工完甲型装置所需时间为t1小时,其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时.设f（x）=t1+t2.

（1）求f（x）的解析式,并写出其定义域;

（2）当x等于多少时,f（x）取得最小值?

19.（2017·安徽省示范高中二模）已知函数f（x）=2lnx+mx2-（2m+1）x.

（1）若x=1是f（x）的极值点,求f（x）的极值;

（2）若f（x）有两个极值点,求实数m的取值范围.

20.（2017·启东中学高三月考）已知函数f（x）=x2,g（x）=alnx.

（1）若曲线y=f（x）-g（x）在x=1处的切线方程为6x-2y-5=0,求实数a的值;

（2）设h（x）=f（x）+g（x）,若对任意两个不相等的正数x1,x2,都有>2恒成立,求实数a的取值范围;

（3）若在[1,e]上存在一点x0,使得f'（x0）+

专题六　导数及其应用

（1）

1.e-2　【解析】因为y=f（x）=xlnx,所以f'（x）=lnx+1,则f'

（1）=1,f'（t）=lnt+1.因为两条切线互相垂直,所以（lnt+1）·1=-1,解得t=e-2.

2.　【解析】曲线y=alnx的导函数为y'=,在P（s,t）处的斜率为k1=.曲线y=的导函数为y'=,在P（s,t）处的斜率为k2=.

由曲线y=alnx与曲线y=在它们的公共点P（s,t）处具有公切线,可得=,且t==alns,s>0,所以lns=,所以s2=e,所以t=,s=,即=.

3.1-e　【解析】设切点为（x0,y0）.因为f'（x）=1-,f'（x0）=k,所以1-=k,且kx0-1=x0-1+,所以x0=-1,所以k=1-=1-e.

4.0或2　【解析】因为f（x）=x+e2x-m,所以f'（x）=1+2e2x,f'（0）=3=k,又f（0）=1-m,所以f（x）在x=0处的切线方程为y=3x+1-m.当x=0时,y=1-m,当y=0时,x=,所以切线与坐标轴围成的三角形的面积为（1-m）2=,得m=0或m=2.

5.（-∞,2]　【解析】因为ex>0,所以y=ex+-a≥2-a=2-a,当且仅当ex=,即x=0时取等号.又因为A=[2-a,+∞）⊆[0,+∞）,所以2-a≥0,解得a≤2.

6.1　【解析】设切点为（x0,+x0）,又y'=ex+1,所以+1=2,解得x0=0,所以切点为（0,1）,代入直线方程得b=1.

7.2　【解析】f'（x）=3x2-12=3（x2-4）=3（x+2）（x-2）.当x<-2或x>2时,f'（x）>0;当-2

8.（-1,0）∪（1,2）　【解析】设g（x）=（x>0）,则g'（x）=<0,所以g（x）在（0,+∞）上单调递减.由ex+2·f（x2-x）>·f

（2）,得ex·e2·f（x2-x）>·f

（2）,即>,所以g（x2-x）>g

（2）.因为g（x）在（0,+∞）上单调递减,所以0

9.　【解析】对函数f（x）求导得f'（x）=1-cos2x+acosx=-cos2x+acosx+,因为函数f（x）在R上单调递增,所以f'（x）≥0,即-cos2x+acosx+≥0恒成立.设t=cosx∈[-1,1],则g（t）=4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,所以有

解得-≤a≤.

10.　【解析】已知函数f（x）=ex（2x-1）-ax+a,其中a<1,

设g（x）=ex（2x-1）,h（x）=ax-a,因为存在唯一的整数x0,使得f（x0）<0,所以存在唯一的整数x0,使得g（x0）在直线h（x）=ax-a的下方.

（第10题）

因为g'（x）=ex（2x+1）,所以当x<-时,g'（x）<0;当x>-时,g'（x）>0,所以当x=-时,g（x）min=g

-

=.又g（0）=-1<0,g

（1）=e>0,直线h（x）=ax-a恒过定点（1,0）,在同一平面直角坐标系中作出函数g（x）=ex（2x-1）与h（x）=ax-a的图象,由图象知h（0）>g（0）,且g（-1）≥h（-1）,解得≤a<1.所以a的取值范围是.

11.　【解析】设点A的坐标为（x0,y0）,则cosx0=sinx0,即tanx0=,x0=,所以A,切线的斜率k1=f'（x0）=-sin=-,k2=g'（x0）=cos=,所以两条切线的方程分别为y-=-,y-=,分别令y=0,解得B,C,所以BC=-=.

12.4　【解析】因为x∈[1,3]时,不等式x2-kx+4≥0恒成立,所以k≤x+.又因为x∈[1,3]时,x+≥2=4,所以k≤4,即k的最大值为4.

13.[e-2,2]　【解析】因为函数f（x）=lnx与g（x）=在上是“比邻函数”,所以对任意的x∈,都有|f（x）-g（x）|≤1,即≤1,从而m-1≤lnx+≤m+1.令h（x）=lnx+,则h'（x）=-=,从而h（x）在上单调递减,在[1,e]上单调递增,所以h（x）在上的最小值为h

（1）=1.又h=e-1,h（e）=1+,最大值为h=e-1,所以m-1≤1且m+1≥e-1,解得e-2≤m≤2.即m的取值范围是[e-2,2].

14.[-3,e2]　【解析】当x≤0时,由f（x）≥kx恒成立,知2x2-3x≥kx恒成立,则k≥2x-3恒成立.令g（x）=2x-3,则k≥g（x）max=g（0）=-3,所以k≥-3.当x>0时,先求函数y=ex+e2（x>0）的图象的过坐标原点的切线.设切点为（x0,y0）,由y'=ex,得=,即x0·=+e2.当x0>2时,x0·>+e2;当0

15.

（1）因为f（x）=excosx-x,

所以f'（x）=ex（cosx-sinx）-1,f'（0）=0.

又因为f（0）=1,

所以曲线y=f（x）在点（0,f（0））处的切线方程为y=1.

（2）设h（x）=ex（cosx-sinx）-1,

则h'（x）=ex（cosx-sinx-sinx-cosx）=-2exsinx.

当x∈时,h'（x）<0,

所以h（x）在上单调递减.

所以对任意的x∈有h（x）

所以函数f（x）在上单调递减.

因此f（x）在上的最大值为f（0）=1,最小值为f=-.

16.

（1）f（x）=（x+1）lnx-ax+a,f'（x）=lnx+-a.

因为f（x）在（0,+∞）上单调递增,

所以f'（x）≥0,所以a≤lnx++1恒成立.

令g（x）=lnx++1,则g'（x）=,令g'（x）=0,得x=1.

当x变化时,g'（x）与g（x）的变化情况如下表:

x

（0,1）

1

（1,+∞）

g'（x）

-

0

+

g（x）

↘

极小值

↗

因此g（x）min=g

（1）=2,即0

（2）当0

（1）知,当x∈（0,+∞）时,f（x）单调递增.

又f

（1）=0,所以当x∈（0,1）时,f（x）<0;当x∈（1,+∞）时,f（x）>0,故不等式（x-1）f（x）≥0恒成立.

若a>2,f'（x）=,

设p（x）=xlnx+（1-a）x+1,

令p'（x）=lnx+2-a=0,则x=ea-2>1.

当x∈（1,ea-2）时,p'（x）<0,p（x）单调递减,

则p（x）

（1）=2-a<0,

则f'（x）=<0,所以当x∈（1,ea-2）时,f（x）单调递减,

则当x∈（1,ea-2）时,f（x）

（1）=0,

此时（x-1）f（x）<0,矛盾.

因此,0

17.

（1）若a=,由y2>y1,得-x2-x+1>x+×-,解得-40

因为1

设该商品的月销售额为g（x）,

则g（x）=

当1

当6≤x<14时,g（x）=

-x2-x+1

x,

则g'（x）=-（3x2+4x-224）

=-（x-8）（3x+28）.

由g'（x）>0,得x<8,

所以g（x）在[6,8）上单调递增,在（8,14）上单调递减,

当x=8时,g（x）有最大值g（8）=.

（2）设f（x）=y1-y2=x2+x+a2-1-a,

因为a>0,所以f（x）在区间（1,14）上是单调增函数.

若该商品的均衡价格不低于每吨6百元,即函数f（x）在区间[6,14）上有零点,

所以即解得0

答:

（1）若a=,商品的每吨价格定为8百元时,月销售额最大.

（2）若该商品的均衡价格不低于每吨6百元,则实数a的取值范围是.

18.

（1）因为t1=,t2==,

所以f（x）=t1+t2=+,

定义域为{x|1≤x≤99,x∈N*}.

（2）f（x）=1000

=10[x+（100-x）]

=10.

因为1≤x≤99,x∈N*,

所以>0,>0,

所以+≥2=6,当且仅当=,即x=75时取等号.

答:

当x=75时,f（x）取得最小值.

19.

（1）f'（x）=+mx-（2m+1）,

由已知得f'

（1）=1-m=0,所以m=1,

此时f'（x）=,

由f'（x）=0,得x=1或x=2,

当x变化时,f'（x）,f（x）的变化情况如下表:

x

（0,1）

1

（1,2）

2

（2,+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

故f（x）的极大值为f

（1）=-,f（x）的极小值为f

（2）=2ln2-4.

（2）易知f（x）的定义域为（0,+∞）,f'（x）=.

①当m=0时,f'（x）=,

当x∈（0,2）时,f'（x）>0,当x∈（2,+∞）时,f'（x）<0,

所以当x=2时,f（x）取得极大值,无极小值.

②当m≠0时,由f'（x）=0,得x=2或x=,

ⅰ）若m<0,则<0,当x∈（0,2）时,f'（x）>0;当x∈（2,+∞）时,f'（x）<0,所以当x=2时,f（x）取得极大值,无极小值.

ⅱ）若m=,则=2,f'（x）=≥0,

f（x）在（0,+∞）上为增函数,无极值.

ⅲ）若02,

当x变化时,f'（x）,f（x）的变化情况如下表:

x

（0,2）

2

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以当x=2时,f（x）取得极大值;当x=时,f（x）取得极小值.

ⅳ）若m>,则0<<2,

当x变化时,f'（x）,f（x）的变化情况如下表:

x

2

（2,+∞）

f'（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

所以当x=时,f（x）取得极大值;当x=2时,f（x）取得极小值.

综上,若f（x）有两个极值点,则实数m的取值范围是∪.

20.

（1）y=f（x）-g（x）=x2-alnx的导数为y'=x-,

曲线y=f（x）-g（x）在x=1处的切线斜率为k=1-a,

由切线的方程为6x-2y-5=0,可得1-a=3,

所以a=-2.

（2）h（x）=f（x）+g（x）=x2+alnx,

对任意两个不相等的正数x1,x2,都有>2恒成立,即为>0.

令m（x）=h（x）-2x,可得m（x）在（0,+∞）上单调递增,

由m'（x）=h'（x）-2=x+-2≥0恒成立,可得a≥[x（2-x）]max.

由x（2-x）=-（x-1）2+1≤1,得a≥1.

即实数a的取值范围是[1,+∞）.

（3）不等式f'（x0）+

设m（x）=x-alnx+,

则由题意可知只需在[1,e]上存在一点x0,使得m（x0）<0.

m'（x）=1--==,

因为x>0,所以x+1>0,令x-1-a=0,得x=1+a.

①若1+a≤1,即a≤0时,m（x）在[1,e]上单调递增,

令m

（1）=2+a<0,解得a<-2.

②若1<1+a≤e,即0

令m（1+a）=1+a-aln（1+a）+1<0,即1+a+1

可得

考察不等式

③当1+a>e,即a>e-1时,m（x）在[1,e]上单调递减,只需m（e）<0,得a>,又因为e-1-=<0,则a>.

综上所述,实数a的取值范围是（-∞,-2）∪.