高考数学试题1997年试题.docx

高考数学试题1997年试题.docx

《高考数学试题1997年试题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学试题1997年试题.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学试题1997年试题

1997年普通高等学校招生全国统一考试

数学

（理工农医类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分,考试时间120分钟.

第Ⅰ卷（选择题共65分）

一、选择题:

本大题共15小题;第

（1）_（10）题每小题4分,第（11）_（15）题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1、sin600°的值是

[Key]D

2、函数的图象是

[Key]B

3、曲线的极坐标方程化成直角坐标方程为

A．B．

C．D．

[Key]B

4、两条直线垂直的充要条件是

A．B．

C．D．

[Key]A

5、函数的反函数

A．x（x≠0）B．

C．-x（x≠0）D．

[Key]B

6、已知点在第一象限，则在内α的取值范围是

A．B．

C．D．

[Key]B°

7、已知圆锥的全面积是底面积的3倍，那么该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为

A．120°B．150°C．180°D．240°

[Key]C

8、复数-i的一个立方根是i，它的另外两个立方根是

A．B．C．D．

[Key]D

9、如果棱台的两底面积分别是S，S'，中截面的面积是S0，那么

A．B．

C．D．

[Key]A

10、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是

[Key]B

11、3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有

A．90种B．180种C．270种D．540种

[Key]D

12、椭圆的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的

A．7倍B．5倍C．4倍D．3倍

[Key]A

13、球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1/6，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为

A．B．C．2D．

[Key]B

14、一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角为

A．B．

C．D．

[Key]B

15、在等比数列{an}中，a1>1，且前n项和Sn满足，那么a1的取值范围是

A．（1,+∞）B．（1,4）C．（1,2）D．（1,）

[Key]D

16、设圆过双曲线的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是_______。

[Key]

17、的展开式中x10的系数为____（用数字作答）。

[Key]179

18、如图，在直四棱柱A1B1C1D1ABCD中，当底面四边形ABCD满足条件_____时，有A1C⊥B1D1。

（注：

填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形。

）

[Key]AC⊥BD，或任何能推导出这个条件的其他条件。

例如ABCD是正方形，菱形等。

19、关于函数，有下列命题：

①由f（x1）=f（x2）=0可得x1-x2必是π的整数倍；

②的表达式可改写为；

③的图象关于点对称；

④的图象关于直线对称。

其中正确的命题的序号是。

（注：

把你认为正确的命题的序号都填上。

）

[Key]②，③注：

第19题多填、漏填和错填均给0分。

20、（本小题满分10分）

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，设。

求sinB的值。

以下公式供解题时参考：

[Key]本小题考查正弦定理，同角三角函数基本公式，诱导公式等基础知识，考查利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力。

满分10分。

解：

由正弦定理和已知条件a+c=2b，得sinA+sinC=2sinB

由和差化积公式得

由A+B+C=π得

21、（本小题满分11分）

如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1。

以A，B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等，若△AMN为锐角三角形，|AM|=，|AN|=3且|BN|=6。

建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。

[Key]本小题主要考查根据所给条件选择适当的坐标系，求曲线方程的解析几何的基本思想。

考查抛物线的概念和性质，曲线与方程的关系以及综合运用知识的能力。

满分11分。

解法一：

如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。

依题意知：

曲线段C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。

设曲线段C的方程为

，其中xA,xB分别为A，B的横坐标，P=|MN|。

由①，②两式联立解得。

再将其代入①式并由p>0解得

因为△AMN是锐角三角形，所以，故舍去

∴p=4,xA=1

由点B在曲线段C上，得。

综上得曲线段C的方程为

解法二：

如图建立坐标系，分别以l1、l2为

轴，M为坐标原点。

作AE⊥l1,AD⊥l2，BF⊥l2垂足分别为E、D、F

设A（xA,yA）、B（xB,yB）、N（xN,0）

依题意有

22、（本小题满分12分）

如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出。

设箱体的长度为a米，高度为b米。

已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比。

现有制箱材料60平方米。

问当a，b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。

[Key]本小题主要考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力，考查建立函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识。

满分12分。

解法一：

设y为流出的水中杂质的质量分数，则，其中k>0为比例系数，依题意，即所求的a，b值使y值最小。

这时a=6,a=-10（舍去）

将a=6代入①式得b=3。

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

解法二：

依题意，即所求的a，b的值使ab最大。

由题设知

当且仅当a=2b时，上式取等号。

由a>0,b>0，解得0

即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18。

2b2=18解b=3,a=6

故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

23、（本小题满分12分）

已知斜三棱柱ABCA1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2，且AA1⊥A1C，AA1=A1C。

（Ⅰ）求侧棱A1A与底面ABC所成角的大小；

（Ⅱ）求侧面A1ABB1与底面ABC所成二面角

的大小；

（Ⅲ）求顶点C到侧面A1ABB1的距离。

[Key]本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念、逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力。

满分12分。

注：

题中赋分为得得该结论时所得分值，不给中间分。

（Ⅰ）解：

作A1D⊥AC，垂足为D，

由面A1ACC1⊥面ABC，得A1D⊥面ABC，

∴∠A1AD为A1A与面ABC所成的角。

∵∠AA1⊥A1C，AA1=A1C，

∴∠A1AD=45°为所求

（Ⅱ）解：

作DE⊥AB，垂足为E，连A1E，则由A1D⊥面ABC，得A1E⊥AB。

∴∠A1ED是面A1ABB1与面ABC所成二面角的平面角。

由已知，AB⊥BC，得ED//BC，又D是AC的中点，BC=2，AC=2

∴DE=1，AD=A1D=，

故∠A1ED=60°为所求。

（Ⅲ）解法一：

由点C作平面A1ABB1的垂线，垂足为H，则CH的长是C到平面A1ABB1的距离。

连结HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB

又A1E⊥AB，知HB//A1E，且BC//ED，

∴∠HBC=∠A1ED=60°

∴为所求

解法二：

连结A1B

根据定义，点C到面A1ABB1的距离，即为三棱锥CA1AB的高h。

由

24、（本小题满分12分）

设曲线C的方程是y=x3-x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1。

（Ⅰ）写出曲线C1的方程；

（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点对称；

（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明且t≠0。

[Key]本小题主要考查函数图象、方程与曲线，曲线的平移、对称和相交等基础知识，考查运动、交换等数学思想方法，以及综合运用数学知识解决问题的能力。

满分12分。

（Ⅰ）解：

曲线C1的方程为

y=（x-t）3+（x-t）+s

（Ⅱ）证明：

在曲线C上任取一点B1（x1,y1）。

。

设B2（x2,y2）是B1关于点A的对称点，则有：

代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：

可知点B2（x2,y2）在曲线C1上。

反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上。

因此，曲线C与C1关于点A对称。

（Ⅲ）证明：

因为曲线C与C1有且仅有一个公共点，所以，方程组

有且仅有一组解。

消去y，整理得

S20=2S'S

这个关于x的一元二次方程有且仅有一个根。

所以t≠0并且其根的判别式

25、（本小题满分12分）

已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145。

（Ⅰ）求数列{bn}的通项bn；

（Ⅱ）设数列{bn}的通项（其中a>0，且a≠1），记Sn是数列{an}的前

n项和。

试比较Sn与的大小，并证明你的结论。

[Key]本小题主要考查等差数列基本概念及其通项求法，考查对数函数性质，考查归纳、推理能力以及用数学归纳法进行论证的能力。

满分12分。

解：

（Ⅰ）设数列{bn}的公差为d，由题意得

（Ⅱ）由bn=3n-2，知

因此要比较Sn与的大小，可先比较

。

取n=1有

取n=2有

……

由此推测①

若①式成立，则由对数函数性质可断定：

当a>1时，

当0

下面用数学归纳法证明①式。

（i）当n=1时已验证①式成立。

（ii）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即

那么，当n=k+1时，

这就是说①式当n=k+1时也成立。

由（i），（ii）知①式对任何正整数n都成立

由此证得：

当a>1时，

当0