专题28 数列综合问题 学年高一数学必修5专题强化训练含答案.docx

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专题28数列综合问题学年高一数学必修5专题强化训练含答案

专题5数列综合问题

1．定义函数如下表，数列满足.若，则（）

A．7042B．7058C．7063D．7262

【答案】C

【解析】

由题意，∵a1=2，且对任意自然数均有an+1=f（an），

∴a2=f（a1）=f

（2）=5，即a2=5，

a3=f（a2）=f（5）=1，即a3=1，

a4=f（a3）=f

（1）=3，即a4=3，

a5=f（a4）=f（3）=4，即a5=4，

a6=f（a5）=f（4）=6，即a6=6，

a7=f（a6）=f（6）=2，即a7=2，

可知数列{an}：

2，5，1，3，4，6，2，5，1…是一个周期性变化的数列，周期为：

6．

且a1+a2+a3+…+a6=21．

故a1+a2+a3+…+a2018=336×（a1+a2+a3+…+a6）+a1+a2=7056+2+5=7063．

故选C

2．巳知集合P={}，Q={}，将P∪Q的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}，记为数列{}的前n项和，则使得<1000成立的的最大值为

A．9B．32C．35D．61

【答案】C

【解析】

数列{an}的前n项依次为：

1，2，3，22，5，7，23，……．

利用列举法可得：

当n=35时，P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，

所以数列{an}的前35项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，

…，69，2，4，8，16，32，64

Sn=29++=29=967<1000

当n=36时，P∪Q中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{an}，

所以数列{an}的前36项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，

…，71，2，4，8，16，32，64

Sn=30+=900+126=1026>1000

所以n的最大值35.

故选：

C

3．2018年9月24日,英国数学家M.F阿蒂亚爵在“海德堡论坛”展示了他“证明”黎曼猜想的过程,引起数学界震动.黎曼猜想来源于一些特殊数列求和,记

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】

由题意可知：

，

且

，

综上可得：

.

本题选择C选项.

4．已知函数对任意实数a，b满足，且，若，则数列的前9项和为　　

A．9B．C．D．1

【答案】C

【解析】

函数对一切实数满足，

，

数列是等比数列，首项为2，公比为2．

．

数列的通项．

，

数列的前9项和为：

．

故选C．

5．已知函数的定义域为，对任意R都有，则=

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

由，且，

得，

，

，

，故选B.

6．已知数列的前项和为,通项公式,则满足不等式的最小值是（）

A．62B．63

C．126D．127

【答案】D

【解析】

因为,所以,即,

故应选D.

7．对于数列，定义的“优值”，现已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，则（）

A．2022B．1011C．2020D．1010

【答案】B

【解析】

由，

得，　①

，　②

①-②得，即，

所以.故选B.

8．已知数列的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋4n，若首项为的数列满足，则数列的前10项和为

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

由，可得，

根据，结合题的条件，应用累加法可求得，

所以，

所以数列的前项和为，

所以，

故选A.

9．如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边（包括两个端点）有n（n>1，n∈N*）个点，相应的图案中总的点数记为an，则等于（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

，所以

因此等于，选B.

10．已知不等式对一切正整数恒成立，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

不等式左边是一个单调递增的数列，故当时取得最小值为.故，即，也即，解得.故选B.

11．已知数列的通项公式是，则

A．110B．100C．55D．0

【答案】C

【解析】

∵=n，n∈N*，∴an＝n2sin（π）＝，

∴a1+a2+a3+…+a10＝22﹣12+42﹣32+…+102﹣92＝1+2+3+…+10＝

故选：

C．

12．数列的前n项之和为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

数列的通项为：

，求和可以分为一个等差数列，首项为2，公差为1，和一个等比数列，首项为，公比为，将两个数列分别求和，

化简得到.

故答案为：

C.

13．已知数列满足，则__，__．

【答案】23028

【解析】

当为偶数时，则有为奇数，

所以当为偶数时，，

故有．

所以，

，

故答案为2,3028．

14．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1=1，an+1+Sn·Sn+1=0，则数列{Sn·Sn+1}的前10项和为________。

【答案】

【解析】

设是数列的前项和，且得到，因此是以为首项，为公差的等差数列，故，∴，∴.

15．设数列的前n项和为，已知，则数列的前2n项和为______．

【答案】

【解析】

解：

根据题意，数列{an}满足2Sn＝

（1）an+1，①

则有2Sn﹣1＝

（1）an，②

①﹣②可得：

（1）（an+1﹣3an）＝0，

则有an+1﹣3an＝0，即an+1＝3an，（n≥2）

又由2Sn＝

（1）an+1，当n＝1时，a2＝3，a1＝1，

则数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝3n﹣1；

bn＝（﹣1）n•（log3an）2＝（﹣1）n•（log3（3n﹣1）]2＝（﹣1）n（n﹣1）2，

则b2n﹣1+b2n＝﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2＝4n﹣3；

数列{bn}的前2n项和T2n＝1+5+9+……+（4n﹣3）2n2﹣n；

故答案为：

2n2﹣n．

16．在各项均为正数的等比数列中，，当取最小值时，则数列的前项和为__________．

【答案】

【解析】

等比数列中，，所以

，令

则，令

解得，因为各项均为正数的等比数列

所以

当时，

当时，

所以在取得最小值

设，代入化简可得

所以

两式相减得

17．已知是各项为正数的等比数列，是等差数列，且．

的通项公式；

，求数列的前n项和为．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】

解：

设等比数列的公比为，等差数列的公差为d，

，可得

，

解得，

则；

，

则前n项和为

．

18．在等差数列和等比数列中，．

的通项公式；

求数列的前n项和．

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q．

依题意，得

解得舍去

所以

因为，

所以

19．已知数列为等差数列，，且满足，数列满足．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前n项和．

【答案】（I）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）由等差数列的性质可得：

，

解得．

数列满足，

可得：

数列是等比数列，公比为2．

∵．∴，解得．

∴．

（Ⅱ）若，

∴数列的前n项和，

，

∴，

可得．

20．设数列的前n项和为，若．

（1）求出数列的通项公式；

（2）已知，数列的前n项和记为，证明：

．

【答案】

（1）

（2）见解析

【解析】

（1）因为，所以

两式相减可得，即

在中，令可得：

所以数列是首项为，公比为的等比数列

（2）

所以：

所以是一个单调递增的数列

当时，

当时，

所以

21．在等比数列中，.

（1）求数列的通项公式；

（2）设,数列的前项和为，若，求的最小值.

【答案】

（1）；

（2）5.

【解析】

（1）由数列为等比数列，且，得，解得.

则数列的通项公式.

（2）

.

当时，，所以；

当时，；

当时，；

当时，；

当时，.

所以，的最小值为.

22．已知等差数列与公比为正数的等比数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

【答案】

（1）.

（2）

【解析】

（1）由题意.

设公差为，公比为，则，

解得.

故；

.

（2）因为，

所以，

故.