高中数学第一章三角函数15函数yAsinωx+φ的图象2课时提升作业1新人教A版必修.docx
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高中数学第一章三角函数15函数yAsinωx+φ的图象2课时提升作业1新人教A版必修
2019-2020年高中数学第一章三角函数1.5函数y=Asinωx+φ的图象2课时提升作业1新人教A版必修
一、选择题（每小题5分，共25分）
1.函数f（x）=2sin的周期、振幅、初相分别是（ ）
A.，2，B.4π，-2，-
C.4π，2，D.2π，2，
【解析】选C.函数f（x）=2sin的周期为=4π，振幅为2，初相为.
【补偿训练】最大值为，最小正周期为，初相为的解析式是（ ）
A.y=sin B.y=sin
C.y=sin D.y=sin
【解析】选D.易知函数解析式为y=sin（ωx+）（ω>0），又=，故ω=3.
所以y=sin.
2.（xx·南昌高一检测）若函数f（x）=2sin，则它的图象的一个对称中心为（ ）
A.B.
C.（0，0）D.
【解析】选A.f=2sin=0
f=2sin=2，
f（0）=2sin=.
f=2sin=-.
故是对称中心.
【补偿训练】下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x=对称的是（ ）
A.y=sinB.y=sin
C.y=sinD.y=sin
【解析】选B.对于A，x=时y=sin=；
对于B，x=时，y=sin=1；
对于C，x=时，y=sin=；
对于D，x=时，y=sin=.综上知，
y=sin的图象关于直线x=对称.
3.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A>0，ω>0，|φ|<）的图象（部分）如图所示，则f（x）的解析式是（ ）
A.f（x）=2sin（x∈R）
B.f（x）=2sin（x∈R）
C.f（x）=2sin（x∈R）
D.f（x）=2sin（x∈R）
【解析】选A.由图象可知A=2，
=4×=2，
故ω=π，所以f（x）=2sin（πx+φ）.
因为在函数f（x）的图象上，
所以2=2sin，
所以+φ=2kπ+，k∈Z，所以φ=2kπ+，k∈Z，又|φ|<，所以φ=.所以f（x）=2sin.
【补偿训练】f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0，|φ|<）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（ ）
A.f（x）=2sin
B.f（x）=2sin
C.f（x）=2sin
D.f（x）=2sin
【解析】选A.由图象知A=2，=4×=π，故ω=2，
所以f（x）=2sin（2x+φ），
将x=，y=2代入上式得2=2sin
所以+φ=2kπ+，k∈Z，φ=2kπ+，k∈Z，
又|φ|<.
所以φ=，所以f（x）=2sin.
4.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A>0，ω>0，|φ|<）的图象如图所示，为了得到g（x）=sinωx的图象，可以将f（x）的图象（ ）
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
【解析】选A.由图象知A=1，=4=π，
故ω=2，所以f（x）=sin（2x+φ），
将x=，y=-1代入上式得-1=sin，
所以+φ=2kπ+，k∈Z，所以φ=2kπ+，k∈Z，
又|φ|<，所以φ=，
所以f（x）=sin=sin2.
将f（x）的图象向右平移个单位长度可得g（x）=sin2x的图象.
5.（xx·长春高一检测）设函数f（x）=Asin（ωx+φ），
的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则（ ）
A.f（x）的图象过点
B.f（x）在上是减函数
C.f（x）的一个对称中心是
D.f（x）的最大值是A
【解析】选C.因函数f（x）的周期是π，所以ω=2.
又因为函数f（x）的图象关于直线x=对称，所以2×+φ=+kπ，k∈Z，
即φ=-π+kπ，k∈Z.
又由|φ|<知φ=，所以f（x）=Asin.
当x=0时，f（x）=Asin=，所以A错误，
由A≠0知f（x）在上的单调性不确定，故B错误，因为A的值不确定，所以f（x）的最大值也不确定，故D错误.
由2x+=kπ，k∈Z得x=-+π，k∈Z，
于是函数f（x）的一个对称中心为，故选C.
二、填空题（每小题5分，共15分）
6.y=sin相邻两条对称轴距离为，则ω为________.
【解析】由题意知=×2，故|ω|=2，所以ω=±2.
答案：
±2
7.某同学利用描点法画函数y=Asin（ωx+φ）（其中0x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
-1
-2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y=Asin（ωx+φ）的解析式应是________.
【解析】在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示.
根据函数图象的大致走势，
可知点（1，0）不符合题意；
又因为0函数图象过（4，-2），所以A=2.
因为函数图象过（0，1），
所以2sinφ=1，所以φ=2kπ+，k∈Z，
又因为-<φ<，所以φ=.
由（0，1），（2，1）关于直线x=1对称，知x=1时函数取得最大值2，因此函数的最小正周期为6.
所以ω=.
所以函数的解析式为y=2sin.
答案：
y=2sin
8.（xx·淮安高一检测）若函数f（x）=2sin（3x-π），有下列结论：
①函数f（x）的图象关于点对称；
②函数f（x）的图象关于直线x=π对称；
③在x∈为单调增函数.
则上述结论正确的是________.（填相应结论对应的序号）
【解析】对于①f=2sin=0，
所以函数f（x）的图象关于点对称，故①正确；
对于②f=2sin=2，
所以函数f（x）的图象关于直线x=对称，故②正确；对于③，设u=3x-，则y=2sinu，u=3x-在上为增函数，且u∈，y=2sinu在上为增函数，
所以y=2sin在上单调递增，
故③正确.
答案：
①②③
三、解答题（每小题10分，共20分）
9.函数f（x）=Asin（其中A>0，ω>0）的振幅为2，周期为π.
（1）求f（x）的解析式并写出f（x）的单调增区间.
（2）将f（x）的图象先左移个单位，再将每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得到g（x）的图象，求g（x）的解析式和对称中心（m，0），m∈[0，π].
【解析】
（1）由题可知：
A=2且=π，所以ω=2，
所以f（x）=2sin.
令-+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），
所以-+kπ≤x≤+kπ（k∈Z），
所以f（x）的单调增区间为（k∈Z）.
（2）g（x）=2sin，令x+=kπ，k∈Z，则x=kπ-，k∈Z，因为m∈[0，π]，所以对称中心为.
10.将函数y=sinx的图象向右平移个单位，再将所得图象上各点横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），再将所得图象各点纵坐标伸长为原来的4倍（横坐标不变），得到函数y=f（x）的图象.
（1）写出函数y=f（x）的解析式.
（2）求此函数的对称中心的坐标.
（3）用五点作图法作出这个函数在一个周期内的图象.
【解析】
（1）这个函数y=f（x）的解析式为：
f（x）=4sin.
（2）使函数取值为0的点即为函数的对称中心，所以x-=kπ，k∈Z，所以x=（3k+1）π，k∈Z，
即函数的对称中心为（（3k+1）π，0）（k∈Z）.
（3）①列表
x
π
4π
7π
x-
0
π
2π
y=4sin
0
4
0
-4
0
②描点连线，图象如图：
（20分钟 40分）
一、选择题（每小题5分，共10分）
1.（xx·衡阳高一检测）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A>0，ω>0）在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值，且对于任意x1，x2∈[-1，1]，x1≠x2，都有>0，则（ ）
A.函数y=f（x+1）一定是周期为4的偶函数
B.函数y=f（x+1）一定是周期为2的奇函数
C.函数y=f（x+1）一定是周期为4的奇函数
D.函数y=f（x+1）一定是周期为2的偶函数
【解析】选A.因为对于任意x1，x2∈[-1，1]，x1≠x2都有>0.
所以函数f（x）在[-1，1]上为增函数，又因为f（x）在x=1和x=-1处分别取得最大值和最小值，所以f（x）的周期T=2×[1-（-1）]=4，且直线x=-1和x=1是函数f（x）图象的对称轴，y=f（x）的图象向左平移1个单位得y=f（x+1）的图象，所以y=f（x+1）的图象关于y轴对称，y=f（x+1）是偶函数.
2.已知函数f（x）=sin（2x+φ），其中φ为实数，若f（x）≤对x∈R恒成立，且f>f（π），则f（x）的单调递增区间是（ ）
A.（k∈Z）
B.（k∈Z）
C.（k∈Z）
D.（k∈Z）
【解题指南】由f（x）≤知x=时，f（x）取得最大值或最小值.
【解析】选C.因为f（x）≤对x∈R恒成立，
所以当x=时f（x）取得最大值或最小值.
所以f=sin=±1.
所以+φ=kπ+，k∈Z，故φ=kπ+，k∈Z，
当k为偶数时，f（x）=sin，
f=-sin=-，
f（π）=sin=有f当k为奇数时，f（x）=-sin，
此时f=，
f（π）=-，有f>f（π）符合题意.
由2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，
解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z.
所以f（x）=-sin的单调递增区间是
k∈Z.
二、填空题（每小题5分，共10分）
3.设振幅、相位、初相为y=Asin（ωx+φ）+b（A>0）的基本量，则y=3sin（2x-1）+4的基本量之和为________.
【解析】y=3sin（2x-1）+4的振幅为3，相位是2x-1，初相是-1，故基本量之和为3+2x-1-1=2x+1.
答案：
2x+1
4.（xx·哈尔滨高一检测）关于函数f（x）=4sin（2x-）（x∈R），有以下命题：
①y=f是偶函数；
②要得到g（x）=-4sin2x的图象，只需将f（x）的图象向右平移个单位长度；
③y=f（x）的图象关于直线x=-对称；
④y=f（x）在[0，π]内的增区间为，，其中正确命题的序号为________.
【解析】①y=f=4sin
=4sin
=4sin不是偶函数，故①错误；
②将f（x）的图象向右平移个单位长度得到
g（x）=f=4sin
=-4sin（π-2x）=-4sin2x，
故②正确；
③f=4sin=-4，故y=f（x）的图象关于直线x=-对称；故③正确；
④由2kπ-≤2x-≤2kπ+，k∈Z得
kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
设A={x|kπ-≤x≤kπ+，k∈Z}，B=[0，π].
A∩B=∪
所以y=f（x）在[0，π]内的增区间为，，故④正确.
答案：
②③④
【补偿训练】下列命题中，
①函数y=sin是偶函数；
②已知cosα=，且α∈[0，2π]，则α的取值集合是；
③直线x=是函数y=sin图象的一条对称轴；
④函数y=的周期是；
把你认为正确的命题的序号都填在横线上________.
【解析】①y=sin=cos2x是偶函数，①正确；
②cosα=且α∈[0，2π]，则α的取值集合是，②错误；
③当x=时y=sin=sin=-1，故③正确；
④函数y=的周期是=π，故④错误.
答案：
①③
三、解答题（每小题10分，共20分）
5.（xx·南通高一检测）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b
的图象如图所示.
（1）求出函数f（x）的解析式.
（2）若将函数f（x）的图象向右移动个单位长度得到函数y=g（x）的图象，求出函数y=g（x）的单调增区间及对称中心.
【解析】
（1）A==4，
b==2，=-=2π，
T=4π，所以ω=，所以f（x）=4sin+2.
又因为点在函数f（x）的图象上，
所以2=4sin+2，
所以sin=0，
所以-+φ=kπ，k∈Z，
所以φ=kπ+，k∈Z，
又|φ|<，故φ=，
所以f（x）=4sin+2.
（2）由题意得g（x）=f
=4sin+2=4sin+2，
-+2kπ≤x+≤+2kπ，k∈Z⇒-+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z，
所以增区间为
k∈Z，
令x+=kπ，k∈Z，解得x=-+2kπ，k∈Z，所以对称中心为
k∈Z.
【补偿训练】（xx·淮安高一检测）已知函数y=Asin（ωx+φ）
的图象过点P且图象上与P点最近的一个最高点坐标为.
（1）求函数的解析式.
（2）指出函数的减区间.
（3）当x∈时，求该函数的值域.
【解析】
（1）由题意知：
A=5，=-=，即T=π，所以ω=2，
又过，所以0=5sin，所以+φ=kπ，k∈Z，则φ=kπ-，k∈Z，因为|φ|<，所以φ=，所以f（x）=5sin.
（2）减区间为，（k∈Z）.
（3）x∈，则2x+∈[0，π]，
所以sin∈[0，1]，即f（x）∈[0，5].
6.（xx·宿迁高一检测）已知函数f（x）=asin（2x+）+1（a>0）的定义域为R，若当-≤x≤-时，f（x）的最大值为2.
（1）求a的值.
（2）用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象.
（3）写出该函数的对称中心的坐标.
【解析】
（1）当-≤x≤-时，则-≤2x+≤，
所以当2x+=时，f（x）有最大值为+1.
又因为f（x）的最大值为2，所以+1=2，解得：
a=2.
（2）由
（1）知f（x）=2sin+1.
令2x+分别取0，，π，，2π，则求出对应的x与y的值
x
-
2x+
0
π
2π
y
1
3
1
-1
1
画出函数在区间的图象如图
（3）f（x）=2sin+1，令2x+=kπ，k∈Z，解得x=-，k∈Z，所以函数f（x）=2sin（2x+）+1的对称中心的横坐标为-，k∈Z.
又因为函数f（x）=2sin+1的图象是函数f（x）=2sin的图象向上平移一个单位长度得到的，所以函数f（x）=2sin+1的对称中心的纵坐标为1，所以对称中心坐标为k∈Z.
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