854电磁力的虚位移法++教学案例5虚位移法计算电磁力在电磁测量仪表中的应用.docx
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854电磁力的虚位移法++教学案例5虚位移法计算电磁力在电磁测量仪表中的应用
虚位移法计算电磁力在电磁测量仪表中的应用
卢斌先
1、案例说明
结合工程电磁场中虚位移计算电磁力方法，讨论了常见直读式电工仪表结构、电磁力产生的原理和电磁力的计算方法。
本案例对于提醒同学在学习后续电气工程课程认真研究其原理，并将已经学过的基础理论知识完美应用到新课程学习
中。
2、案例
2.1引言
常用电工仪表种类很多。
电气机械式指示仪表是靠指针或光点指在标尺上直接读数，故有时也称为直读式仪表。
常见的直读式电工仪表有磁电系、电磁系、电动系和静电系等。
从结构上看，直读式指示仪表主要包括固定部分和可动部分。
固定部分主要是磁铁或线圈，可动部分主要是磁铁、线圈或软铁片。
在固定部分和可动部分之间的电磁力的作用下，使与可动部分相连的指针发生偏转的力矩称为作用力矩。
为了达到平衡，必须要有产生反作用力矩（控制力矩）的部分。
对于直读式电工仪表来说，产生反作用力矩主要是由游丝、张丝或吊丝等来完成由于电工测量仪表结构复杂，为了简化电磁力计算，主要采用电磁场理论
中学习过虚位移法计算电磁力。
M=ﾶA
ﾶα
（1）
其中M为作用力矩（广义力），α为指针偏转角（广义坐标），A为测量机构
总电磁能量。
根据胡克定律反作用力矩可表示为，
Mα=Wα
（2）
其中Mα为反作用力矩，W为弹性系数，α为指针的偏角。
当作用力矩与反作用
力矩相等时测量机构达到平衡，就可读出被测量大小。
2.2虚位移法在电磁测量仪表中的应用
2.2.1磁电系仪表
磁电系仪表测量机构结构图如图1所示。
当被测直流电流经过游丝流过线圈时，将在空间产生磁场，该磁场与永久磁铁的磁场相互作用产生相互作用的电磁力。
永久磁铁固定不动，
图1磁电系仪表测量机构结构图
（图中：
1-永久磁铁；2-极掌；3-铁心；4-铝框；5-线圈；6-游丝；7-指针）而与指针、转轴构成整体的铝框和线圈是可动的。
测量机构总磁场能量包括线圈
的自有磁场能量和线圈与永久磁铁间的互有能量，
A=1LI2+Iψ
2
（3）
其中A是磁场能量，L为线圈自感系数，I为通过线圈的电流，ψ为永久磁铁
产生的穿过线圈所围面积的磁链。
方程（3）右侧第一项是线圈的自有磁场能量，第二项为线圈与永久磁铁间的互有能量。
不管可动线圈如何转动，其自感系数不会发生变化，被测电流的大小只与外电路有关，与可动线圈的转动无关，因此
第一项线圈自有磁场能量不会随着线圈转动而变；而第二项互有能量表达式中的磁链会随着线圈转动而发生变化。
在电磁场理论中应用虚位移法求解磁场力有两种方法，一是假设电流不变，
则广义电磁力为，
f=ﾶA
gﾶg
I=C
（4）
其中fg为待求广义力，A为磁场能量，g为广义坐标，I为电流，C为常数。
二
是假设磁链不变，则广义电磁力为，
f=-ﾶA
gﾶg
ψ=C
（5）
在磁电系仪表中线圈的电流是不变的，变化的磁链，广义力是转矩，广义坐标
是转角，因此转矩可按下式计算，
M=Idψ
dα
（6）
由于永久磁铁产生的磁场在与线圈相互作用区域是均匀的，当线圈旋转dα时，
相应的边扫过的面积为bldα，相应磁链为BNbldα，线圈有两个有效边，因
22
此互有磁链为分增量，
dψ=BlbNdα
（7）
其中N为匝数，l为有效边（线圈的长）的长度，b是线圈的宽度。
所以，作用力矩为
M=IBlbN
（8）
当作用力矩与反作用力矩相等时，测量机构达到平衡，联合
（2）和（8）即得
到下面的读数方程，
2.2.22电磁系仪表工作原理
α=BlbNI
W
（9）
电磁系测量机构是利用处在磁场中的软铁片受磁化后被吸引或受磁化后的两铁片之间的推斥力工作。
图2是推斥型电磁系电工仪表结构图。
其主要组成部分是：
线圈（固定部分）、固定铁片、可动铁片、磁屏蔽等组成。
当线圈通一时变电流时，在其周围将产生磁场，处在该磁场中的固定铁片和可动铁片将被磁化。
不管线圈中实际电流方向如何，被磁化的两铁片之间存在的都是斥力。
指针的偏转角度就是由该转矩一个周期的平均值决定。
图2电磁系仪表测量机构结构图
（图中：
1-线圈；2-固定铁片；3-可动铁片；4-磁屏蔽；5-磁感应阻尼翼片）
系统中储存的瞬时磁场能量为，
A=1i2L
2
（10）
其中i是固定线圈中的瞬态电流，L是考虑铁片在内的线圈电感。
电流是由外电路决定的，与动铁片的偏转角度无关，而电感L不仅与线圈本身有关，而且还与线圈内的铁片有关，因为铁片本身是导磁的物质。
因此根据虚位移法瞬时作用
力矩可表示为，
M=ﾶA
=1i2ﾶL
（11）
tﾶα
I=C
2ﾶα
其中Mt为瞬时转矩，i是通过线圈的瞬时电流。
决定偏转角的是平均转矩，因此，
M=1
TMdt=1ﾶL1
Ti2dt=1ﾶLI2
（12）
T�0t
2ﾶαT�0
2ﾶα
其中I是电流的有效值。
当反作用力矩与作用力矩相等时，测量机构达到平衡，
则测量读数方程为，
α=12W
ﾶLI2
ﾶα
（13）
将上式与磁电系读数方程相对比可以发现，该读数方程部不是线性方程。
2.2.3电动系仪表工作原理
图3电动系仪表测量机构结构图
（图中：
1-固定线圈；2-可动线圈）
电动系仪表主要是由同轴放置的一对固定线圈（为了安装方便将固定线圈分为两个）和一个可动的线圈共同组成。
当两个线圈都通同一电流时，则不论电流的方向如何变化，固定线圈与可动线圈之间电磁力方向都不变。
电动系仪表结
构图如图3所示。
应用虚位移法求解磁力时，首先要求解系统总储存磁场能量。
电工系仪表内
总磁场能量为，
A=1Li2+1Li2+Mii
（14）
211222m12
i1和i2分别为固定线圈和可动线圈的电流，L1和L2分别为固定线圈和可动线圈的自电感，Mm为互有电感系数。
方程右侧第一项是固定线圈的自由磁场能量，
第二项是可动线圈中的自有磁场能量，最后一项是总的互有磁场能量。
由于固定线圈和可动线圈的自感系数以及通过的电流不随着可动线圈的转动而变化，因此磁场能量对广义坐标（偏转角）求导时可以不考虑两部分自有磁场能量。
而随着动圈的转动，两线圈的相对位置发生了变化，从而忽感系数发生了变化，因
此瞬时转矩可表示为，
M=ﾶMmii
（15）
tﾶα12
平均转转矩，即作用力矩为，
M=1
TMdt=ﾶMmﾶ1
Tiidt=ﾶMmﾶII
coscosϕ
（16）
T�0t
ﾶαT�012
ﾶα12
其中M为平均作用力矩，ϕ为两正弦电流之间的相位差。
从该作用力矩表达式可以看出该仪表不仅可以测量电流电压，还可以测量功率。
当反作用力矩与作用力矩相等时，测量机构达到平衡。
如果固定线圈和可动线圈通以相同电流，读数
方程可表示为，
2.2.4静电系仪表
α=1
W
ﾶMmI2
ﾶα
（17）
（请参考王泽忠，全玉生，卢斌先编著的“工程电磁场”第八章课后习题8-4
题，该题是静电系仪表的例子）
静电系仪表是靠带电体之间的电场力工作的。
静电系仪表的结构图如图4所示。
静电系仪表中，带电体和期间的电介质组成了电容，该电容两极板分别为固定极板和可动极板。
在静电力作用下可动极板发生转动，带动指针旋转。
（a）（b）
（a）改变电极间距离；（b）改变电极间有效面积图4静电系仪表结构图
（图中：
1-可动电极；2-固定电极；3-反光小镜；4-拉丝；5-转轴）应用虚位移法求静电力时有两种方法，一是假设电位不变，
f=ﾶA
gﾶg
ϕ=C
（18）
其中ϕ表示电位。
当假设电荷不变时静电力公式为，
f=-ﾶA
gﾶg
q=C
（19）
静电系测量机构中电场能量为，
A=1Cu2
2
（20）
其中C为电容，u为极板间的电压。
由于电位由外电路决定，在可动电极转动时
电位不变，因此应用虚位移法求静电力公式瞬时转矩为（18），
M=1ﾶCu2
2ﾶα
（21）
电位的变化可以图4（a）和（b）分别该变极板间距离或极板间的面积来实现。
由于ﾶC与时间无关，因此其平均力矩为，
ﾶα
M=1ﾶT1ﾶCu2dt=1ﾶCU2
（22）
T02ﾶα2ﾶα
当反作用力矩与作用力矩相等时，测量机构达到平衡。
其读数方程为，
3、结束语
α=12W
ﾶﾶCU2
ﾶα
（23）
应用工程电磁场理论中虚位移法，本文讨论了常见几种电工仪表的工作原理及读数方程。
除磁电系测量机构外，其它测量机构读数方程并不是最终的读数方程，还需要根据具体问题求出自感、互感或电容对广义坐标α（偏转角）的求导另外，工程电磁场原理中讲到的虚位移法是假设某带电体发生了位移，而实际并未发生位移的情况。
本文讨论的各种仪表带电体确实发生位移，尽管如此，我们并未涉及到运动过程，而只是考虑平衡点时力矩平衡问题，因次依然可以应
用虚位移法。
参考文献
[1]宋广汉，方之稹.电气实验技术与测量，中国计量出版社，北京，1992.
[2]王泽忠，全玉生，卢斌先.工程电磁场，清华大学出版社，北京，2011.
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