小学数与形结合及符号化思想的教学策略.docx

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小学数与形结合及符号化思想的教学策略

专题讲座

小学数与形结合及符号化思想的教学策略

课堂教学的改革要求教师要以新的视角去审视“数学”的现实内涵，这就要求我们不断地追问自己：

数学到底是怎么来的？

什么是我们留给学生最宝贵的数学财富？

毫无疑问，这就要求我们应该把握住数学最核心的东西：

数学思想。

※日本数学家和教育家米山国藏说过这样一段话：

学生在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一、两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学思想方法，却长期在他们的生活和工作中发挥着作用。

※法国大数学家笛卡尔对此也有过一段非常精辟的论述：

没有正确的思想方法，即使有眼睛的博学者也会像瞎子一样盲目探索。

大师们的话无不在告诉我们：

数学思想是学生数学学习活动的灵魂之所在，它是今后生活、工作的方向标。

※她可以帮助学生将散乱的珍珠变成美丽的项链。

※她可以使学生真知灼见，幼竹拔节。

※她可以让学生拥有一颗数学的大脑，学会数学地思考，学会理性、审慎地看待生活中的问题、理解世界。

在小学数学知识中，蕴涵的很多的数学思想，最基本的数学思想有：

数与形结合、函数、符号化、方程、分类、转化等。

因此，教师在课堂教学中应注重数学思想的渗透，不仅传递给学生丰厚的数学知识，纯熟的技能，更应有思考方法的领悟、思想精神的启迪，更应该留给学生多元而立体的影响，这就是数学的精髓——数学思想，课堂的本质。

下面重点介绍符号化和数与形结合思想的策略。

一、小学数学中渗透符号化思想的教学策略

关于符号：

在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。

符号的使用，极大地简化和加速了思维的进程。

※符号——记号

※数学符号是文字化的图形

※几何图形是图像化的数字

（一）小学数学中的符号化思想

问题1：

什么是符号化思想？

符号化思想主要表现在以下两方面：

※用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。

※符号化思想主要指人们有意识地、普遍地运用符号去表述研究的对象。

《课程标准》指出：

发展学生的符号感，并指出符号感主要表现在：

能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律；理解符号所表示的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决有符号表示的问题。

在小学阶段，主要表现在前半部分。

问题2：

符号化思想的重要作用是什么？

※符号的重要性——符号无处不在，且便于交流。

数学发展到今天,已成为一个符号化的世界。

英国著名数学家罗素说过:

“什么是数学?

数学就是符号加逻辑。

”这充分表明了数学与符号的关系。

同时符号也为世界交流提供了便利，如，面对一个普通的数学公式:

C=2πr,任何具有小学文化程度的人,无论他来自地球的哪一方都知道它表示的意思。

※符号的重要性——符号简明，且易于推理。

符号化思想对数学的发展起着重要的推动作用。

系统地运用符号，可以简明地表达数学思想，从而简化数学运算或推理过程，加快数学思维的速度，促进数学思想的交流。

比如，在《九章算术》里，古代数学家对数学题是一题一题地处理，思维停留在算术水平上。

符号化思想形成后，算术思维上升为代数思维，就可以将很多问题转化为方程的研究，按照未知量的个数或次数的不同进行分类处理。

又如，对于简单的代数式“（10＋x）2＝100＋20x＋x2”，若用古代文字表达则叙述得冗长繁杂。

简洁、准确的符号化思想避免了日常语言的含糊性与歧义性，使数学思维能清晰、准确地进行。

正像前面所说，数学发展到今天，已成为一个符号化的世界，符号就是数学存在的具体化身。

怀特海曾说：

“只要细细分析，即可发现符号化给数学理论的表述和论证带来的极大方便，甚至是必不可少的。

”不难看出数学符号除了用来表述外，它也有助于思维的发展。

如果说数学是思维的体操，那么，数学符号的组合谱成了“体操进行曲”。

问题3：

小学数学教材中符号化思想体现在哪些方面？

现行小学数学教材十分注意符号化思想的渗透，这种思想的渗透是根据不同教学阶段的具体情况进行的。

主要从以下几个方面作了有计划、有步骤的安排。

1.引入了一些数学符号

小学数学教学中大致出现的如下几类符号：

（1）个体符号

如数字：

1、2、3、4…,0；

字母：

a、b、c…，

已知量：

a、b、c…，

常量：

π

变量：

x

习惯表示：

梯形的上底a、下底b、高h

（2）表示一类数的符号

表示小数、分数、负数、百分数（“.”、“——”、“－”、“％”）

（3）数的运算符号：

＋,－,×,÷（/、∶）

（4）关系符号:

=,≈,>,<,≠等。

（5）结合符号（体现运算等级）

（）、[]、{}

（6）表示角度的计量单位和等符号。

这些符号的引入是根据小学生的年龄、思维特点按照一定顺序、符合一定的逻辑、有步骤的引入的。

例如，初入学儿童在学习1―5的认识时,教材并没有直接呈现1到5这些数字让学生通过不断的识记背诵来记住它们，而是通过实物、画片，在具体情境中数“出1”头象，“2”头犀牛,“3”只长颈鹿，“4”朵云……，然后呈现数,这样能使学生把物和数字符号对应起来，让学生充分认识到数学符号所表示的意义，为学生以后的数学学习奠定了基础。

这就是新课标下的小学数学教材在处理符号在教材中渗透的一个亮点。

2.用符号代表数

引进用字母表示数，是用符号表示数量关系和变化规律的基础。

用符号表示具体情境中的数量关系，也像普通语言一样，首先要引进基本字母。

在数学语言中，像数字以及表示数字的字母，表示点的字母，运算符号，关系符号等，都是用数学语言刻画各种现实问题的基础。

从第二学段学生开始接触用字母表示数，是学习数学符号的重要一步。

从研究一个具体特定的数到用字母表示一般的数，是实现认识上的一个飞跃。

用具体的数和运算符号所组成的式子只能表示个别具体的数量之间的关系，而用字母表示，既简单明了，又能概括出数量关系的一般规律，在较大范围内肯定了数学规律的正确性。

比如，四年级下册第三部分——运算定律与简便运算，教材的第28页陈述加法交换律时，除运用日常语言外,还用了数学符号语言，即字母等式“a+b=b+a”。

在陈述加法结合律时也用了字母表达式“（a+b）+c=a+（b+c）”，另外在乘法交换律和结合律时也运用了字母表达式。

显然，它比用具体的数表示更加概括、明确，比用日常语言表示更加简明、易记。

乘法分配律亦如此，（a+b）×c=a×c+b×c，这里的a、b、c不仅可以表示1、2、3，也可以表示4、5、6、7……

又如长方形的面积计算公式s=a×b，平行四边形的面积公式s=ah。

通过以上各阶段的逐步过渡,学生将逐步领会用字母表示数的优越性,符号化思想也逐渐地初步形成。

3.用符号代表图形

如，在三年级（上）《数学广角》中安排比赛场次的问题,学生既可以按照书上的方法把4个国家的旗子画出来，也可以用简单的符号代替各个国家，示意性的安排比赛场次.

4.变元

变元（代数）在早期的主要特征是以文字为主的演算，到了16、17世纪数学家韦达、笛卡尔和莱布尼兹等数学家逐步引进和完善了代数的符号体系。

小学数学教科书在不同阶段,对变元的思想有不同水平、不同形式的渗透,

以便让学生逐步了解变元思想。

如，在不等式中用□或（）代表变元符号x，让学生填数。

虽然这样的题目只要求学生在“空格”中填一个数，但若将□或（）换成x，则上述题目就是一元一次方程，这即是变元思想。

可以说变元思想是列方程解应用题的基础。

学生一旦理解掌握了变元思想，那么对以后学习列方程解应用题将有很大的帮助。

5.用符号列方程，解决问题（以符号来表示未知数，以顺应的思路解决问题，符号的作用是使思考问题更简单）。

用方程来解应用题，解法本身蕴含着符号化思想，它主要体现在如下几个方面:

（1）代数假设，用字母代替未知数，与已知数平等地参与运算；

（2）代数翻译，把题中的自然语言表述的已知条件，译成用符号化语言表述的方程。

（3）解代数方程。

把字母看成已知数，并进行四则运算，进而达到求解的目的。

例如，解上面的应用题“每分钟浪费多少水?

”解决这道题时，首先就应该进行代数假设，用字母x代替每分钟浪费多少水，这就是用字母代替未知数，与已知数平等的参与运算；其次，是进行代数翻译，把题中的自然语言表达的已知条件，译成用符号化语言表述的方程30X=1800；最后，把字母看成已知数进行四则运算，达到求解的目的。

整个分析，解题过程,都涉及到了用字母代表数,变元思想等等,可以说是符号化思想在数学中的集中体现,对学生理解数学符号化思想及其意义都有重要价值。

新课标下的小学数学教材,把应用题的学习放在第三学段,一方面考虑到小学生的年龄思维特点,另一方面也根据符号化思想在数学教材中的渗透,把符号化思想提升到了一个新的高度。

综观小学数学教材,在符号化思想的渗透上,从最初的数学符号的引入,接着渗透了变元思想,然后到用字母符号代表数,最后过渡到列方程解应用题,有步骤,有层次的把符号化思想从朦胧状态转化到与小学数学的完美融合,可以说新教材设计的思路相当清晰,编制的也相当的完美。

二、小学数学中渗透数与形结合思想的教学策略

（一）小学数学教学中的数与形结合思想

问题1：

什么是数与形结合思想？

数与形是数学教学研究对象的两个侧面，把数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题，这就是数与形结合思想。

※数学家华罗庚曾说过：

“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”。

※美国数学家斯蒂恩也曾说过：

“如果一个特定的问题可以转化为一个图形，那么，思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法”

※要看到图形，借助数看图形！

※要看到数，借助图形看数！

※把数学画出来！

※把事物量出来！

由此可见，数与形结合思想在数学学习过程中的作用：

※促进了学生形象思维和抽象思维的协调发展

※沟通了数学知识之间的联系,从复杂的数量关系中凸显最本质的特征

它是小学数学教材编排的重要原则，也是小学数学教材的一个重要特点，更是解决问题时常用的方法。

问题2：

小学数学教材中数与形结合思想体现在哪些方面？

对于数与形结合思想，小学阶段主要是引导学生利用各种直观手段理解和掌握知识、解决问题。

主要在以下几个方面有所体现。

（1）数的表示

用直线上的点表示数，可以明确地表示出数的性质（有始无终，有序性等等）；

（2）计算中的形

运算的实物化、图形化和操作化，便于人们直观理解数和计算（摆小棒、画图形等）。

（3）解决问题中的形

※画线段图表示数量关系。

※解决问题的直观策略

（3）统计中的图形

条形统计图直观地反映出数量的多少，折线统计图形象地表示数量发展的趋势，扇形统计图鲜明地说明部分数量与整体数量之间的关系。

（4）函数的多重表示及坐标系

在小学数学教材中对于坐标系的认识是分阶段分步骤进行的：

由确定位置开始把学生的视角由一维引领到二维，为后边的认识坐标系，感受正、反比例的特性奠定基础。

结语：

对于我们的课堂不是没有思想的火花，而是缺少错落有致的思想之花；对于我们的课堂不是没有思想的枝叶，而是缺少绚丽多枝的思想之树。

引领学生生发一种对数学思想的钟爱、对思维的渴望和对完善自我的追求，这才是我们追求思想引领课堂的价值所在。

让我们一起追寻数学思想引领下的数学课堂，追求一种数学教育理想至真、至善、至纯的数学新境界，让思想的灵魂永驻我们的课堂。