数学23讲义+第8章 823 事件的独立性.docx

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数学23讲义+第8章823事件的独立性

8．2.3　事件的独立性

[读教材·填要点]

1．事件A，B独立

用Ω1表示第一个试验的全集，用Ω2表示第二个试验的全集，如果这两个试验是独立的，就称全集Ω1和Ω2独立．

当事件的全集Ω1和Ω2独立，对于A⊆Ω1和B⊆Ω2，有P（A∩B）＝P（A）P（B）．

2．事件A1，A2，A3，…，An相互独立

对于j＝1,2，…，n，用Ωj表示第j个试验的全集，如果这n个试验是相互独立的，就称这些试验的全集Ω1，Ω2，…，Ωn是相互独立的．

如果试验的全集Ω1，Ω2，…，Ωn是相互独立的，则对

A1⊆Ω1，A2⊆Ω2，…，An⊆Ωn，有

P（A1∩A2∩…∩An）＝P（A1）P（A2）…P（An）．

[小问题·大思维]

1．两个事件相互独立与互斥有什么区别？

提示：

两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，而相互独立的两个事件是可以同时发生的，相互独立事件和互斥事件之间没有联系．

2．公式P（A∩B）＝P（A）P（B）使用的前提条件是什么？

提示：

P（A∩B）＝P（A）P（B）使用的前提条件是事件A与事件B相互独立，同样的，只有当A1，A2，…，An相互独立时，这几个事件同时发生的概率才等于每个事件发生的概率之积，即P（A1∩A2∩An）＝P（A1）P（A2）…P（An）．

事件独立性的判断

[例1]　判断下列事件是否为相互独立事件．

（1）甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．

（2）容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．

[解]　

（1）“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．

（2）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．

两个事件是否相互独立的判断

（1）直接法：

由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．

（2）定义法：

如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．

（3）条件概率法：

当P（A）>0时，可用P（B|A）＝P（B）判断．

1．从一副扑克牌（52张）中任抽一张，设A＝“抽得老K”，B＝“抽得红牌”，判断事件A与B是否相互独立？

是否互斥？

是否对立？

为什么？

解：

由于事件A为“抽得老K”，事件B为“抽得红牌”，故抽得红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能抽到老K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更不是对立事件，以下考虑他们是否互为独立事件：

抽到老K的概率为P（A）＝＝，抽到红牌的概率P（B）＝＝，故P（A）P（B）＝×＝，事件A∩B即为“既抽得老K又抽得红牌”，亦即“抽得红老K或方块老K”，故P（A∩B）＝＝，从而有P（A）·P（B）＝P（A∩B），因此A与B互为独立事件．

相互独立事件同时发生的概率

[例2]　一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：

（1）第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；

（2）第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．

[解]　记：

“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A、B、C都是相互独立事件．

（1）P（A∩B）＝P（A）P（B）＝·＝·＝.

故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.

（2）P（C∩A）＝P（C）P（A）＝·＝·＝.

故第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.

2．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：

答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．

（1）求这名同学得300分的概率；

（2）求这名同学至少得300分的概率．

解：

记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai（i＝1,2,3），则P（A1）＝0.8，P（A2）＝0.7，P（A3）＝0.6.

（1）这名同学得300分的概率

P1＝P（A12A3）＋P（1A2A3）

＝P（A1）P

（2）P（A3）＋P

（1）P（A2）P（A3）

＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.

（2）这名同学至少得300分的概率P2＝P1＋P（A1A2A3）＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.

相互独立性事件概率的应用

[例3]　某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则

（1）三人都合格的概率；

（2）三人都不合格的概率；

（3）出现几人合格的概率最大．

[解]　记“甲、乙、丙三人100米跑成绩合格”分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，

则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝.

设恰有k人合格的概率为Pk（k＝0,1,2,3）

（1）三人都合格的概率：

P3＝P（A∩B∩C）＝P（A）P（B）P（C）＝××＝.

（2）三人都不合格的概率：

P0＝P（∩∩）＝P（）P（）P（）＝××＝.

（3）恰有两人合格的概率：

P2＝P（A∩B∩）＋P（A∩∩C）＋P（∩B∩C）

＝××＋××＋××＝.

恰有一人合格的概率：

P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.

综合

（1）

（2）（3）可知P1最大．

所以出现恰有1人合格的概率最大．

解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法的运用，即三个公式的联用：

P（A∪B）＝P（A）＋P（B）（A，B互斥），P（A）＝1－P（），P（A∩B）＝P（A）P（B）（A，B相互独立）．

3．在某项比赛的选拔赛中，种子选手M与B1，B2，B3三位非种子选手分别进行一场对抗赛，按以往多次比赛的统计，M获胜的概率分别为，，，且各场比赛互不影响．

（1）若M至少获胜两场的概率大于，则M入选比赛，否则不予入选，问M是否会入选比赛？

（2）求M获胜两场的概率．

解：

记M与B1，B2，B3进行对抗赛获胜的事件分别为A，B，C，M至少获胜两场的事件为D，则P（A）＝，P（B）＝，P（C）＝，事件A，B，C相互独立，用X表示“M获胜的场次”．

（1）则P（D）＝P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）＋P（ABC）＝××＋××＋××＋××＝，因为>，所以M会入选比赛．

（2）P（X＝2）＝P（D）－P（ABC）＝－××＝.

解题高手

妙解题

在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．

[尝试]　

[巧思]　根据题意，这段时间内线路正常工作，就是指3个开关中至少有1个能够闭合，这可以包括恰有其中某1个开关闭合、恰有其中某2个开关闭合、恰有3个开关都闭合等几种互斥的情况，逐一求其概率较为麻烦，为此，我们转而先求3个开关都不能闭合的概率，从而求得其对立事件——3个开关中至少有1个能够闭合的概率．

[妙解]　如图所示，分别记这段时间内开关JA，JB，JC能够闭合为事件A，B，C.由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响，根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不闭合的概率是

P（∩∩）＝P（）P（）P（）

＝[1－P（A）][1－P（B）][1－P（C）]

＝（1－0.7）（1－0.7）（1－0.7）＝0.027.

于是这段时间内至少有1个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是1－P（∩∩）＝1－0.027＝0.973.

答：

在这段时间内线路正常工作的概率是0.973.

1．坛子中放有3个白球和2个黑球，从中进行不放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1和A2是（　　）

A．互斥的事件　　　　B．相互独立的事件

C．对立的事件D．不相互独立的事件

解析：

选D　由互斥事件、对立事件、相互独立事件的定义可知，A1与A2不互斥也不对立，同时A1与A2也不相互独立．

2．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击，则他们同时中靶的概率是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　由题意知P甲＝＝，P乙＝，所以P＝P甲·P乙＝.

3．两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　设事件A：

甲实习生加工的零件为一等品；

事件B：

乙实习生加工的零件为一等品，则P（A）＝，P（B）＝，所以这两个零件中恰有一个一等品的概率为：

P（A∩）＋P（∩B）＝P（A）P（）＋P（）P（B）＝×＋×＝.

4．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，

则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．

解析：

甲、乙两人都未能解决为

＝×＝，

问题得到解决就是至少有1人能解决问题．

∴P＝1－＝.

答案：

5.在如图所示的电路图中，开关a，b，c闭合与断开的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率是________．

解析：

设“开关a，b，c闭合”分别为事件A，B，C，则灯亮这一事件为ABC∪AB∪AC，且A，B，C相互独立，

ABC，AB，AC互斥，所以

P＝P（ABC）＋P（AB）＋P（AC）

＝P（A）P（B）P（C）＋P（A）P（B）P（）＋P（A）P（）P（C）

＝××＋××＋××＝.

答案：

6．天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率为0.2，乙地的降雨概率是0.3，假定在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，计算在这段时间内：

（1）甲、乙两地都降雨的概率；

（2）甲、乙两地都不降雨的概率；

（3）其中至少一个地方降雨的概率．

解：

（1）甲、乙两地都降雨的概率为P1＝0.2×0.3＝0.06.

（2）甲、乙两地都不降雨的概率为

P2＝（1－0.2）×（1－0.3）＝0.8×0.7＝0.56.

（3）至少一个地方降雨的概率为

P3＝1－P2＝1－0.56＝0.44.

一、选择题

1．一枚硬币连掷三次，至少出现一次正面向上的概率是（　　）

A.　　　　　　　　B.

C.D.

解析：

选D　一枚硬币连掷三次，每次结果互不影响，相互独立．至少出现一次正面朝上的对立事件为三次全为正面朝下，概率为1－··＝.

2．荷花池中，有一只青蛙在成品字形的三片荷叶上跳来跳去（每次跳跃时，均从一叶跳到另一叶），而且逆时针方向跳的概率是顺时针方向跳的概率的两倍，如图所示，假设现在青蛙在A叶上，则跳三次之后停在A叶上的概率是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选A　青蛙跳三次要回到A只有两条途径：

第一条：

按A→B→C→A，

P1＝××＝；

第二条，按A→C→B→A，

P2＝××＝，

所以跳三次之后停在A叶上的概率为

P＝P1＋P2＝＋＝.

3．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选B　因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，，，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－××＝.

4．从甲袋内摸出1个红球的概率是，从乙袋内摸出1个红球的概率是，从两袋内各摸出1个球，则等于（　　）

A．2个球不都是红球的概率

B．2个球都是红球的概率

C．至少有1个红球的概率

D．2个球中恰好有1个红球的概率

解析：

选C　至少有1个红球的概率是

×＋×＋×＝.

二、填空题

5．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．

解析：

设从甲袋中任取一个球，事件A：

“取得白球”，则此时事件：

“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B：

“取得白球”，则此时事件：

“取得红球”．

∵事件A与B相互独立，∴事件与相互独立．

∴从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为

P（A∩B＋∩）＝P（A∩B）＋P（∩）

＝P（A）P（B）＋P（）P（）

＝×＋×＝.

答案：

6．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A，乙对B，丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5，假设各盘比赛结果相互独立．则红队至少两名队员获胜的概率为________．

解析：

记甲对A、乙对B、丙对C各一盘中甲胜A、乙胜B、丙胜C分别为事件D，E，F，则甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C分别为事件D，E，F，根据各盘比赛结果相互独立可得红队至少两名队员获胜的概率为：

P＝P（DEF）＋P（DEF）＋P（DEF）＋P（DEF）

＝P（D）P（E）P（F）＋P（D）P（E）P（F）＋P（D）P（E）·P（F）＋P（D）P（E）P（F）

＝0.6×0.5×（1－0.5）＋0.6×（1－0.5）×0.5＋（1－0.6）×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.

答案：

0.55

7．某次知识竞赛规则如下：

在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于________．

解析：

此选手恰好回答4个问题就晋级下一轮，

说明此选手第2个问题回答错误，

第3、第4个问题均回答正确，

第1个问题答对答错都可以．

因为每个问题的回答结果相互独立，

故所求的概率为1×0.2×0.82＝0.128.

答案：

0.128

8．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是________（写出所有正确结论的编号）．