全国卷Ⅰ理科数学含答案数学理科.docx
《全国卷Ⅰ理科数学含答案数学理科.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《全国卷Ⅰ理科数学含答案数学理科.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
全国卷Ⅰ理科数学含答案数学理科
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题:
本题共12小题,每小题5分,共60分。
1.若z=l+i,则lr-2zl=
A.0B.1C.72D.2
2.设集^A={xLr^<0},B=(.d2x+<0},且ACB={.d-2gl},则“=
A.-4B.-2C.2D.4
3.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的髙为边长的正
方形面积等于该四棱锥一个侧而三角形的面积,则其侧而三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值
为
A.虽1B.逅C.逅11D.逅±1
4242
4.已知A为抛物线C:
y2=2p.Y(p>0)上一点,点A到C•的焦点的距离为12,到y轴的距离为9,则尸
A.2B.3C・6D・9
5.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位:
°C)的关系,在20个不同的温度
条件下进行种子发芽实验,由实验数据(心X)(i=l,2,….20)得到下而的散点图:
由此散点图,在i(rc至40。
(:
之间,下而四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程
类型的是
6.函数/(x)=x4-2x3的图像在点(h/⑴)处的切线方程为
A.y=-2x_lB.y=-2x+lC.y=2x-3D.y=2x+l
7•设函数/(x)=cos(fyx+—)在[-兀,兀]的图像大致如下图,则•心)的最小正周期为
8.(x+^-)(x+y)5的展开式中Qv3的系数为
x
9.已知ae(O,7r),且3cos2a-8cosa=5,贝ijsina=
752175
A.B.—C.—D・
3339
10.已知A,B,C为球0的球而上的三个点,为AABC的外接圆,若00]的而积为4兀,
AB=BC=AC=OC\,则球O的表而积为
A.64兀B.487TC.36兀D.32兀
11.已知OM:
x2+y2-2x-2y-2=0,直线/:
2x+y+2=0,P为/上的动点,过点P作OM的切
线PA,PB,切点为A.B,当IPM\\AB\最小时,直线力3的方程为
A.2x-y-1=0B.2x+y-1=0C.2x-y+l=0D.2x+y+l=O
12.若2°+log"=4°+2log』,则
A.a>2bB・ab2D・a二、填空题:
本题共4小题,每小题5分,共20分。
2x+y-2<0.
13.若X,y满足约束条件*x--1>0,则z=x+ly的最大值为.
丿+lna
14.设a上为单位向量,且la+〃l=l,贝ijla1=.
22
15.已知F为双曲线C:
二-二=1(“>0上>0)的右焦点,A为C的右顶点,B为C上的点,且BF垂直于x
轴.若AB的斜率为3,则C的离心率为.
16.如图,在三棱锥P-ABC的平而展开图中,AC=hAB=AD=*,AB丄AC,AB丄AD,ZCAE=30°,
则cosZFCB=
三、解答题:
共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
(-)必考题:
共60分。
17.(12分)设{叩是公比不为1的等比数列,吗为也,①的等差中项・
(1)求{①}的公比;
(2)若q=l,求数列{nan}的前几项和.
18.(12分)
(1)证明:
Q4丄平而PBC:
(2)求二而角B—PC—E的余弦值.
19.(12分)
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约泄赛制如下:
累计负两场者被淘汰:
比赛前抽签决泄首先比赛的两人,另一人轮空:
每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结朿.
经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为丄,
2
(1)求甲连胜四场的概率:
(2)求需要进行第五场比赛的槪率;
(3)求丙最终获胜的概率.
20.(12分)已知A.B分别为椭圆E:
4+/=1(Q1)的左、右顶点,G为E的上顶点,AG=
cC
P为直线x=6上的动点,胡与E■的另一交点为GPB与E的另一交点为D.
(1)求E的方程:
(2)证明:
直线CD过左点.
21.(12分)已知函数f(x)=cx+ax2-x.
(1)当时,讨论/(x)的单调性:
(2)当总0时,/(x)N丄斤+1,求"的取值范围.
2
(-)选考题:
共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
22.[选修4—4:
坐标系与参数方程](10分)
X=cos'f,
在直角坐标系中,曲线C]的参数方程为・(•(,为参数).以坐标原点为极点,X轴正半轴为
y=sint
极轴建立极坐标系,曲线G的极坐标方程为4QCOs8-16Qsin&+3=0・
(1)当时,G是什么曲线?
(2)当《=4时,求G与G的公共点的直角坐标.
23.[选修4一5:
不等式选讲](10分)
已知函数/(a)=13x+1I-2Ix-1I.
(1)画出y=.fM的图像;
(2)求不等式+的解集.
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学试题参考答案(A卷)
选择题答案
一、选择题
1.D2・B
3.C4.C5・D6.B7.C8.C9・A10.A11.D12.B
非选择题答案
二、填空题
13.1
3.解答题
17.解:
(1)设{%}的公比为°,由题设得2竹=勺+。
3,即20=叩+曲
所以—2=0,解得q=\(舍去),g=_2.
故{陽}的公比为一2.
(2)设S“为{,“}的前"项和•由
(1)及题设可得,山=(-2严.所以
S”=1+2x(―2)+…+“x(—2)"-',
-2S„=-2+2x(-2尸+…+(“-1)x(-2)"“+nx(_2)".
可得35,,=1+(-2)+(-2)2+…+(一2严一nx(一2)”
=hx(-2)・
3
所丄3空.
99
18.解:
(1)设DO=a,由题设可得PO=§~a、AO=^~gAB=u,
63
PA=PB=PC=—a-
2
因此PA24-PB1=AB2»从而Q4丄PB.
又PA2+PC2=AC2,从而PA丄PC.
所以P4丄平面PBC.
(2)以O为坐标原点,呢的方向为y轴正方向,丨呢I为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
O-xyz.
由题设可得E(O,1,O),A(O,-1,0),C(—£,£,0),P(0,0,f.
所以瓦=(
m・EP=0设m=(兀”z)是平而PCE的法向量,贝%一
m・EC=0
可取心(-牛皿).
由⑴知於(。
呼是平面心的-个法向量,记5,
tint
l/illml
所以二而角B-PC-E的余弦值为弋一・
19.解:
(1)甲连胜四场的概率为丄・
1O
(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.
比赛四场结朿,共有三种情况:
甲连胜四场的概率为丄:
16
乙连胜四场的概率为丄:
16
丙上场后连胜三场的概率为,O
1113
所以需要进行第五场比赛的概率为+・
161684
<3)丙最终获胜,有两种情况:
比赛四场结朿且丙最终获胜的概率为!
.
O
比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:
胜
胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为丄,I・
1688
因此丙最终获胜的概率为・
816X816
20•解:
(1)由题设得A(p,0),B(“,0),G(0,1)・
则AG=(at\)>GB=(",T)•由走•而=8得o2-",即“=3.
所以E的方程为y+r=i.
(2)设C(.¥1,yi),D(X2,J2)fP(6,/)・
若*0,设直线CD的方程为g”y+”,由题意可知-3由于直线用的方程为尸彳(x+3),所以V]=^3+3).
直线的方程为尸;(心3),所以)5-3)・
'33
可得3yi(.¥2-3)=yi(xi+3)・
由于守+),;=1,故衣=—if,_—,可得27y2y2=-(x,+3)(x,+3),
即(27+m2)yxy2+m(n+3)(y〕+y2)+(n+3)2=0•①
代入①式得(27+〃/)(/—9)-2m(n+3)mn+(n+3)2(m2+9)=0.
3
解得〃—3(含去),%
33
故直线CD的方程为x=/;/y+-,即直线CD过尬点(-,0)・
3
若=0,贝IJ直线CD的方程为〉=0,过点(70〉・
3
综上,直线CD过定点(丁,0)・
2
21•解:
(1)当“=1时,/(X)=€”+疋一上则/V)=ev+2v-l.
故当xW(p,0)时,•厂(力<0;当xW(0,+oo)时,/V)>0.所以/(x)在(Y,0)单调递减,在(0,+00)单调递增.
(2)f(x)>|x3+l等价于(討-ax2+X+l)e-1<1.
设函数g(A-)=(|x3-^2+x+1)/(x>0),贝I]
13
g"(x)=-(—x3—ax1+x+l-―X,+2or-l)c7
22
=--4x2-(2a+3)x+4
2
=_*x(x—2a—1)(.¥—2)e-t.
(i)若加+1W0,即则当xw(0,2)时,g'(x)>0.所以g(a)在(0,2)单调递增,而g(0)
=1,故当xW(0,2)时,g(x)>1,不合题意.
(ii)若0<2“+1<2,即—*<"<[,则当xG(0,2“+l)U(2,+00)时,gOXO:
当xW(2“+l,2)时,g'(x)>0.
所以g(x)在(0,加+1),(2,+oo)单涮递减,在(加+1,2)单调递增•由于g(0)=l,所以g(x)勺当且仅当
7-e2
g
(2)=(7一4")「匕1,即心・
4
7-e21
所以当—时,g(烧L
(iii)若2«+1>2,即心*,则g(x)<(^x3+A-+l)e-\
7-e21|
由于0e[—j-,-),故由(h)可得(于'+x+l)「yL
故当a>^时,^(x)7-e2
综上,“的取值范围是[J-、+oo)・
4
兀=cost
22.解:
当时,G:
".'消去参数/得x2+r=it故曲线g是圆心为坐标原点,半径为1的圆.
y=sinr,
{
x=cos't
一・丄•消去参数f得c:
的直角坐标方程为石+J7=1・
y=sinf,
C的直角坐标方程为4x-16y+3=0.
解得
1
>,=4
4x+y[y=h
4x-16y+3=0
故G*的公共点的直角坐标为虽).
23.解:
(1)由题设知/(x)=
x+3,x>1.
y=/u)的图像如图所示.
(2)函数y=/(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=/(x+l)的图像.
7I]
y=/(a)的图像与y=/(x+D的图像的交点坐标为・
66
7由图像可知当且仅当x<~时,y=f(x)的图像在y=/(x+l)的图像上方,
□
7
故不等式/(x)>/(x+l)的解集为(-00、-£)・
O