人教A版版高中数学必修五课时作业含答案19.docx
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人教A版版高中数学必修五课时作业含答案19
课时作业(十九)
1.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n(n∈N*),则a100的值是( )
A.9900 B.9902
C.9904D.11000
答案 B
解析 a100=(a100-a99)+(a99-a98)+…+(a2-a1)+a1
=2(99+98+…+2+1)+2
=2·+2=9902.
2.已知数列{an}中,a1=1,an+1=,则这个数列的第n项an为( )
A.2n-1B.2n+1
C.D.
答案 C
解析 ∵an+1=,∴=+2.
∴为等差数列,公差为2,首项=1.
∴=1+(n-1)·2=2n-1,∴an=.
3.在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln(1+),则an等于( )
A.2+lnnB.2+(n-1)lnn
C.2+nlnnD.1+n+lnn
答案 A
4.数列{an}满足a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1是首项为1,公比为2的等比数列,那么an等于( )
A.2n-1B.2n-1-1
C.2n+1D.4n-1
答案 A
5.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍):
第1行
1
第2行
2 3
第3行
4 5 6 7
……
……
则第8行中的第5个数是( )
A.68B.132
C.133D.260
答案 B
解析 前7行中共有1+2+22+…+26=27-1=127个数,则第8行中的第5个数是127+5=132.
6.若数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且对于任意大于1的整数n,点(,)在直线x-y-=0上,则数列{an}的通项公式为__________.
答案 an=4n-2
7.数列{an}中,a1=3,an+1-2an=0,数列{bn}的通项满足关系式anbn=(-1)n,(n∈N*),则bn=__________.
答案
8.在数列{an}中,a1=1,an+1=an,则数列{an}的通项公式an=________.
答案 n
解析 an=··…···a1
=··…··=n.
9.已知数列{an}满足an+1=3an+2,且a1=1,则an=________.
答案 2×3n-1-1
解析 设an+1+A=3(an+A),化简得an+1=3an+2A.
又an+1=3an+2,∴2A=2.则A=1.
∴an+1+1=3(an+1),即=3.
∴数列{an+1}是等比数列,首项为a1+1=2,公比为3.
则an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1.
10.(2013·新课标全国Ⅰ)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式是an=________.
答案 (-2)n-1
解析 ∵Sn=an+,①
∴当n≥2时,Sn-1=an-1+.②
①-②,得an=an-an-1,即=-2.
∵a1=S1=a1+,∴a1=1.
∴{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列.
∴an=(-2)n-1.
11.已知数列{an}满足a1=33,an+1-an=2n,则的最小值为________.
答案
解析 在an+1-an=2n中,令n=1,得a2-a1=2;令n=2,得a3-a2=4,…,an-an-1=2(n-1).
把上面n-1个式子相加,得an-a1=2+4+6+…+2(n-1)==n2-n,∴an=n2-n+33.∴==n+-1≥2-1,当且仅当n=,即n=时取等号,而n∈N*,∴“=”取不到.∵5<<6,∴当n=5时,=5-1+=,当n=6时,=6-1+==,∵>,∴的最小值是.
12.(2012·湖北)已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为8.
(1)求等差数列{an}的通项公式;
(2)若a2,a3,a1成等比数列,求数列{|an|}的前n项和.
解析
(1)设等差数列{an}的公差为d,则a2=a1+d,a3=a1+2d.
由题意得
解得或
所以由等差数列通项公式,可得
an=2-3(n-1)=-3n+5或an=-4+3(n-1)=3n-7.
故an=-3n+5或an=3n-7.
(2)当an=-3n+5时,a2,a3,a1分别为-1,-4,2,不成等比数列;
当an=3n-7时,a2,a3,a1分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
故|an|=|3n-7|=
记数列{|an|}的前n项和为Sn.
当n=1时,S1=|a1|=4;
当n=2时,S2=|a1|+|a2|=5;
当n≥3时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)
=5+=n2-n+10.
当n=2时,满足此式.
综上,Sn=
►重点班·选作题
13.已知Sn=4-an-,求an与Sn.
解析 ∵Sn=4-an-,∴Sn-1=4-an-1-.
∴Sn-Sn-1=an=an-1-an+-.
∴an=an-1+()n-1.
∴-=2.∴2nan-2n-1an-1=2.
∴{2nan}是等差数列,d=2,首项为2a1.
∵a1=S1=4-a1-=2-a1,
∴a1=1.∴2nan=2+2(n-1)=2n.
∴an=n·()n-1.
∴Sn=4-an-=4-n·-=4-.
14.某地区位于沙漠边缘,人与沙漠进行长期不懈的斗争,到2002年底全地区的绿化率已达到30%,从2003年开始,每年将出现以下变化:
原有沙漠面积的16%将栽上树,改造为绿洲,同时,原有绿洲的面积的4%又被侵蚀,变为沙漠.
(1)设全区面积为1,2002年底绿洲的面积为a1=,经过1年(指2003年底)绿洲面积为a2,经过n年绿洲面积为an+1,求证:
数列{an-}为等比数列;
(2)问:
至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%(年数取正整数).
解析
(1)证明:
因为2002年底绿洲面积为a1=,所以2002年底的沙漠面积为1-a1=,经过n-1年后绿洲面积为an,沙漠面积为1-an,由题意得,再过一年,即经过n年后,绿洲面积为an+1=(1-an)×16%+an(1-4%),即an+1=an+.
所以an+1-=(an-).
又因为a1-=-=-,
所以数列{an-}是以为公比,-为首项的等比数列.
(2)由
(1)知,an-=(-)×()n-1,所以an=-·()n-1.
设经过n年的努力可使全区的绿洲面积超过60%,即an+1>60%.
所以-·()n>,所以()n<.
验证n=1,2,3,4时,()n>.
当n=5时,()5=<,
故至少需要5年的努力,全区的绿洲面积超过60%.
例1 已知数列{an}满足关系a1=,且an+1=an-3,求an.
【解析】 方法一 (归纳法)∵a1=,an+1=an-3,
∴a2=a1-3=-3,
a3=a2-3=--3,
a4=a3-3=---3,
…
猜想:
an=---…--3
=-3
=-3×
=(+6)-6.
方法二 (迭代法)由an+1=an-3,得an=an-1-3,…
∴an+1=an-3=-3
=an-1--3
=--3
=an-2---3
=…
=a1---…--3
=-
=(+6)-6.
∴an=(+6)-6.
方法三 (构造法)∵an+1=an-3, ①
∴an=an-1-3. ②
①-②得an+1-an=(an-an-1).
∴{an+1-an}是以a2-a1=-a1=-a1-3=--3为首项,公比为q=的等比数列.
∴an+1-an=·n-1.
∴an-an-1=·n-2.
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=+
=+·
=(+6)-6(n∈N*).
方法四 由an+1=an-3,把此式两边同加上6,得
an+1+6=(an+6).
可见数列{an+6}是首项为a1+6=+6,公比为的等比数列.
∴an+6=(+6)n-1,∴an=(+6)-6.
【讲评】 以上我们探讨了此类问题的四种解法,每种解法都以等比数列为基础,采用不同的思维方法使问题得以解决,建议重点掌握方法四!