傅里叶级数及其应用论文.docx
《傅里叶级数及其应用论文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《傅里叶级数及其应用论文.docx（30页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
傅里叶级数及其应用论文
傅里叶级数及其应用
专业：
数学与应用数学
班级：
姓名：
1傅立叶级数的计算5
1・1傅立叶级数的几何意义5
1.2傅里叶级数的敛散性问题10
1-3傅里叶级数的展开11
1.4尖于傅里叶级数展开的个别简便算法16
1.5利用二元函数微分中值定理研究函数性质19
2傅里叶级数的相尖定理及其应用21
2」n元函数中值定理及其几何意义21
2.2利用“元函数微分中值定理研究函数的性质28
3微分中值定理在复数域上的推广32
3.1复数域上的中值定理32
3・2利用复数域内中值定理研究函数性质36
结论39
致谢40
41
参考文献
摘要
为了更好地认识和应用微分中值定理，使微分中值定理能够最大的发挥其重要作用，在深刻理解和掌握教材内微分中值定理的基础上，将微分中值定理在n元函数以及复数域内推广及应用加以探讨.首先根据一元函数微分中值定理的内容，给出了罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理、泰勒中值定理公式的统一形式.而后又仿照一元函数微分中值定理的形式对教材中二元函数微分中值定理进行补充，给出了二元函数罗尔定理、柯西中值定理和二元函数泰勒中值定理的表述，并且构造“辅助函数”给出了证明过程，然后讨论了二元函数罗尔定理与拉格朗日定理的几何意义•接着通过对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出了n元函数罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理和泰勒中值定理的表述形式，而后同样借助构造的“辅助函数”把n元函数转化为一元函数，进而给出了四个定理的证明，并通过几个典型例题验证了n元函数微分中值定理的可用性.最后从二元函数微分中值定理着手，给出了复数域上的罗尔定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的表述形式，同时通过几个例题验证了复数域上微分中值定理的可用性.
尖键词：
n元函数；微分中值定理；几何意义；复数域
Abstract
InordertoUnderstandandmakebetterUSeOfthedifferentialmeanvaluetheoremWhiChCanPlayalargestroleinapplication,Weexplorethegeneralizationandtheapplicationofthedifferentialmeanvaluetheoreminn-VariablefunctionsandcomplexfieldbasedontheCOmPrehensionandmasteryofthedifferentialmeanvaluetheoremintextbook.Atfirst,accordingtothedifferentialmeanVallietheoremofone-variablefunCtion,WegivetheUnifOrmofRolletheorem,Lagrangetheorem,CallChymeanValUetheorem,TaylormeanVallietheorem.ThenWecomplementthedifferentialmeanValUetheoremoftwo-variablefunCtionintextbookfollowingone・VariablefunCtion,givetheexpressionsofRolletheorem,CallChymeanValUetheorem,TaylormeanValUetheoremoftwo-variablefunction,conStitUteauxiliaryfunctionandgivetheproofprocedure,discussthegeometricSignificaneeoftheRolletheoremandLagrangetheoremoftwo-variablefunCtion.Later,WegivetheexpressionsoftheRolletheorem,Lagrangetheorem,CallChymeanvaluetheorem,TaylormeanvaluetheoremofVariablefunctionbyCOmParingthedifferentialmeanvaluetheoremofone・variablefunctionandtwo-variablefunction.Similarly,byconStitUtingauxiliaryfunction,WeChangen-Variablefunctionintoone-variablefunctionandgivetheproofoffourtheorems.CheCktheavailabilityofthedifferentialmeanvaluetheorembysometypicalexamples.Atlast,PrOCeedfromthedifferentialmeanValUetheoremoftwo-variablefunction,WegivetheexpressionsofRolletheorem,Lagrangetheorem,CallChymeanvaluetheoremincomplexfieldandCheCktheavailabilityofthedifferentialmeanValUetheorembysometypicalexamplesattheSametime.
Keywords:
n-Variablefunction;differentialmeanValUetheorem;geometricSignificanee;complexfield
引言
微分中值定理是微分学的核心定理，它是联系函数与导数的桥梁，微分中值
定理把函数在某个区间上的函数值与其导数值联系起来，应用局部状态的导数研究函数在区间上的“整体”性态，它是研究函数性态的重要工具.
在大学四年的学习中，已经掌握了一些有尖一元微分中值定理的内容，我们
知道一元函数的罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理分别建
立了函数与一阶导数的尖系和函数与高阶导数的尖系•在实际应用中，很多情况要突破一元微分学和平面领域这些局限，为了更好的利用微分学中值定理这个重要工具，需要把它的应用范围加以扩展，使之能够在n元微分学即n1维空间以
及复数域上得以使用・
本文将分三部分对微分中值定理进行推广，第一部分中，首先从数学分析教
材入手，梳理教材中学过的有尖一元函数微分中值定理的相尖内容，进而研究一元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，泰勒中值定理之间的尖系，试图找出统一的中值公式，通过这个公式全面认识这四个定理.其次，对照一元函数微分中值定理的分析研究，探讨二元函数罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理，二元函数泰勒中值定理的形式及成立的条件，然后探讨定理之间的尖系，找到统一的中值公式，透过这个公式再认识微分中值定理，接着仿照一元函数微分中值定理给出证明及其几何意义•第二部分中，对比一元函数与二元函数微分中值定理，给出n元函数微分中值定理的成立条件和中值公式，同样通过构造
“辅助函数”证明定理成立，并自由想象多元函数微分中值定理的几何意义•第
三部分中，从二元函数微分中值定理入手，仿照二元函数中值定理的形式，探讨微分中值定理在复数域上的表述•接着再通过构造“辅助函数”给出定理证明.
1傅立叶级数
自然界中周期现象的数学描述就是周期函数•最简单的周期现象，如单摆的摆动等，都可以用正玄函数y"sinWt或余弦函数y=acoswt表示.但是，复杂的周期现象，如热传导、电磁波以及机械振动等，就不能仅用一个正弦函数和余弦函数表示，需要用很多个甚至无限多个正弦函数和余弦函数的叠加表示•因此，傅里叶级数就应运而生•傅里叶级数就是将周期函数展成无限多个正弦函数与余弦函数之和的一种解决问题的简便方法•其主要是研究级数的敛散性问题，从而利用傅里叶级数解决其他生活中的很多相尖问题•傅里叶级数应用到我们生活中的各个角落，主要是在数字信号处理等方面有重要应用，为我们的生活无私的奉献着.
1.1一元函数中值定理及其几何意义
从“几何”的角度来看待傅里叶级数，当我们把一个周期函数表达成傅里叶级数时，其实我们只是在做一个动作，那就是把函数“投影”到一系列由三角函数构成的坐标轴上.
考虑一个简单的二维平面的例子•如下图所示，给定两个向量U和V,从U的末端出发作到V所在直线的垂线，得到一个跟V同向的新向量P•这个过程就称作U到V所在直线的投影，得到的新向量P就是U沿V方向的分量。
图中的系数C是p跟V的比例，也就是U在V轴上的“坐标”•可以用尺规作图来完成投影这个动作，问题是：
如果给定的向量U和V都是代数形式的，怎么用代数的方法求
C?
图片1:
向量u到V所在直线的投影
知道u—CV这个向量是“正交"于V的，用数学语言表达就是（U-CV）Tv=O.
马上就可以得到C的表达式如下:
T
UVC—
W
（1）
U=CiViC2V2
y4
图片2：
向量U在正交基｛vbV2｝上的展开
从图上来看，⑵式其实说的是可以把U“投影"到Vi和匕这两个坐标轴
上，G和C2就是U的新“坐标”•问题是：
怎么求G和C2呢？
利用之前尖于投影的
讨论，可以直接得出答案，直接利用⑴式就可以得到如下的表达式：
UVitUV2
Ct；1〜
V,V,V2V2
如果想把一个向量在一组正交基上展开，也就是找到这个向量沿每条新
“坐标轴”的“坐标”，那么我们只要把它分别投影到每条坐标轴上就好了，也就是把⑴式中的V换成新坐标轴就好了•这些东西跟傅里叶级数有什么尖系？
给定一个周期是21的周期函数fX,它的傅里叶级数为：
f（x）=a+瓦i1anCOSn-A+bnSin-nAX
n±llIIJ
其中系数表达式如下:
Lf（X）dxa°21；
1zn二XJ
fXcosdX
I
an=1,n_1
1_k
Lf（X）Sin亍dx
bni—,n_1
从几何角度来看，fX可以用下面这组由无限多个三角函数（包括常数）组成
的"正交基”来展开，＜1,cos-xSnx,cos2LX）Sin2-x
Illi
从几何投影的观点来看待傅里叶级数，理解变得更加容易，因为容易理解投影的概念；同事，傅里叶级数所有的公式都可以轻松的记住，想忘记都难了•还可以尝试着用不同的角度去看待同一个问题，这样做会发现更多的简便方法和问题.
1.2傅里叶级数的敛散性问题
定义1若函数fX在区间丨a.b〕除有限个第一类剪短点外皆连续，则称函数f
X在a,b］逐段连续.若函数fX与它的导函数f・X都逐段连续，贝y称函数fX在丨a,b1逐段光滑•
显然，逐段光滑的函数是可积的.
1.2.1相尖定理
定理1若fX是n元函数f在凸区域R上以2二为周期的在〔-二，」逐段光滑
的函数，则函数fX的傅里叶级数在R收敛，其和函数式-fX0fX-0,
即-X-I-二，有
1a
fXO产fX・O°・--Z：
：
anCnXbnOnX.SSin
2~2n
，使得
ZfX'（Xio+MX|,X20+%X2,iII,Xno+%Xn）也X=0・
i4
特别地'当n=1时，7fx：
Xi0r%X2oTx2,II（,Xno•八XnAXi=O变为i=i
O=fXodX・X。
汕〕X・Xo・
因为X=Xo所以，rXovX-Xo=o,〔三［0.1.1卩
fc=0,CXo,X・
这就是一元函数的罗尔定理的公式•
n元函数罗尔定理的几何意义：
在ni维空间里，闭区域D上有连续超曲面y
=fXoX",lll,Xn。
，超曲面上每一点都存在超切平面，且在超曲面的底面与XikHXnj面平行，则超曲面上至少有一点C"2,川，n「，2川「，使得过该点的超切平面平行于XikHXnd面.
定理2（n元函数拉格朗日定理）设n元函数f在凸区域DR"上连续，
在D的所有内点都可微，对D内任意两点，P（X1o+41,X2o+425IH,Xno＜），RXio,X2oJILXnO-D，"0,1，使得
fXi。
”,惫「吠2,IH,Xno=Xn・fXio5X2oJlhXnO
n
（2-i）
fX；Xion%X2o•n〉X2」II,Xnor>Xn-\Xi.
iZi
证明令,H-fXiot->Xi,X2otX2n|Xno.tXn5oAtAi・
它是定义在o,i上的一元函数，由定理中的条件知t在o,i1上连续，在o,i
内可微，于是根据一元函数微分中值定理，HWOI，使得
「1,迁O=v
由复合函数的求导法则
门门i：
JXiOrlXl,X20TX2,|H,XnOr）XnAXrlll
fxnXlOrlXl,X20XX2J|H,XnO*n%UXn・
n
Afx；XioVXl,X20-"X2N|,XnO-"XnUXi,〔e[0,1-
i4
而A-J。
=fX10-,%X20]）|,Xno「％-fXlO,X2oJlhXnO•所以，
fXl0fi,X20rX2,|H,XnO=Xn-fXiO,X2oJlhXnO
=、fx；Xior%X2orlX2,HI,Xnor'Xn二Xi•
住
特别地，当n=1,则由（2-1）式有
fX-fXo=fXodX-XoMX-Xo,0：
）：
1•
这就是一元函数的拉格朗日中值公式.
n元函数拉格朗日定理的几何意义：
在n1维空间里，闭区域D上有连续超曲面y=fXio,X2o,IH,Xno,超曲面上每一点都存在超切平面，超曲面被超平面’所切得面「则超曲面上至少有一点C^Jfln^.2,|Ihn,使得过该点的超切曲面平行于面二定理3（n元函数柯西中值定理）设n元函数f和g在凸开域DFT上连
续，在D内尖于各个变元具有连续的偏导数，对D内任意两点R（Xl0,X20L,Xne）,
n
P2（Xl0j1,X20nX2,||（,XnO=Xn）-D,>F（Xw叹,・・・IXn"・=Xn*XAZ0，则有i#
f（X£「叹，IILXnOrXn）—f（X。
丨H,Xn。
）
g（Xw「％JI|,XnO=Xn）—g（Xiojl|,Xno）
>fX（X,0r：
XlJ[|
XneTXn）UXi
Xgxj（XlOr>Xi,
i4
5Xno-HXn）AXi
证明首先证明g（Xo%
*XnoUXn）-g（XieL*XnO）=°'用反证法•假设
g（XlO次1,…,Xno*）-g（Xio,...,Xne）=0•即
Q（XlO:
•=Xl,XnO・VXn）=g（XlO,・••，Xno）.
根据n元函数的罗尔定理，二（0,1）,使得
n
\■gx.（Xior>Xi,...,Xno•八Xn）AXi=0,
i4
与已知条件送g：
（Xio+GAXi,.,Xno+陋Xn）AXi芒0矛盾・
id
其次作辅助函数
7（t）=f（XiOthi,,XnOtAXn）・f（XiO,,XnO）・
f（XlO...,XnO=Xn）-f（XlO,,XnO）「
[g（XlO+2Xi,,XnO+tAXn）-g（XlO,,Xno）],
g（XlOXnO=Xn）-g（XlO，•••,Xno）
其中ost?
.由定理中的条件知屮（t）在[0,1]上连续，在（0,1）内可微，且空1
0,?
（0）=0，根据一元函数的罗尔定理，存在”0—1）使得？
0=0•由复合函数的
求导法则
n
（7）Afx（Xwrxi,---,XnoXXn）AXi-
—罟
nX）・iX
g（X°+AXlllnXQnA）gI
黑4JgOX（）XorX1|,nX芥
1X）,HPX]）
又?
（R=0•所以，
f（Xw•*■・・・,XnO'Xn）一f（Xw.・・・,Xno）g（XlO1X1,,XnO=Xn）—g（XlO,,XnO）
Pfx；（XlO，"Xi,…，Xno*n>Xn）.IXi二早，（0—：
:
1）•
>gXi（XiOXi,...,XnoUlXn）"i
i4
函数在一点的导数表示的是曲线在这点的切线，一元函数微分中值定理表示的是过一点的切线与割线的位置尖系•那么当函数变为n元函数时，中值
定理又对应着怎样的几何意义呢？
通过对一元函数泰勒中值定理与二元函数泰勒中值定理的探讨，不难有这样的问题：
在n元函数与高阶导数有怎样的矢系，泰勒中值定理又会变成怎
样的形式呢？
定理4（n元函数的泰勒中值定理）设函数U=f（Xi,X2,IK,xn）在点
P°（Xq,X2。
川,Xne）的某一邻域U（P）内连续，且具有一阶及二阶连续偏导数>（Xio-■%X20rX2,H（,Xno*Xn）-U（Po）,则才（0,1）,使得
f（XiO「Xi,X20=X2，…，Xno•LXn）
=f（Xio,X2oJI|,Xno）八小2£^）<丄％R,
-Xi
其中Ri=|JJ斑
2!
7j±....XpXjj
证明考虑函数
（t）=f（Xiot%X2ot%,jXnot:
Xn），。
红，.
W）=f（Xio,X2o,,Xno）,（i）=f（Xio•%X2oU,XnoAXn）•
由于函数U=f（Xi,X2,,Xn）在点Po（Xg,…,Xn。
）的某一邻域U（P。
）内连续，
并且具有一阶及二阶连续偏导数'从而复合函数tXi,X2otXX,XnotXn）
在t=0的邻域内对t有连续的一阶及二阶导数•由一元函数的泰勒公式可以得
因为
「（t）亠伙——2叫川％2
1
Axi
（PYt）=J2Af（XlO+tAXl,X2O+tAX2,IIi,XnO+tAXn）ydt1
^^20-2^^_XftCLS%呜・
.XpX
所以,
（0）J叫X,,启Xi
2
XnoTtUXn..
xrX・
nvnHXioTtVXi,X2oVX2,Ut）..IXiXj
把Xo）J（O）JGt）代入（2・2）式后再令t=1，便得到泰勒公式
fXiOrXi,X20=X2JII，Xno=Xn
-f（Xl0,X20,,XnO
其中T二fx°U皿二u.
-X:
Xj
如果设函数U=f（Xl,X2,,Xn）在点Po（XlO,X2O,…,Xne）的某一邻域U（P。
）内连续
且具有阶连续偏导数，（xWXao*…,XnoJn）-U（Po）,则d・（0,1）,
使得
fXl0rx1,X20「％，川'人0
=f（Xo,X2o,IH,XnO）+》肓&汗分aX
k'Hf（X10,X20J[[/nO）+Rn,
其中Rn=實iWf（xio'x2oJ[[-no）4X（n-ktizXif（x°+陋X,,川,X"°+0%X"）,这称为拉格朗
・Xi
日余项.
证明作辅助函数r（lHXio-t\Xi,X20-t\X2Jn,XnO-r：
Xn，0_t_1.
将*（O）Hf（XwX20,…'Xn。
）,n1）=f（Xl0「上1彳2oX,…,Xno*Xn）,
'5）（0）代入（2-3）
（O）=f（X10,X20,,Xno）,
（1）=f（X10=Xl,X20•―•X2；,XnOIXn）.
因为
“n少愉w.xnotXmXi
dt仮
用数学归纳法可以得到
：
（k）（Jf%4辿Xif（Xwt%|H,Xno«t：
Xn），（kh2…’n）・
-X
由一元泰勒公式
式得
fXlO,H,XnO=Xn
=f（XlO,HXnO）+'ff（Xw,|i|,XnO）+
Zcf（Xl0，X20，i11X。
）也f（xiOdH,xnO）H|
I⑷X茨i
2.2利用n元函数微分中值定理研究函数的性质
例21设n元函数f在凸开域DR11上可微»D上取定一点Po（Xio,X2olxo）
且-P（xio-%X2OAX2,...,xno*%）-D，有fA（PAO,i=1,2/,n，则・PD，有
f（P）=C（常数），即f（P）是常数函数.
证明n元函数f在D上满足n元函数的拉格朗日定理的条件，根据n元
函数的拉格朗日定理，八（0,1），使得
f（Xl0*Xl,X20*X2,...,Xn0nXn）-f（Xl0,X20...,Xn0）
因为点Pl（XlorXl,X2O—XnoUIXn）.D，所以'fxl（R）=0•即
f（Xw->Xl,X20一％,…，Xno7Xn）=仁人0,*20，…XnO）.
取f（Xi0,X20,--,X*）=C,・PD,有f（P）=C，艮卩f（P）是常数函数.
例2.2若n元函数f和g在凸开域DFT上连续，在D内尖于各个变元具
有连续的偏导数'D上取定一点Po（X10,X20,,X®,且对任意的点P（XiaXi,X20
不为零•则-p-D，有
f（P"g（P）c,
其中c是常数Om:
1・
证明因为n元函数f和g在D满足n元函数的柯西定理的条件，则
f（XlO「Xi,…，XnO「Xn）■f（XlO，…Mn&）
g（XlO「Xi,…9XnO「Xn）-g（XlO,9Xn0）
n
、fx（Xio-HXiJ[|l,XnorXn）AXi
Ln''（0：
：
：
vV»*
gx.（XioaXiJ[II,XnOnXn）AXi
i4
又P（XioTXi,...,XnorXn）-D,所以,fx（R）=gxi（R）,i=i,2,...,n•即
nn
xfx：
（Pi）:
Xi八gx（（Pi）Xi•
i=JiA
所以，
f（XiO=Xi
升级会员 